lunes, 31 de octubre de 2016

La curva de Hilbert



 David Hilbert sin su sombrero Panamá
Al aceptar las implicaciones lógicas de lo que no podemos ver, los matemáticos dieron un salto mortal con tres giros hacia la abstracción matemática. Los espacios de infinitas dimensiones, las curvas que no tienen derivadas y la botella de Klein son ejemplos de construcciones matemáticas que desafían nuestro pensamiento sensorial y geométrico pero que son incuestionables desde la frialdad de la lógica y el pensamiento matemático. 
¿Qué es una curva? Todos creemos entender intuitivamente ese concepto y pensamos que una elipse es una curva y que una recta tambien es una curva. La elipse es una curva acotada y cerrada, mientras que la recta no es ninguna de las dos cosas. Todos sabemos que la cicloide es una curva, lo mismo que la circunferencia. 
Pero la matemática requiere definiciones, así que diremos que una curva acotada es la imagen del intervalo [a,b] en el plano euclídeo mediante una función continua f.  Por ejemplo f(t)=(3cos(t),4sen(t)) nos da una elipse si tomamos el intervalo [0,2*pi], aquí pi=3,1415926...Uno puede pensar que la función lo que hace es deformar el segmento  [a,b] y eso origina la curva. 
Pero, ¿es un cuadrado una curva?. Me refiero ojo, no al borde del cuadrado sino al borde con su interior como muestra el dibujo. 
 Uno piensa intuitivamente que no, ya que el cuadrado es algo bidimensional y una curva es algo unidimensional. Pero la lógica es de hierro y sus conclusiones irrebatibles, debemos trabajar con la definición de curva que hemos dado y ver si podemos encontrar alguna función continua que mande el intervalo [0,1] en el cuadrado [0,1]x[0,1]. Peano y Hilbert, alredededor de 1890, mostraron que a pesar de nuestra intuición tal construcción es logicamente posible. Veamos como lo hacemos. La idea es construir una sucesión de funciones convergente a la curva monstruosa. Lo primero es dividir el cuadrado en cuatro cuadrados y definir la curva de la izquierda del dibujo abajo. Esa curva se logra de manera sencilla dividiendo el intervalo [0,1] en cuatro intervalos [0,1/4), [1/4,1/2), [1/2,3/4) y [3,4,1] y mandando cada uno de los intervalos en uno de los segmentos que forman la curva, de forma que la transicion de un cuadrado a otro se haga manera de continua.
El intervalo [0,1/4) se manda en el pedazo de curva que queda en el cuadrado 1, el intervalo [1/4,1/2) va al pedazo de curva en el cuadrado 2, y así sucesivamente...La transición de un cuadrado a otro se hace de manera continua. En el medio vemos el dibujo de la segunda etapa de construcción de Hilbert-Peano. Dividimos el cuadrado en 16 cuadrados y lo mismo hacemos con el segmento [0,1] que es dividido en 16 intervalos. Cada intervalo de la división va al cuadrado que le corresponde, el primer intervalo [0,1/16) va a la curva en el cuadrado 1, el intervalo [1/16,1/8) va al cuadrado 2, siempre pasando de un cuadrado al cuadrado n+1 de manera continua. En la tercera etapa el cuadrado se divide en 64 partes, al igual que el intervalo y hacemos lo que vemos en el dibujo a la derecha. En paso k vamos a tener un total de cuadrados igual a
e igual número de intervalos. En cada caso, en el paso k tenemos una curva
 
que es continua. Por teoremas básicos de análisis se puede probar que la sucesión de curvas construidas converge uniformemente a una curva que llamaremos H que es continua. Tal curva al tener un rango denso debe llenar el cuadrado por otro teorema básico del análisis que dice que el rango de esa curva debe ser compacto y al ser denso en el cuadrado, debe ser el cuadrado completo. Luego la curva H manda el intervalo [0,1] en el cuadrado [0,1]x[0,1], un resultado notable. Una pregunta natural es si H tiene puntos múltiples o si por el contrario es uno a uno. Un resultado profundo de topología indica que H no puede ser uno a uno ya que el Teorema de la Dimensión sería violado, ya que dicho teorema establece que los homeomorfismos preservan la dimensión pero ahondar en esa idea  es asunto para otra nota.
Recomendamos al lector interesado en estas ideas el hermoso artículo "El Infinito" de Hans Hahn publicado en la recopilación Matemáticas en el Mundo Moderno, Editor Morris Kline, Scientific American de 1971, el traductor fue Miguel De Guzmán. Creo que el artículo se encuentra también el El Mundo de las Matemáticas,Sigma editada por James R. Newman. 


viernes, 16 de septiembre de 2016

La importancia de ser p-ádico

Bertrand Russell


  1. d(x,y) es siempre positiva
  2. d(x,y)=d(y,x) para cualquier par x,y en X
  3. d(x,y)=0 si y sólo si x=y
  4. d(x,y) es siempre menor o igual que d(x,z)+d(z,y) para cualesquiera x,y,z en X
Axioma 1 indica lo que sabemos, la distancia entre dos puntos es un número real positivo. El Axioma 2 es muy claro también, la distancia del punto x al y es la misma que la distancia del y al x. Axioma 3 nos dice que si mido la distancia entre un punto y si mismo obtengo 0 y que sólo de esta manera una distancia puede ser 0 y la última regla, el Axioma 4 merece un dibujo 
el Axioma 4 nos recuerda que en triángulo cualquiera un lado tiene longitud menor o igual a la suma de las longitudes de los otros lados. La gran flexibilidad de estas ideas es que, primero que todo, distintas distancias se pueden introducir sobre un mismo conjunto X y que la elección de una de ellas depende del problema considerado y en segundo lugar la noción de distancia se puede introducir en conjuntos cualesquiera. Por ejemplo, considere un tablero de ajedrez, definimos la distancia entre dos casillas como en menor número de saltos de un caballo para ir de una a la otra. Invitamos al lector a demostrar que esto es una distancia en el espacio de los 64 escaques. 
Los números p-ádicos fueron introducidos por Kurt Hensel en 1897 modificando la idea de distancia entre los números enteros. 

