sábado, 27 de octubre de 2018

Escrito en Venezuela: Álgebra, Estructuras Algebraicas

Una primera cosa que destaca del texto del Dr. Rivero es lo claro se su exposición, demostraciones muy bien argumentadas, definiciones con muchos ejemplos y los temas muy bien organizados. Si a eso le sumamos una bonita edición de las ecuaciones y fórmulas, con un buen espaciado, tenemos un texto que invita a su lectura.
El libro se adecua a las carreras de matemática y educación matemática y se puede pensar como un texto de un semestre o, a un paso menos exigente, para dos semestres de álgebra básica. El material es estandard, leyes de composición, grupos, anillos y cuerpos son explicados de manera muy clara y se da también una breve introducción al álgebra conmutativa, tema que debe ser profundizado en postgrado siguiendo, por ejemplo, el hermoso libro de Atiyah y MacDonald. Los problemas son adecuados para aplicar las técnicas fundamentales pero otros representan un reto al lector. El lector experto reconocerá algunos de esos problemas ya que aparecen en textos como el de Herstein pero para el que estudie por primera vez el tema esos problemas son una fuente de gran  entretenimiento. En el texto aparecen notas históricas muy interesantes, por ejemplo, me enteré de que Argand dio una demostración original y sencilla del Teorema Fundamental del Álgebra y la referencia es un artículo de C. Fefferman en la Monthly. Estoy leyendo sobre la prueba ahora, sin embargo me costo encontrar en la bibliografía del libro la referencia ya que las cosas allí no están en orden alfabético y hay varios errores de transcripción. Eso es una cosa que se debe mejorar del libro, también aparecen algunos errores de tipeo en el texto, todos ellos cosas menores pero que deben ser corregidas para una segunda edición.
El libro lo compre en una feria del libro de la UCAB pero lo he visto en las Librerias del Sur y con seguridad se puede encontrar en la ULA, su precio realmente económico. Pero lo que es mejor es que el autor nos deja a nuestra disposición casí todos sus libros en la excelente Web Saber-ULA http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/index2.html 
En resumen, el estudiante de matemáticas encuentra en el libro del Dr. Rivero una excelente primera aproximación al mundo del álgebra abstracta y no dudamos recomendar que obtenga una copia del mismo en físico o digital.
Tomado de la Web del Profesor:
 Mi Trabajo.
Licenciado en Matemáticas de la ULA Dpto. de Matemáticas Facultad de Ciencias 1976. Maestría en Matemáticas U.L.A . 1980.
Ph.D.  en Álgebra. Louisiana State University USA  en 1987. Profesor de la Facultad de Humanidades Escuela de Educación de la ULA desde 2002.
 He publicado algunos artículos sobre teoría de números, Álgebra, matemática educativa y también algunos libros de Texto sobre éstos temas. Tutor de cuatro tesis de Maestría.
Me gusta pintar al óleo y escribir sobre viajes, cuentos, poesías, valores y la vida de la ciudad. He trabajado  en el Ministerio de Educación,  Zona Educativa de Mérida.
Mi interés principal en los últimos veinte años ha sido el de  mejorar la enseñanza de la matemática en la educación básica, media y diversificada.
La presente foto fue tomada el 3-4-2010 en la casa de Mucurubá. Aquí estoy con mi nieto José Manuel de 20 meses y detrás está San Francisco de Asís protegiéndonos.

