jueves, 31 de octubre de 2013

Simetría y matemática: porqué no debemos hablar de las matemáticas.

El concepto de simetría es central en matemáticas y física. La imagen muestra un hermoso tapiz guajiro.

Observe que una rotación de 180° cuyo centro coincida con el centro del tapiz deja invariante el mismo. Es decir, al rotar el tapiz media vuelta obtenemos un tapiz con la misma disposición de colores y formas que el original. Lo mismo ocurre si rotamos el tapiz 360°, está rotación lo deja invariante. Observe que dos rotaciones de 180° equivalen a una de 360°. ¿Que ocurre si en lugar de nuestro tapiz guajiro tomásemos un triángulo equilátero? . En este caso si rotamos, tomando como centro de la rotación el centro del triángulo, un ángulo de  120°, 240° y 360° volvemos al triángulo original.
En este caso, el triángulo equilatero tiene una mayor cantidad de rotaciones que lo  dejan invariante. Además esas rotaciones se pueden combinar entre ellas y se obtiene una rotación que está en este conjunto, es decir, que deja invariante el triángulo equilátero. Por ejemplo, si realizamos dos rotaciones de 120° eso equivale a una rotación de 240° y una de 240° seguida de una de 120° equivale a una rotación de 360°.
En el caso de una circunferencia tenemos muchísimas( infinitas) rotaciones que la dejan invariante, de hecho cualquier rotación centrada en el centro de la circunferencia deja la figura en ella misma. La circunferencia tiene infinitas simetrías. Así, el concepto de simetría de un objeto nos habla del objeto. 
Si tomamos otro objeto familiar a todos como un polinomio  
p(x)=a(x-x1)(x-x2)...(x-xn)
Vemos que cambiar el orden de sus raíces x1,x2,...,xn, no altera el polinomio p. Aquí una permutación de las raíces juega el mismo rol que una rotación de las figuras que discutimos arriba: las dos dejan fijo el objeto estudiado. Debemos al genio de Evariste Galois el concepto abstracto de simetría sintetizado en la idea de grupo.
Evariste Galois




Su idea dio nacimiento al álgebra abstracta y causó una revolución matemática. El mismo fue un revolucionario antimonárquico, lo que le cuesta la vida.
Galois dio una idea que permite unificar porciones distintas de la matemática. Por ello creo que debemos hablar de Matemática y no de Matemáticas. Matemáticas sugiere distintos campos como álgebra, análisis, teoría de números, geometría, entre otros. Esos campos de conocimiento matemático pueden ser vistos, dado lo sofisticado y avanzado de sus resultados principales y técnicas, como campos de estudio propios. Vista de esa manera la matemática se presentaría como un grupo de islas. Matemáticos como Grothendieck y Langlands han realizado un esfuerzo extraordinario por unificar teorías buscando puentes entre áreas que parecen lejanas como el análisis armónico y la teoría de números. Estos trabajos se basan en trabajos anteriores de Gelfand y en brillantes resultados como el teorema del índice de Atiyah-Singer.
Robert Langlands
El programa de Langlands es un programa muy ambicioso, basado en ciertas conjeturas, que demostraría que sólo tenemos una matemática.