domingo, 3 de abril de 2011

La belleza de la matemática

¿Puede ser bello un teorema matemático y su demostración? La respuesta es un contundente si. Podríamos decir que, desde un punto de vista estético, un matemático es una persona capaz de crear y apreciar la belleza de la matemática. Esto lleva implícito la comprensión y enlace entre distintas ideas y áreas de nuestra ciencia. Una encuesta fue realizada entre cientos de matemáticos unos años atrás e indicó que estos son algunos de los resultados más bonitos:
  • La prueba de Euclides de la infinitud de los numeros primos
  • La demostración que raíz de 2 es irracional
  • El cálculo de Euler de la suma infinita de los recíprocos de los cuadrados
  • El hecho y su demostración que solo existan 5 poliedros regulares
Voy aportar alguno de mis favoritos:
  • La prueba diagonal de Cantor de la no numerabilidad de los reales
  • El teorema de Banach de la aplicación contractiva
  • El teorema de Brouwer en dimensión mayor o igual a dos
Una cosa que es interesante es observar que más que los enunciados de los teoremas nos atraen las ideas encontradas en las demostraciones y la elegancia de las mismas. Por supuesto, en los enunciados de los teoremas encontramos información valiosa desde el punto de vista matemático. Saber que existen infinitos primos es muy importante. Pero el argumento de Euclides nos conmueve y es inmortal.
Uno de las cosas que más recuerdo como bonita en matemática es la demostración que me enseño el matemático chileno Marco Renedo de que la serie armónica es divergente.
Supongamos que 1 +1/2+1/3+1/4+...=L con L finito
Observemos que 1/2+1/4+1/6...=1/2(1+1/2+1/3...)=L/2
Luego 1/3+1/5+1/7...=L/2, pero 1/2>1/3,1/4>1/5 etc luego
L/2>L/2 lo cual es absurdo. Una joya de una belleza pura, aritmética e inolvidable.
También hemos visto que existe una teoría matemática de la belleza pero esto es otro tema del cual puede hablar el Profesor Orellana o Sergio Rivas mejor que yo.