viernes, 27 de enero de 2012

La infinita escalera del infinito


La escalera del infinito

“Yo no quiero pertenecer a un club que me acepta como miembro”

Groucho Marx


El argumento diagonal de Cantor demuestra que desde el sentido de la cardinalidad hay más reales que números naturales. ¿Existen otros infinitos mayores? Cantor descubrió con sorpresa que hay la misma cantidad de puntos en un segmento de recta que en el espacio tridimensional. La afirmación de que Cantor se sorprendio con este resultado ha sido cuestionada por el matemático Fernando Gouvea en una nota titulada Was Cantor Surprised? publicada en la American Mathematical Monthly de Marzo de 2011.

Sin embargo, Cantor demostró que el conjunto de partes P(X) de un conjunto infinito X tiene más elementos, desde el punto de vista de la cardinalidad, que el conjunto inicial. Veamos esto en detalle. Razonemos por el absurdo. Supongamos que podemos hallar una biyección F: X->P(X). Dado un x cualquiera en X puede ocurrir que x esté en F(x) o no. Sea A el conjunto de todos los x tales que x no está en F(x) . Sabemos que existe un a tal que F(a)=A ya que F es una biyección , nos preguntamos ahora: ¿a está o no en F(a)?. Tenemos un grave problema aquí ya que a está en F(a) sí y solamente sí a no está en F(a).

Esto implica que no puede existir tal biyección y que existen infinitos cada vez mayores tomando P(X),P(P(X)), etc. De hecho se puede demostrar que los cardinales infinitos se pueden ordenar como Aleph_0< Aleph_1<...

Donde Aleph_0 corresponde al primer cardinal infinito, que es el de los números naturales, Aleph_1 el primer cardinal no numerable y así sucesivamente en una larga escalera infinita. Una pregunta natural es: ¿ qué lugar ocupa el cardinal de los reales en esta cadena de infinitos?

Este fue el primer problema de la lista de 23 problemas que Hilbert propuso en su famosa conferencia del año 1900 en el congreso de Matemático de Paris, para que los matemáticos del siglo XX los resolviesen. Es conocido como la hipótesis del continuo. Como señalamos en nuestra primera entrada del blog no sabemos la respuesta(ni sabremos al menos en la axiomática de Zermelo-Fraenkel) a este problema tan delicado.


Note que el argumento de arriba, creado por Cantor, es similar al argumento diagonal y tiene relación con el argumento de la paradoja de Russell. Todos estos argumentos derivan de la paradoja del mentiroso, él cual en un día de inspiración afirmó: Yo miento.