domingo, 28 de mayo de 2017

Escrito en Venezuela Olimpiadas Matemáticas: El Arte de Resolver Problemas

Paul Halmos, en un bellísimo artículo titulado The Heart of Mathematics, se pregunta ¿en que consiste la matemática?, ¿en Axiomas? (como el postulado de las paralelas?, ¿en teoremas? (como el Teorema Fundamental del Cálculo), ¿en definiciones? (como el concepto de límite), ¿en demostraciones? (como la del Teorema de Gödel de Incompletitud?. Halmos dice que la matemática no puede existir sin estos ingredientes pero lo esencial son los problemas y su solución. Piense, por ejemplo, en el problema de encontrar una fórmula para resolver, mediante radicales y operaciones algebraicas, la ecuación de quinto grado. Eso llevó a Galois a tener que realizar definiciones, teoremas, demostraciones...El álgebra moderna nace allí, el problema la genera. Es claro entonces que si debemos inculcar en nuestros alumnos hábitos, estrategias de aprendizaje y actitudes en un tema tan importante como la matemática los problemas debiesen ocupar un lugar central en nuestras clases. Y ¿acaso no lo hacen?. ¿No enviamos tareas, evaluamos con exámenes y quizes, mandamos secciones enteras de los libros con problemas? Ejercicios amigo lector, con ellos es que usualmente trabajamos y en eso se centra el trabajo con los alumnos, problemas no. Un problema es interesante, te atrapa y no te deja hasta que lo resuelves. Los problemas son bonitos y nos enseñan, nos retan. Los ejercicios son lo básico, la comprobación rutinaria que entendimos las reglas, son importantes y sin saber como hacerlos dificilmente podemos exigir más. Los ejercicios son como caminar y los problemas son como una carrera, que puede ser de 100 m o una marathon de 42 Km. 
Por esto, consideramos que el libro reseñado es un aporte muy valioso a la educación matemática en Venezuela. Tanto el profesor como los estudiantes de bachillerato encontraran diversión y técnicas en los problemas que se proponen. El profesor Nieto empieza su libro donde se debe comenzar, si se trata de resolver problemas ¿cómo lo hacemos de manera sistemática?. Eso es un enfoque importante, la inspiración y las ideas brillantes sin duda son necesarias pero muchas veces son fruto de un esfuerzo dirigido. El Prof. Nieto discute las ideas de Polya y las amplía de manera importante con las reflexiones de Schoenfeld. Siempre pense como dice Nieto que muchas veces es difícil para el joven que no tiene hábitos de pensamiento sistemáticos digerir a Polya. Luego, el profesor puede usar las ideas de Schoenfeld de manera provechosa para allanar el camino de sus estudiantes. Después nos encontramos con ejemplos! Excelente, las ideas heurísticas se ilustran con una serie de problemas sencillos, se trata que los estudiantes y el profesor reflexionen de una manera ordenada cuando se enfrentan con un problema. Kotov, en su libro de ajedrez Piense como un Gran Maestro, señala que incluso los mejores jugadores hacen una busqueda desordenada de la mejor jugada y que a veces después de reflexionar por media hora juegan, sin pensar, ¡la última jugada que se les ocurrio! Sin duda encontrar la mejor jugada o estrategia en el ajedrez es resolver un problema. 
Lo que sigue, en el libro del Prof. Nieto, es un montón de diversión en forma de problemas y muy importantes conocimientos matemáticos para resolverlos. Debo señalar que los principios y teoremas que se exponen son pocos pero fundamentales, vemos allí el principio de inducción o el del palomar o el Teorema Fundamental de la Aritmética por ejemplo. Es el uso adecuado de estos conocimientos lo que brinda armas formidables al alumno para resolver problemas. Las áreas de la matemática en la que se trabaja tienen sabor olímpico: aritmética, combinatoria, desigualdades, álgebra y geometría. El libro apoya de manera excelente a cualquier joven o profesor que quiera enfrentar las pruebas de selección para las olimpiadas matemáticas, el autor es un reconocido coach en estas actividades y ha hecho un gran trabajo en Venezuela en esta área. Pero, cualquier profesor se puede beneficiar de la lectura del libro para incluir diariamente en su trabajo de aula problemas. Igualmente, cualquier joven de bachillerato que le guste el reto académico encontrará en el libro la posibilidad de pensar y buscar caminos que lleven a la solución de mas de 150 problemas. Creo que cualquier profesor de bachillerato debiese tener una copia del libro en su biblioteca. Una última palabra, me he centrado en hablar de profesores y estudiantes de bachillerato  pero cualquier matemático encontrará problemas divertidos y duros en el libro,  lo se por experiencia propia. 