domingo, 19 de agosto de 2018

Intangibles en Análisis Real

Un intangible, segun mi diccionario de bolsillo,  es algo que no puede ser tocado pero debemos ampliar un poco esta definición para expresar la idea de nuestra entrada de hoy. ¿Podemos tocar algún objeto en matemáticas?, ¿no es la matemática la ciencia de lo intangible? Para nuestra entrada intangible tiene un significado distinto y se lo debemos a Eric Schecter en su Handbook of Analysis and its Foundations, lo aclararemos por medio de ejemplos. Voy con el primer ejemplo, lo lamento pero nuestra discusión es hoy técnica. Sabemos que el espacio $$X=L^{1}[0,1]$$ no es reflexivo. Eso significa que el dual de $$L^{\infty}[0,1]$$ contiene objetos que no pertenecen a X. ¿Qué son estos objetos?, ¿podemos dar un ejemplo? Resulta ser que son medidas finitamente aditivas, suena muy bien, ¿acaso conocemos alguna? La respuesta es no. Similar situación ocurre con los conjuntos de la recta real y su medida de Lebesgue. La medida es una noción similar a la de longitud, así la medida del intervalo [0,1] es 1, la medida de un punto es 0, etc. ¿Tendrán todos los conjuntos de la recta una medida pudiendo ser su valor infinito? La respuesta es no, hay conjuntos de la recta real que no tienen longitud. ¿Podemos dar un ejemplo de los mismos, es decir construir alguno específico? La respuesta es de nuevo no, aquí aclaramos que no consideramos el uso del axioma de elección como algo constructivo. Estos objetos, conjuntos sin medida y medidas finitamente aditivas son ejemplos de lo que llamamos intangibles. ¿Mas ejemplos de intangibles? En la construcción del universo de los números infinitesimales mediante el análisis no estandar se hace uso del concepto de ultrafiltro, los ultrafiltros se construyen de nuevo usando el lema de Zorn o su equivalente, el terrible axioma de elección, eso lleva de nuevo a la imposibilidad de mostrar el ultrafiltro, de hecho hay muchos ultrafiltros,  son como Dios: existe pero no lo podemos ver, es intangible. La situación presentada me recuerda un metaprincipio expuesto por Halmos en alguno de sus libros, creo que en su joya A Hilbert Space Problem Book, allí Halmos establece, si Ud. puede escribir una función entonces esa función es medible. La "demostración" es fácil , si la escribimos ya no es un intangible y por ende debe ser medible, por supuesto bromeamos con esta prueba pero hay algo de cierto en lo que decimos, lo que podemos construir, especificar completamente va a tener buenas propiedades, de alguna manera los intangibles si tienen alguna característica en común es que son objetos diabólicos y que desafían nuestro intuición. ¿Más ejemplos de intangibles?
  • Dos normas en un espacio vectorial que sean completas pero no equivalentes (trate Ud. de construirlas)
  • Un buen orden de los numeros reales (¿se anima?)
¿Qué hace el buen profesor ante esta situación? Siempre considero fundamental anexar ejemplos a cada concepto con el que me encuentro en clase. Pero en este caso, eso no es posible.  Nos queda un consuelo, el prof. Ramón Bruzual me contó esta frase del Prof. Iribarren, un curso de análisis matemático es un buen sitio para perder la virginidad matemática.

domingo, 29 de octubre de 2017

Belleza Matemática

"Bello como el encuentro fortuito, sobre una mesa de disección, de una máquina de coser y un paraguas"
Conde de Lautréamont 
¿Requiere la apreciación estética de comprensión? Cualquier persona puede ser conmovido por un cuadro o una pieza musical sin ser artista ni crítico de arte, los expertos quizás observen detalles y profundicen en aspectos oscuros al profano pero no se puede negar la profunda impresión y placer que muchas obras de arte causan en la gente común. 
 Detalle del Jardín de las Delicias, Del Bosco
 Pero en el caso de las matemáticas hay una distancia muy grande entre el experto y una persona cualquiera cuando se trata de apreciar la belleza de nuestra ciencia. Puedo afirmar, sin temor a equivocarme, que cuando decimos que un resultado o demostración matemática es hermoso es porque lo hemos comprendido y apreciamos las sutilezas que contiene, disfrutamos el ingenio del matemático o su profundo entendimiento sobre un tema. Por supuesto, en este mundo dado al tratamiento igualitario, a la venta de la no discriminación se pretende hacer ver que el gran público puede apreciar la belleza matemática viendo el dibujo de un fractal o haciendo imprecisas referencias a la Teoría del Caos. 
Conjunto de Julia
Sin embargo, se esquiva el problema de  ¿qué es una iteración? , ¿qué es un sistema dinámico?, o la convergencia de una sucesión o su divergencia al infinito. Queda el dibujo del fractal como una muy vaga aproximación a la belleza matemática, vaga, fugaz, lejana...
¿Qué es la belleza matemática? Voy a dar mi interpretación personal  mediante ejemplos. Para mi es bello, hermoso que Cantor se haya dado cuenta que existe el infinito actual y que este se presenta en distintos tamaños. Su demostración de que los números reales son un infinito mayor que el de los números naturales mediante su argumento diagonal impacta y conmueve por su hermosura, pero ¿a quién le llega?.  A quien la entienda, si no se ve la idea no hay belleza, porque la idea de la demostración es la que es bella.