Dos enteros n,m tienen una distancia usual dada por |n-m| pero Hensel tuvo la siguiente hermosa idea, tomemos un primo p arbitrario y pensemos que dos números enteros n,m están próximos si su diferencia es muy divisible por p,  esto se hace preciso mediante la definición de la distancia p-ádica 

donde k es el mayor natural tal que 

Invitamos al lector a comprobar que la distancia 2-ádica entre 9 y 27 es 1/2. También, es muy interesante comprobar y lo proponemos al lector que en realidad la fórmula arriba es una distancia. 
 Considere ahora la expresión siguiente

que es absolutamente correcta desde el punto matemático, el lector dirá ¿cómo es eso?. No hay truco alguno, se trata de trabajar con la distancia 2-ádica y verificar la convergencia de la serie, recuerde que en matemática se trabaja con ciertas reglas y que se debe ser consecuente con ellas, por eso la importancia de la frase de Russell con la que iniciamos esta entrada. Se puede demostrar que series como 

que Euler denominó "Seriebus divergentibus"  que significa la serie divergente por excelencia, es convergente en cualquier métrica p-ádica. Debemos señalar que las métricas y cuerpos p-ádicos aparecen en el trabajo de Andrew Wiles y Richard Taylor para resolver el mayor enigma matemático de todos los tiempos: El Último Teorema de Fermat. Los desarrollos p-ádicos han llevado al concepto muy importante de Espacio Perfectoide introducido en la tesis doctoral del importante matemático Peter Scholze, en Física también los p-adicos han tenido aplicación. Si quiere seguir investigando sobre el fantástico universo p-adico dejamos los siguientes enlaces.
Un bonito curso en castellano que incluye aspectos algebraicos y analíticos  lo puede bajar de acá
Como siempre la wikipedia es un lugar de consulta obligado
Hay un número de Mundo Científico (La Recherche) titulado El Universo de los Números que si lo puede encontrar contiene un artículo sobre los p-ádicos y otras cosas más. 







domingo, 28 de febrero de 2016

Escrito en Venezuela: Del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia



El tema de la descomposición de una función en sus componentes básicos es un tema central de la matemática. El profesor Cotlar siempre hacía la analogía que esto es similar a lo que hacemos al descomponer un número en sus factores primos, un número queda expresado en términos de números que no admiten descomposición alguna y que son los bloques o ladrillos fundamentales que sirven para construir los otros números. Este es el caso del análisis armónico cuya historia se remonta a Pitágoras, quien demostró que solo ciertas divisiones en una cuerda de un instrumento musical producen sonidos armónicos. Mucho después, al intentar resolver la ecuación de la cuerda vibrante se plantea el problema si es posible descomponer la solución en una suma de armónicos, es decir en una suma de senos con frecuencias estipuladas. Esta discusión fue acalorada con Euler, Bernoulli, Lagrange, d´Alembert como principales protagonistas.  Con la entrada de Fourier en escena mediante su trabajo extraordinario Teoría Análitica del Calor los problemas y soluciones llevarían a los matemáticos a los modernos conceptos de función, integral y convergencia. Debo confesar sin embargo que nunca me sentí cómodo cuando al leer un libro de análisis me hablaban de los conceptos de dominio del tiempo y después pasar al dominio de la frecuencia. Podía entender las nociones abstractas de espacios de Hilbert y sistemas completos asociados al estudio del análisis armónico pero ese lenguaje tiempo-frecuencia me parecía tomado prestado de los físicos y no lo entendía bien. Este libro de la Profesora Blanca Guillén me saco de dudas y ahora me ¡siento bien! Explica de manera concisa e histórica, con bonitos ejemplos, como el del experimento de Newton con el prisma, de que se trata esa historia tiempo-frecuencia. Sin duda, contribuye a ello la experiencia de la autora con su trabajo de aplicar las matemáticas al análisis de ondas electroencefalográficas, en estos temas hay que ir a las aplicaciones para entender de que se tratan las ideas abstractas. Otra cosa excelente es que incluye el tratamiento de la Transformada Zeta que, a pesar de sus aplicaciones, se olvida en textos de análisis. El libro está muy bien escrito, es ameno y no atosiga al lector con excesivo formalismo matemático, ello se debe a que está pensado para una audiencia que incluye a ingenieros y científicos que busquen, en los métodos expuestos, técnicas para resolver sus problemas. Una buena cantidad de problemas se incluyen para que el lector solitario pueda verificar su avance en el material. Lo compre por un precio muy razonable aunque no se si es el precio actual ya que la edición tiene unos 7 años y era el último ejemplar en la Tecniciencia del San Ignacio. También me gusta que tiene el número 1 en la Serie Texto de la UNET, esta clase de esfuerzo editorial son importantes en medio de la situación académica de nuestras universidades. Así, si pueden encontrar una copia de este libro no duden en comprarlo.
Sobre la autora:
La profesora Blanca Guillén es Licenciada en Matemáticas y Msc de la ULA y en el momento de escribir el libro trabajaba en un doctorado en Ingeniería en la USB. Profesora en la UNET desde el año 2001 y miembro del grupo de Bioingeniería de esa casa de estudios, trabajando en el área de análisis numérico y resolución de ecuaciones diferenciales. En el área de Bioingeniería aplica la matemática en el análisis de señales médicas, en particular electroencefalográficas.