 El Profesor José Heber Nieto nació en 1949 en Uruguay y se graduó en la Universidad de Buenos Aires en Ciencias Matemáticas. Fundador de los estudios de Matemática y Computación en la universidad del Zulia, de la cual es Doctor Honoris Causa. Ha realizado un fructifero trabajo con los jovenes venezolanos y su preparación para la Olimpiada Matemática tanto internacional como las regionales y nacionales.

viernes, 5 de mayo de 2017

Pitágoras y Einstein




Para Pitágoras la matemática era lo que se podía conocer y está en el mundo que nos rodea, lo que lo hace también, posible sujeto de estudio. La música de las esferas se refería a que la música era matemática, así como la traslación de los objetos celestes. Todo era número, pero ¿qué clase de números?. Por supuesto estaban los naturales $$1, 2, 3, \cdots $$ y estaban las relaciones de proporción entre esos números, lo que ahora entendemos como el conjunto de los racionales, los números de la forma  $$ {\frac{p}{q}}$$ con p,q naturales y q no 0. Por supuesto, la notación que usamos es moderna y el lenguaje de los griegos era geométrico. En la música cuando usamos un instrumento de cuerda, los sonidos armónicos son ciertas proporciones entre la longitud de la cuerda y el corte que hacemos al pisar un traste. También ciertas combinaciones de lo anterior producen sonidos agradables al oído. La armonía es matemática. Sin embargo, un hecho muy sencillo derivado del Teorema de Pitágoras hizo reflexionar a los griegos sobre la necesidad de ampliar el concepto de proporcionalidad, lo cual fue hecho por  Eudoxo .
¿Qué fue lo que rompió la armonía pitágorica?. El descubrimiento que la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no guardaba una proporción racional con el cateto, esto equivale a decir que la ecuación $$ {\sqrt{2}=\frac{p}{q}}$$ con p,q naturales es imposible. Hay muchas demostraciones de esta imposibilidad, al parecer la primera se le atribuye a Hipaso. La que vamos a dar es Tom M. Apostol, excelente matemático estadounidense cuyos libros de Cálculo son muy conocidos entre los estudiantes. La escogemos por su espíritu griego, la pudo dar Euclides pero es del año 2000.
Supongamos lo contrario, es decir podemos encontrar p,q tales que $$p²=2q²$$ entonces existe una pareja p,q que es la más pequeña y que verifica la relación.  Veamos el dibujo siguiente
donde la longitud del segmento AB es igual a la del BC y es q, la longitud del segmento AC es p. Es claro, si trazamos un segmento que una A con E, que las longitudes de los segmentos DE y EB son iguales. Pero la longitud de CD es igual a la de DE y es p-q que es entero, luego el triángulo CDE tiene catetos e hipotenusa con longitudes formadas por enteros. Dejamos al lector que verifique que estas longitudes son menores que p,q. Un absurdo ya que habíamos supuesto que nuestra escogencia de p,q era la menor posible. 
Luego, el teorema de Pitágoras obligó a los matemáticos a ampliar sus ideas numéricas, ampliación que desembocó en el concepto de número real. 
¿Qué tiene que ver Einstein con esta historia?
Ortega y Gasset le dijo una vez a Einstein durante una conferencia que  su teoría era una geometrización de la Física, que al final todo era matemática, por la cara que puso Einstein no le gustó el comentario del filosofo español. Podemos pensar que la mecánica cuántica con sus espectros discretos y energía en paquetes es una vuelta al número entero, a la proporción, es desde el punto de vista físico una revuelta contra muchas ideas pero también es, del punto de vista matemático, un ataque a las ideas de continuidad que surgen del cálculo de Newton y Leibniz. Un experimento mental muy sencillo revela la importancia del Teorema de Pitágoras en la teoría de la relatividad especial de Einstein. Imagine que usted va en un tren a una velocidad v y dispara un rayo de luz al techo del tren. El tiempo que le toma al rayo llegar al techo es $$ t=\frac{d}{c}$$ Donde c es la velocidad de la luz y d la distancia de su linterna al techo del tren. Ahora, para un observador situado en el andén del tren que observa su experimento, la situación es ligeramente diferente. El verá su rayo de luz, no perpendicularmente sobre el techo sino inclinado como indica el dibujo siguiente
En el dibujo, t' es el tiempo que mide el observador que está en reposo en el andén para que el rayo se tope con el techo. Es claro que $$t'>t$$
Es decir, el tiempo que mide un observador dentro del tren para que el rayo llegue al techo es menor que el tiempo que mide un observador que está en reposo respecto al andén . De hecho, el Teorema de Pitágoras da la relación exacta, invitamos al lector a encontrarla usando nuestro dibujo,  $$t'=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v²}{c²}}}$$
Esta situación se debe a una ley de la naturaleza que no deja de sorprendernos: la velocidad de la luz es un invariante en los sistemas inerciales. Es decir, que si me acerco a una fuente de luz a una cierta velocidad v y mido la velocidad de la luz esta es c, pero si ahora me alejo a la misma velocidad v de nuevo voy a medir c. El cuidadoso experimento de Michelson y Morley demostró este comportamiento de la luz, pero el mismo ya estaba en las ecuaciones del genio escoces Maxwell. Pitágoras y Einstein, son cercanos, los une el deseo del hombre por comprender. 