Sucede en matemática lo mismo que en el ajedrez, si yo digo que la partida inmortal de Rubinstein es bellísima es porque la entiendo y veo en la sucesión de sacrificios lógica y creatividad que llevan a un mate imparable, para el profano son movidas y si acaso observa algo es que se hacen de acuerdo a las reglas del ajedrez, nada más. Para el matemático la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos es hermosa, al igual que la demostración de los chinos del Teorema de Pitágoras, donde la aritmética se une a una descomposición del tipo tangram de un cuadrado.
Las demostraciones hermosas el matemático Erdös decía que provenían directamente del Libro, una especie de texto místico donde se encontraban solo pruebas hermosas que los matemáticos extraían de allí, una visión platónica de la belleza matemática. ¿Más ejemplos? Veamos una muy conocido, cuando estamos en cuarto año de matemáticas en el bachillerato venezolanos somos expuestos a las progresiones aritméticas y geométricas, tema que es muy importante y en el cual se puede hacer un gran trabajo con los estudiantes. Uno ve la fórmula de la suma de los términos de la sucesión $$1,2,3,\cdots,n$$, que nos dice que la suma es $$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$
Probablemente ni se haga el intento en clase de demostrar esa fórmula, grave error porque nos perderemos el argumento inmortal del niño Gauss que observó  que $$1+n=2+(n-1)=\cdots=1+n$$
Descubrimiento que hizo en la escuela primaria cuando, como castigo por su mal comportamiento, su maestro les mando a calcular a su clase la suma de los primeros cien números naturales (dibujo arriba).
Un ejemplo más, tomemos la sucesión de los primos impares $$3,5,7,11,13,\cdots$$. Es claro, por el algoritmo de Euclides que cualquier primo impar es de una y sólo una de las siguientes formas $$4n+1\,\text{o}\,4n+3 $$
Veamos ahora lo siguiente $$5=1^2+2^2,13=2^2+3^2,17=1^2+4^2,\cdots$$, esto sugiere una bella hipótesis los primos de la forma 4n+1 son suma de dos cuadrados, mientras que los de la forma 4n+3 no lo son. Esa observación, a partir de una evidencia empírica, se asemeja a los descubrimientos de las ciencias naturales. Es además notable porque permite discriminar los primos en dos clases disjuntas completamente caracterizadas. Hay muchas demostraciones notables de este hecho y en una proxima entrega de nuestro blog daré una de ellas, una que es tomada del Libro.
Una advertencia al lector, no estoy negando la posibilidad de trasmitir al lego la belleza matemática, esa no es mi intención. De hecho los grandes divulgadores de la matemática lo hacen, los Gardner, los Miguel De Guzmán, los James R. Newman han hecho el esfuerzo junto con un lector cómplice para que se comprendan ideas y relaciones, y allí está la belleza matemática. 
 