lunes, 27 de febrero de 2017

Hablemos de lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande

Abraham Robinson(1918-1974)
Al principio fueron los infinitesimales y luego el cálculo, de hecho Cavalieri usó los infinitesimales, antes que Leibniz y Newton, anticipando el cálculo integral. Cavalieri pensaba que un área estaba compuesta por elementos infinitesimales de longitud, de forma que si teníamos dos áreas y una familia de rectas paralelas que interceptaban las dos áreas en segmentos de igual longitud, entonces las dos áreas eran iguales. Similar principio regía para los volúmenes y puede ser explicado con las dos siguientes pilas de monedas de igual volúmen
Observe que una familia de planos paralelos a la mesa donde están las pilas de monedas cortan cada pila en un círculo de igual área, en este caso el área de la moneda. Luego, Cavalieri afirma que ambas pilas tienen igual volumen que es la suma de los elementos infinitesimales de volumen.  También, en el trabajo de Fermat, anterior al de Newton y Leibniz, aparece un proceso que él denomina "adigualar" y que sirve para determinar los máximos y mínimos de una función, en ese proceso Fermat suma a la variable una cantidad que se comporta como una cantidad infinitesimal. Newton reconoció la influencia del trabajo del genio gascón en su descubrimiento del cálculo. 
 Hemos hablado informalmente de los infinitesimales, veamos que los caracteriza. Un infinitesimal   dx  es un número mayor que 0 pero menor que cualquier número real positivo. Es claro que los infinitesimales no son números ordinarios y que existen fuera de los reales. 
Por supuesto, en esta corta historia no pueden dejar de parecer Newton y Leibniz, creadores del cálculo diferencial e integral. Quizás Newton tuvo más reservas en el uso de los infinitesimales debido a que un infinitesimal dx no verifica la propiedad arquimediana, es decir si sumamos $$dx+dx+\cdots+dx$$ siempre obtenemos un infinitesimal y eso no le gustó a Newton.  A lo mejor a Newton no le gustó la crítica del Arzobispo Berkeley, una crítica recogida en el librito "El Analista" que incluía en su título "dirigido a un infiel matemático"