jueves, 31 de agosto de 2017

Inducción y Elección


Muchas veces divagamos sobre la naturaleza del infinito en matemáticas, un concepto escabroso y difícil de entender. Le debemos al genio del sacerdote Bolzano el concepto de conjunto infinito: un conjunto A es infinito si podemos encontrar un subconjunto propio $$B\subset A$$ y una función $$f:B\longrightarrow A$$ biyectiva. Por ejemplo, el conjunto de los naturales N de acuerdo a Bolzano es infinito ya que f:P N f(n)= n 2 es una biyección, aquí P es el conjunto de los números pares, P={ 0,2,4,6 } . Este hecho, aparente paradójico, de que un conjunto se pueda poner en correspondencia biunívoca con una parte propia de el mismo fue lo que hizo que Galileo alertara del peligro del infinito. Pero Bolzano fue más perspicaz y aprovecho esta característica para definir los conjuntos infinitos. Todos recordamos la impresión que nos causo de niños toparnos con un conjunto como el de los números naturales que no tenía fin, sin duda el primer conjunto infinito con el que tratamos. Pero, ¿qué son los números naturales?. Hacia finales del siglo XIX y principios del siglo XX, David Hilbert arrojó la metafísica fuera de las matemáticas: los objetos matemáticos quedan determinados por los axiomas, esto es los axiomas los caracterizan. Si usted quiere hablar del juego del ajedrez puede estudiar su historia y los elementos sicológicos que impulsan a los jugadores a jugar, puede descubrir el simbolismo medieval que ocultan las distintas piezas pero eso no es el ajedrez. Para definir el juego de ajedrez, usted debe dar sus reglas y punto. Por ejemplo, el rey puede mover un solo paso en cualquier dirección y el objeto del juego es capturar el rey adversario. Jugamos la partida en un tablero con 8 filas y 8 columnas, donde se alternan los colores blanco y negro, entre otras reglas. No hay filosofía aquí, solo definiciones y propiedades que determinan lo que llamamos ajedrez. Siguiendo a Hilbert, Peano formuló un conjunto de axiomas que el pensaba capturaban el concepto de número natural, estos  son los axiomas 
Si usted quiere darle alguna interpretación a los axiomas piense que el axioma 1. garantiza que hay al menos un número natural, en este caso el 0, también puede pensar, en relación al axioma 2. que el sucesor está determinado por la función s(n)=n+1, así 1 es el sucesor de 0, 2 es el sucesor de 1, . El axioma 4. indica que 0 es el primer número natural. El axioma 5 es más complicado y es uno de los objetos de esta nota. Es el celebre principio de inducción matemática, una herramienta básica en la demostración de diversas propiedades matemáticas. Su historia es muy interesante y su uso como técnica matemática está unido a los nombres de Pascal y Fermat, este último lo llamaba “pruebas mediante el descenso infinito”. Es muy interesante comprobar que el principio de inducción matemática equivale a la propiedad siguiente de los números naturales, todo subconjunto de los números naturales tiene un menor elemento. Así para demostrar alguna propiedad de los naturales, Fermat argumentaba que de no cumplirse se podía construir una sucesión infinita de naturales cada vez menores, lo cual es imposible. Como siempre sucede en historia de las matemáticas, Fermat y Pascal tienen el antecedente de Maurolico, quien ya demostraba proposiciones por medio de inducción matemática y que quizas deba ser considerado el padre de la misma.
 
El dibujo muestra las infinitas casas de la vecindad chismosa numeradas como 0,1,2,3, . Los puntos suspensivos después de las casas significa que las casas continuan ad infinitum. La regla de la propagación del chisme que se aplica en nuestra vecindad chismosa es muy sencilla. Si los habitantes de la casa numerada como n reciben un chisme deben, después de oír y memorizar sus sustanciosos y sabrosos detalles, correr a la casa del vecino numerada como n+1 y zamparle la historia. Por ejemplo, si la gente de la casa 25 recibe una noticia sin desperdicio, debe salir a la casa 26 y comentarles lo ocurrido. Le pregunto a usted amigo lector, ¿qué ocurre si alguién le cuenta un chisme a los habitantes de la casa 0? ¿Cuantas casas de nuestra vecindad van a conocer el cuento?, por otro lado ¿qué pasa si el primero en oír el chisme son los habitantes de la casa 13?, ¿quienes se enteran en ese caso?. Es claro que si los dueños de la casa 0 oyen un chisme, al finalizar el mismo y siguiendo las reglas de este extraño condominio, deben ir rapidamente a la casa 1 y contarles lo que pasa, los de la casa 1, a su vez, iran a la casa 2, y así sucesivamente, no importa que hayan infinitas casas, eventualmente cualquier persona que viva en una de ellas se enterará de la historia. El segundo caso (el primero en oír el cuento vive en la casa 13) ocurre muchas veces en las aplicaciones de la inducción, en este caso los que se enteran del chisme son los de las casas 13, 14, 15, . , en las demostraciones matemáticas por inducción muchas veces no se puede empezar rutinariamente desde n=0 y la proposición estudiada es valida a partir de un cierto N 0 . La inducción matemática es adecuada para muchas demostraciones de afirmaciones sobre un conjunto numerable pero ¿qué pasa con lo no numerable?, ¿se pede probar en estos conjuntos ciertas proposiciones mediante algo análogo a la inducción?. Es un hecho extraordinario mostrado por Cantor que los reales son un conjunto no numerable, ¿acaso podemos demostrar afirmaciones para conjuntos no numerables siguiendo un proceso inductivo?. Es claro que en inducción matemática la noción clave es la noción de orden, de hecho ya señalamos que el principio de inducción en los naturales es equivalente a que cualquier subconjunto de números naturales tenga un menor elemento. Recordamos que una relación < de orden en el conjunto A es una relación binaria definida en A que es transitiva y antisimétrica, esto es