La crítica de Berkeley se basa en la manera como usaban los infinitesimales dx los analistas. Veamos un ejemplo, si queremos calcular la derivada o fluxión( término de Newton) de $$f(x)=x²$$ entonces formamos el cociente 
$$\frac{(x+dx)²-x²}{dx}$$
donde dividimos por el infinitesimal dx ya que este es pequeñísimo pero no es 0. Si hacemos el álgebra obtenemos $$2x+dx$$
Y ahora, concluimos que la derivada es $$2x$$ ya que despreciamos la cantidad dx respecto a 2x, es decir en el proceso el infinitesimal no es 0 cuando me interesa y es 0 al finalizar el cómputo. Berkeley llamó a los infinitesimales "fantasmas de cantidades desaparecidas", una frase ingeniosa e irónica que seguro a una persona como Newton, muy susceptible a la crítica, no le debió caer bien. Leibniz no tuvo tantos reparos a la hora de trabajar con los infinitesimales, de hecho su notación de la derivada $$\frac{dy}{dx}$$nos recuerda que la derivada es, de acuerdo a Leibniz, el cociente de dos cantidades infinitesimales y que dicho cociente, en el caso que exista, nos da un número real. Leibniz veía los infinitesimales como $$dx=\frac{1}{N}$$donde N es un entero infinitamente grande. Por supuesto, nada hemos avanzado hasta que aclaremos que son estos enteros gigantescos, cosa de la cual Leibniz estaba al tanto. Newton y Leibniz sabían que los infinitamente pequeños y los infinitamente grandes carecían de una base sólida. Pero ni ellos ni los analistas que le siguieron como los Bernoulli, Euler, L' Hospital entre otros se iban a detener en su uso ya que el cálculo estaba resolviendo los problemas de la física en un mundo que avanzaba hacia la revolución industrial. 
Cauchy es una figura intermedia en la historia de los infinitesimales ya que Cauchy los usa pero también introduce la definición moderna de límite que manda los infinitesimales a un momentáneo retiro, aunque muchos ingenieros y físicos siguieron usándolos. Como sabemos es el trabajo de Cauchy, Bolzano y Weierstrass introducir la dupla $$\epsilon - \delta$$
Una dupla que causa dolores de cabeza a nuestros estudiantes y que empieza el proceso que llamamos "aritmetización del análisis", un proceso de tremendo rigor lógico que concluye con la construcción de los números reales (Dedekind, Cantor, Weierstrass, Hilbert) y que define de manera rigurosa las ideas de integral (Riemann), derivada (Cauchy), función analítica (Weierstrass) y por supuesto las ideas de límite y continuidad (Bolzano, Cauchy). En este proceso, los héroes de la revolución que originó el cálculo, los infinitesimales, fueron apartados como sospechosos. Resurgieron en 1960 y en los años posteriores mediante el trabajo de una gran cantidad de matemáticos pero fundamentalmente por medio de las ideas del lógico Abraham Robinson. ¿Cuál es la idea? Queremos construir un conjunto, que llamaremos los números hiperreales, denotado por  
 $$^{\ast }\mathbb{R}$$
tal que $$\mathbb{R}\subset ^{\ast }\mathbb{R}$$ y tal que sea un cuerpo totalmente ordenado y que contenga los infinitesimales y elementos infinitamente grandes. La noción clave para hacer la construcción es la de ultrafiltro. Un ultrafiltro en los números naturales es un conjunto de partes de los números naturales que, dados A,B subconjuntos de las naturales, verifica: $$\emptyset \notin U$$ $$A,B\in U \iff A\cap B\in U$$ $$A\cup B\in U\iff A\, \text{o}\, B\in U$$ $$A\in U \iff A^c \notin U$$
Nos van a interesar los ultrafiltros que contienen a todos los conjuntos cuyo complemento es finito. Estos ultrafiltros los denominaremos de Frechet. 
 Por ejemplo, si el conjunto de todos los números pares no está en el ultrafiltro U entonces el conjunto de todos los números impares debe estar. También debe ser claro que los elementos del ultrafiltro deben ser conjuntos infinitos. Los ultrafiltros sirven para la construcción de la siguiente manera: consideremos el conjunto S de todas las sucesiones de números reales, identificamos dos sucesiones  $$(a_n)\equiv (b_n) \iff a_n=b_n \, \text {para un conjunto de índices}\, I\in U $$
Las sucesiones que son constantes en un conjunto de índices J que esté en el ultrafiltro se identifican con los números reales y ahora viene lo bonito, las sucesiones que se identifican con una sucesión $$a_n>0,\,\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$$ van a ser ¡nuestros infinitesimales!. Por otro lado, las sucesiones que se identifican con una sucesión $$b_n,\, \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\infty$$ son consideradas como nuestros elementos infinitamente grandes. Tenemos entonces que $$^{\ast }\mathbb{R}=S/\equiv$$
Este conjunto de clases de equivalencia o conjunto cociente se le dota de una suma y multiplicación naturales, dadas por la suma y multiplicación de sucesiones, es fácil demostrar que las operaciones están bien definidas y no es difícil ver que es un cuerpo. El orden se puede definir de nuevo usando el ultrafiltro y resulta ser un orden total. De hecho, en esas demostraciones se ve la importancia de trabajar con un ultrafiltro. Así hemos construido el conjunto deseado con las operaciones requeridas para que sea un cuerpo y un orden total. El conjunto no es arquimediano y tampoco es completo, pero si tiene un orden total. Los números hiperreales contienen a los reales usuales y a los infinitesimales, su estudio constituye el análisis no estándar. Por ejemplo, una función es continua en a si y solo si $$f(a+dx)-f(a) \, \text{es un infinitesimal para cualquier infinitesimal}\, dx$$
Una pregunta importante es ¿existen los ultrafiltros?. ¿Existen los ultrafiltros de Frechet?. Es claro que, si fijamos un natural p, el siguiente conjunto U es un ultrafiltro  $$A\in U \iff p\in A\subset \mathbb{N}$$
Estos ultrafiltros son los llamados ultrafiltros triviales. Los ultrafiltros de Frechet se construyen mediante el axioma de elección, al parecer no hay otra posibilidad, ¿no le gusta el axioma de elección?. Entonces diga parafraseando a Berkeley, el análisis no estandar es el fantasma del análisis usual. 