Un buen orden es un orden en el que todo subconjunto tiene un menor elemento. Por ejemplo, N es un conjunto bien ordenado pero R con el orden usual no lo es. Una pregunta natural es, ¿se puede definir sobre cualquier conjunto un buen orden? La respuesta es sí, como mostro tiempo atrás Zermelo. Esto permite, de manera análoga a la inducción sobre los naturales, hacer inducción en conjuntos con cardinalidades mayores desarollando la teoría de ordinales y lo que se llama la inducción transfinita. Todo es consecuencia de un principio o axioma de aparente sencillez: dada cualquier familia de conjuntos se puede formar un nuevo conjunto que contiene un elemento de cada uno de los conjuntos pertenecientes a la familia considerada. Es lo que se llama el axioma de elección cuyas consecuencias son muy importantes, por ejemplo se usa para demostrar que existe una base en cualquier espacio vectorial. De hecho, la mayor parte del tiempo no usamos inducción transfinita para demostrar estas cosas sino usamos el Lema de Zorn, una versión muy práctica del axioma de elección que evita tener que digerir el uso de ordinales y procesos transfinitos. Creo que es mucho mejor así, esa sucesión de ordinales cada vez más grandes es una imagen tenebrosa.

martes, 27 de junio de 2017

Libros de matemática que llevaría a una isla desierta

Mi pequeño apartamento parece un mar de libros que rodean la isla donde habito. Así que rara vez me planteo la pregunta que libros me llevaría a una isla desierta, sin embargo como se de la necesidad de los jóvenes por orientación sobre cuales libros se deben leer, voy a tratar de establecer una respuesta a esa inquietante pregunta, si por accidente me quedo varado en una isla caribeña y sólo llevaba en mi equipaje 10 libros, ¿cuales escogería?. ¿Cuál es la bibliografía fundamental para un estudiante de matemática?. ¿Qué libros no deben faltar en nuestra biblioteca?. El asunto es de difícil solución ya que depende de los gustos e inclinaciones de cada lector, incluso depende en que área de la matemática este especializado y cuando estudio. Pero bueno tratemos de orientar a los jóvenes estudiantes, voy a hacer el esfuerzo y empecemos con el Cálculo Diferencial. Aquí la elección es un extraordinario libro para el cálculo de una variable libro:  Calculus de M. Spivak.  Se consigue en español publicado por Reverte, fue escrito con gran cariño lo que se refleja en sus páginas. Extraordinarios problemas, los de dos * son un reto.  Yo tengo la edición en dos tomos aunque existe una en un solo volumen. A los estudiantes les recomiendo buscarlo en físico, es un verdadero clásico
El álgebra abstracta tiene en el libro de Herstein una gran elección pero que es disputada por los excelentes textos de Fraleigh o Birkoff-McLane. Los franceses también tienen sus libros como el Godement o el Quensaynne, estos libros son muy formales y no los recomendaría para su estancia en la isla. Así, me quedo con el Herstein que considero un libro muy entretenido y riguroso. Prefiero la versión en inglés que la en castellano pero esa es la que tengo y que me puedo llevar.  Además, como bono sus problemas son muy buenos. 