sábado, 7 de enero de 2017

De Euclides a Furstenberg: ¿cuantos primos hay?

Los números primos son aquellos números enteros que sólo admiten divisores triviales: p es primo si y sólo si sus únicos divisores son 1,-1,p y -p. Por ejemplo, 3 es primo lo mismo que 5, 7, 11 y 13 pero 8 no es primo ya que 2 divide a 8. El teorema fundamental de la aritmética nos dice que los números primos son los bloques con los cuales construimos todos los números ya que si n es cualquier entero entonces n se descompone como producto de números primos. De hecho la descomposición es esencialmente única y sólo cambia en el orden de aparición de los primos considerados. Por ejemplo, 24=2x3x2x2=3x2x2x2 etc, pero la descomposición es única. Una pregunta, que respondió Euclides hace unos 2300 años, es si existen o no infinitos primos, la respuesta es sí. Veamos su idea, supongamos que exista un primo K que es el mayor primo que existe.  Es decir, la lista
$$2,3,5,\cdots ,P$$
agota todos los números primos. Euclides construye el siguiente entero
 $$N=2\times 3\times \cdots\times K+1,$$
es claro que N es mayor que P y que por ende N no es primo, luego debe ser divisible por algún primo de nuestra lista, pero al dividir K por cualquier primo de la lista el resto de la división es 1, una contradicción.
Eso es el trabajo de Euclides, veamos 2300 años después la idea de un matemático judío que como tantos otros salvo su vida por haber huído a tiempo su familia de las atrocidades de Hitler y sus nazis. Vamos a exponer la idea de Hillel Furstenberg para demostrar que hay infinitos primos. Su idea se basa en usar una rama de la matemática que no conocían los griegos contemporáneos a Euclides. En una nota breve, cuyo enlace lo encuentra al final de esta publicación, está la demostración detallada de Furstenberg, aquí sólo daré el esquema de su prueba.  Furstenberg considera la topología en los enteros que tiene como base las progresiones aritméticas S(a,b), que son las sucesiones an+b con a,b enteros y > 0, es decir los abiertos consisten en el conjunto vacío o en uniones arbitrarias de progresiones aritméticas.  Por ejemplo el conjunto de los enteros es abierto ya que se puede escribir como S(1,0). Se puede demostrar que cualquier progresión aritmética es abierto( esto es trivial) y que es un conjunto cerrado.  También debe ser claro para el lector que cualquier conjunto abierto, no vacío, debe contener un conjunto infinito, en particular el conjunto
$$\mathbb Z-\left\{1,-1\right\}=\bigcup_{p\in P}S(p,0)$$
no puede ser cerrado, aquí P denota el conjunto de todos los primos.  Como unión finita de cerrados es cerrado, no pueden existir finitos primos.  Una belleza de demostración.
Matemático estadounidense-israelí. Nacido en Alemania, su familia emigra a EEUU en 1939, año que inició la segunda guerra mundial. Su aŕea fundamental de trabajo es la teoría ergódica que ha usado para obtener importantes resultados en combinatoria, probabilidades y grupos de Lie.
Nota con la demostración detallada de Furstenberg: https://drive.google.com/open?id=0B1IM6Izr-FQWbm1QZXc2ZDRHSnc