¿Son todos mis libros escritos por matemáticos extranjeros? Pues no, una notable excepción es el libro del profesor Iribarren sobre Topología de Espacios Métricos. Es mi opinión que es el mejor libro de texto escrito por un matemático venezolano. Con este libro el estudiante puede hacer la transición del Spivak al campo del análisis matemático, de hecho al final del libro nos lanza a una introducción al estudio de los espacios de Banach. Muy pero muy bien escrito por un autor con una brillante carrera académica, en mi entrada sobre los profesores eméritos de las universidades venezolanas hablo del profesor Iribarren y su trabajo por la academia venezolana. 
El libro presenta la estructura matemática más importante para el análisis moderno: el espacio métrico. Fue Frechet quien , en 1906, axiomatizó esta estructura que aparece detrás de los espacios de Banach, de Hilbert , espacios de distribuciones, etc. El libro del Profesor Iribarren presenta los resultados fundamentales de la misma en un estilo claro. Pareciera que no sobra ni falta nada cuando leemos la exposición económica de definiciones, teoremas y demostraciones. Los problemas están magistralmente escogidos, extienden en algunos casos al texto pero siempre son atractivos invitando al lector a su realización. Por suerte para el joven estudiante el libro se encuentra en la web en pdf, si busca lo va a encontrar y le garantizo que el autor no tiene problema en que usted logre una copia de esa forma.
A veces los libros que mas nos gustan son sobre un tema básico y viejo como es la geometría, de Los Elementos de Euclides para acá hay mucho que escoger pero yo tengo predilección por un librito de la gran editorial Mir, Moscu: el de Pogorelov.


Aleksei Vasilevich Pogorelov
Excelente tratado, muy claro,  con notas históricas, buenos problemas y ejercicios que miden la compresión del texto. De nuevo, el libro está en la web y se puede bajar en pdf, yo prefiero la copia física del texto ya que pienso que los libros son esos amigos que están siempre presentes en silencio hasta que le solicitamos que hablen, el que guardo en mi biblioteca es una edición vieja de carátula dura que aquí les muestro 

Recuerdo que Spivak en su Calculus decía que hay pocos textos de Ecuaciones Diferenciales que merecen la pena de ser leídos. Similar opinión tiene Gian-Carlo Rota que escribio un libro sobre el tema con Garret Birkoff, en mi opinión excelente pero que el autor destroza en http://www.ega-math.narod.ru/Tasks/GCRota.htm. Spivak recomendada un libro de Hurewicz muy bueno pero yo prefiero el de Hirsh-Smale, tremendo libro. No solo tiene ecuaciones diferenciales, trata los sistemas dinámicos de tanta importancia actualmente y hace un estudio del álgebra lineal en función de su aplicación a las ecuaciones diferenciales. ¿Aplicaciones? Trae aplicaciones a la física como una discusión de la mecánica clásica muy breve pero muy buena y también aplica los resultados a la ecología, un tema de gran actualidad. 
Los problemas son la base y el alimento de la matemática, no hay necesidad de teorías matemáticas sin problemas para aplicarlas. Por ello,un libro que me parece muy importante para los jóvenes que no puede ser considerado como libro de texto es Como plantear y resolver problemas de Polya (How to solve it en inglés).  Allí se encuentra el método de Polya para resolver problemas matemáticos:
  1. Comprenda el problema: ¿se puede verificar que los datos determinan la solución? Haga un dibujo, introduzca una notación adecuada...
  2. Haga un plan para la solución, verifique la conexión entre sus pasos,...
  3. Ejecute el plan para obtener la solución
  4. Haga una visión retrospectiva, busque generalizar el problema, ¿lo puede resolver de manera inmediata?...
El libro me lo recomendó un compañero de estudios cuando empezaba la universidad, yo se lo agradezco infinitamente, diversos problemas son presentados para ver el método en acción, debo decir que adquirir maestría en el método de Polya requiere esfuerzo y muchos problemas para resolver! Sin duda, una pequeña joya es este libro.

Más sobre el libro aquí https://revistasuma.es/IMG/pdf/22/103-107.pdf
Otro libro extraordinario es el libro de Mishio Kuga, Galois Dream, Group theory and Differential Equations. El libro considera la posibilidad de tomar estudiantes primer año y lanzarlos de cabeza a la investigación matemática. Un libro altamente no lineal, elementos de variable compleja, topología algebraica, teoría de grupos y ecuaciones diferenciales se entrelazan para resolver una pregunta: ¿es soluble una cierta ecuación diferencial por cuadraturas?. Es una pregunta análoga a la que se planteó el joven Galois para las ecuaciones polinómicas, ¿cuando la ecuación es soluble por medio de expresiones radicales? El libro nos lleva a modo de lecciones semanales a resolver este problema para cierto tipo de ecuaciones. Dibujos animados acompañan el texto, chistes y ningún prerrequisito para el lector, ¿puede pedir usted más?. Recuerdo que Halmos decía que nada era más descorazonador que tener que ir a los requisitos de los prerrequisitos...En librerías venezolanas no lo va a encontrar, busque en la web pero pronto lo podrá leer en español gracias a una traducción hecha por un grupo de profesores UNA. 
Un tema importante en la formación del estudiante de matemáticas o de educación matemáticas es el de la Probabilidad, en mi opinión es un tema muy difícil y donde los libros tienden a ser decepcionantes. Una hermosa excepción es el libro de Kai Lai Chung para estudiantes de pregrado Elementary Probability with Stochastic Process. 
Un tratamiento equilibrado que no es formalmente pesado pero tampoco tiene la flaqueza en los fundamentos de otros libros del tema. El libro transpira el verdadero espíritu de la probabilidades y los problemas son muy bonitos. Trata  bellamente el tema de las paradojas que se producen en los cálculos de las probabilidades cuando no determinamos cuidadosamente el espacio muestral y al final trata el tema importante de los procesos estocásticos. Un libro muy bien escrito, fruto de un largo tiempo de trabajo con la investigación y enseñanza del tema. 
¿Puede faltar la historia de la matemática en mis libros para mi isla solitaria? No. Aquí no voy a escoger un libro típico de recuento global de lo que ha pasado en 4 mil años de desarrollos matemáticos y personajes fascinantes. Voy a recomendar un libro que mezcla la historia, la filosofía y los desarrollos matemáticos. Se trata del libro de Jesús Mosterín Los Lógicos. En este libro encontramos las biografías de Russell, Gödel, Cantor,... pero enmarcadas en el contexto de las matemáticas de su tiempo y en los problemas de los fundamentos de las matemáticas que enfrentaron. Pero esto no es todo, hay en cada lógico una exposición rigurosa de los temas más importantes que trataron en el ámbito de la lógica y los fundamentos matemáticos, eso me parece muy importante: nos encontramos las historias, anécdotas y vida de estos extraordinarios hombres pero también con el hecho matemático por lo que son recordados. Un libro muy bueno que sin duda requirió una amplia investigación del autor.

 Seguro que está aterrado, la lista termina y ¡quedan tantos buenos libros afuera! Tratemos de encontrar uan solución al problema, llevemos una enciclopedia de las matemáticas. Cualquier enciclopedia es un libro que aspira ser todos los libros, es una versión útil del libro de arena de Jorge Luís Borges, en matemáticas las hay muy buenas como la del MIT pero está comprende varios volúmenes y no puede ser llevada a nuestra isla a menos que debamos desechar el resto de nuestra selección. Así que me voy a inclinar por ser muy reciente y de un tomo único con The Princeton Companion to Mathematics editada por el medallista Fields, Timothy  Grovers. 

Excelente visión panorámica de la matemática contemporánea dividida de manera muy original en historia, temas, teoremas, teorías, biografías, impacto de la matemática y futuros desarrollos. Es un libro muy bueno y un consuelo al pensar en todo lo que dejamos en la biblioteca de la casa.

domingo, 28 de mayo de 2017

Escrito en Venezuela Olimpiadas Matemáticas: El Arte de Resolver Problemas

Paul Halmos, en un bellísimo artículo titulado The Heart of Mathematics, se pregunta ¿en que consiste la matemática?, ¿en Axiomas? (como el postulado de las paralelas), ¿en teoremas? (como el Teorema Fundamental del Cálculo), ¿en definiciones? (como el concepto de límite), ¿en demostraciones? (como la del Teorema de Gödel de Incompletitud?. Halmos dice que la matemática no puede existir sin estos ingredientes pero lo esencial son los problemas y su solución. Piense, por ejemplo, en el problema de encontrar una fórmula para resolver, mediante radicales y operaciones algebraicas, la ecuación de quinto grado. Eso llevó a Galois a tener que realizar definiciones, teoremas, demostraciones...El álgebra moderna nace allí, el problema la genera. Es claro entonces que si debemos inculcar en nuestros alumnos hábitos, estrategias de aprendizaje y actitudes en un tema tan importante como la matemática los problemas debiesen ocupar un lugar central en nuestras clases. Y ¿acaso no lo hacen?. ¿No enviamos tareas, evaluamos con exámenes y quizes, mandamos secciones enteras de los libros con problemas? Ejercicios amigo lector, con ellos es que usualmente trabajamos y en eso se centra el trabajo con los alumnos, problemas no. Un problema es interesante, te atrapa y no te deja hasta que lo resuelves. Los problemas son bonitos y nos enseñan, nos retan. Los ejercicios son lo básico, la comprobación rutinaria que entendimos las reglas, son importantes y sin saber como hacerlos dificilmente podemos exigir más. Los ejercicios son como caminar y los problemas son como una carrera, que puede ser de 100 m o una marathon de 42 Km. 
Por esto, consideramos que el libro reseñado es un aporte muy valioso a la educación matemática en Venezuela. Tanto el profesor como los estudiantes de bachillerato encontraran diversión y técnicas en los problemas que se proponen. El profesor Nieto empieza su libro donde se debe comenzar, si se trata de resolver problemas ¿cómo lo hacemos de manera sistemática?. Eso es un enfoque importante, la inspiración y las ideas brillantes sin duda son necesarias pero muchas veces son fruto de un esfuerzo dirigido. El Prof. Nieto discute las ideas de Polya y las amplía de manera importante con las reflexiones de Schoenfeld. Siempre pense como dice Nieto que muchas veces es difícil para el joven que no tiene hábitos de pensamiento sistemáticos digerir a Polya. Luego, el profesor puede usar las ideas de Schoenfeld de manera provechosa para allanar el camino de sus estudiantes. Después nos encontramos con ejemplos! Excelente, las ideas heurísticas se ilustran con una serie de problemas sencillos, se trata que los estudiantes y el profesor reflexionen de una manera ordenada cuando se enfrentan con un problema. Kotov, en su libro de ajedrez Piense como un Gran Maestro, señala que incluso los mejores jugadores hacen una busqueda desordenada de la mejor jugada y que a veces después de reflexionar por media hora juegan, sin pensar, ¡la última jugada que se les ocurrio! Sin duda encontrar la mejor jugada o estrategia en el ajedrez es resolver un problema. 
Lo que sigue, en el libro del Prof. Nieto, es un montón de diversión en forma de problemas y muy importantes conocimientos matemáticos para resolverlos. Debo señalar que los principios y teoremas que se exponen son pocos pero fundamentales, vemos allí el principio de inducción o el del palomar o el Teorema Fundamental de la Aritmética por ejemplo. Es el uso adecuado de estos conocimientos lo que brinda armas formidables al alumno para resolver problemas. Las áreas de la matemática en la que se trabaja tienen sabor olímpico: aritmética, combinatoria, desigualdades, álgebra y geometría. El libro apoya de manera excelente a cualquier joven o profesor que quiera enfrentar las pruebas de selección para las olimpiadas matemáticas, el autor es un reconocido coach en estas actividades y ha hecho un gran trabajo en Venezuela en esta área. Pero, cualquier profesor se puede beneficiar de la lectura del libro para incluir diariamente en su trabajo de aula problemas. Igualmente, cualquier joven de bachillerato que le guste el reto académico encontrará en el libro la posibilidad de pensar y buscar caminos que lleven a la solución de mas de 150 problemas. Creo que cualquier profesor de bachillerato debiese tener una copia del libro en su biblioteca. Una última palabra, me he centrado en hablar de profesores y estudiantes de bachillerato  pero cualquier matemático encontrará problemas divertidos y duros en el libro,  lo se por experiencia propia. 

 El Profesor José Heber Nieto nació en 1949 en Uruguay y se graduó en la Universidad de Buenos Aires en Ciencias Matemáticas. Fundador de los estudios de Matemática y Computación en la universidad del Zulia, de la cual es Doctor Honoris Causa. Ha realizado un fructifero trabajo con los jovenes venezolanos y su preparación para la Olimpiada Matemática tanto internacional como las regionales y nacionales.