lunes, 27 de febrero de 2017

Hablemos de lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande

Abraham Robinson(1918-1974)
Al principio fueron los infinitesimales y luego el cálculo, de hecho Cavalieri usó los infinitesimales, antes que Leibniz y Newton, anticipando el cálculo integral. Cavalieri pensaba que un área estaba compuesta por elementos infinitesimales de longitud, de forma que si teníamos dos áreas y una familia de rectas paralelas que interceptaban las dos áreas en segmentos de igual longitud, entonces las dos áreas eran iguales. Similar principio regía para los volúmenes y puede ser explicado con las dos siguientes pilas de monedas de igual volúmen
Observe que una familia de planos paralelos a la mesa donde están las pilas de monedas cortan cada pila en un círculo de igual área, en este caso el área de la moneda. Luego, Cavalieri afirma que ambas pilas tienen igual volumen que es la suma de los elementos infinitesimales de volumen.  También, en el trabajo de Fermat, anterior al de Newton y Leibniz, aparece un proceso que él denomina "adigualar" y que sirve para determinar los máximos y mínimos de una función, en ese proceso Fermat suma a la variable una cantidad que se comporta como una cantidad infinitesimal. Newton reconoció la influencia del trabajo del genio gascón en su descubrimiento del cálculo. 
 Hemos hablado informalmente de los infinitesimales, veamos que los caracteriza. Un infinitesimal   dx  es un número mayor que 0 pero menor que cualquier número real positivo. Es claro que los infinitesimales no son números ordinarios y que existen fuera de los reales. 
Por supuesto, en esta corta historia no pueden dejar de parecer Newton y Leibniz, creadores del cálculo diferencial e integral. Quizás Newton tuvo más reservas en el uso de los infinitesimales debido a que un infinitesimal dx no verifica la propiedad arquimediana, es decir si sumamos $$dx+dx+\cdots+dx$$ siempre obtenemos un infinitesimal y eso no le gustó a Newton.  A lo mejor a Newton no le gustó la crítica del Arzobispo Berkeley, una crítica recogida en el librito "El Analista" que incluía en su título "dirigido a un infiel matemático"

La crítica de Berkeley se basa en la manera como usaban los infinitesimales dx los analistas. Veamos un ejemplo, si queremos calcular la derivada o fluxión( término de Newton) de $$f(x)=x²$$ entonces formamos el cociente 
$$\frac{(x+dx)²-x²}{dx}$$
donde dividimos por el infinitesimal dx ya que este es pequeñísimo pero no es 0. Si hacemos el álgebra obtenemos $$2x+dx$$
Y ahora, concluimos que la derivada es $$2x$$ ya que despreciamos la cantidad dx respecto a 2x, es decir en el proceso el infinitesimal no es 0 cuando me interesa y es 0 al finalizar el cómputo. Berkeley llamó a los infinitesimales "fantasmas de cantidades desaparecidas", una frase ingeniosa e irónica que seguro a una persona como Newton, muy susceptible a la crítica, no le debió caer bien. Leibniz no tuvo tantos reparos a la hora de trabajar con los infinitesimales, de hecho su notación de la derivada $$\frac{dy}{dx}$$nos recuerda que la derivada es, de acuerdo a Leibniz, el cociente de dos cantidades infinitesimales y que dicho cociente, en el caso que exista, nos da un número real. Leibniz veía los infinitesimales como $$dx=\frac{1}{N}$$donde N es un entero infinitamente grande. Por supuesto, nada hemos avanzado hasta que aclaremos que son estos enteros gigantescos, cosa de la cual Leibniz estaba al tanto. Newton y Leibniz sabían que los infinitamente pequeños y los infinitamente grandes carecían de una base sólida. Pero ni ellos ni los analistas que le siguieron como los Bernoulli, Euler, L' Hospital entre otros se iban a detener en su uso ya que el cálculo estaba resolviendo los problemas de la física en un mundo que avanzaba hacia la revolución industrial. 
Cauchy es una figura intermedia en la historia de los infinitesimales ya que Cauchy los usa pero también introduce la definición moderna de límite que manda los infinitesimales a un momentáneo retiro, aunque muchos ingenieros y físicos siguieron usándolos. Como sabemos es el trabajo de Cauchy, Bolzano y Weierstrass introducir la dupla $$\epsilon - \delta$$
Una dupla que causa dolores de cabeza a nuestros estudiantes y que empieza el proceso que llamamos "aritmetización del análisis", un proceso de tremendo rigor lógico que concluye con la construcción de los números reales (Dedekind, Cantor, Weierstrass, Hilbert) y que define de manera rigurosa las ideas de integral (Riemann), derivada (Cauchy), función analítica (Weierstrass) y por supuesto las ideas de límite y continuidad (Bolzano, Cauchy). En este proceso, los héroes de la revolución que originó el cálculo, los infinitesimales, fueron apartados como sospechosos. Resurgieron en 1960 y en los años posteriores mediante el trabajo de una gran cantidad de matemáticos pero fundamentalmente por medio de las ideas del lógico Abraham Robinson. ¿Cuál es la idea? Queremos construir un conjunto, que llamaremos los números hiperreales, denotado por  
 $$^{\ast }\mathbb{R}$$
tal que $$\mathbb{R}\subset ^{\ast }\mathbb{R}$$ y tal que sea un cuerpo totalmente ordenado y que contenga los infinitesimales y elementos infinitamente grandes. La noción clave para hacer la construcción es la de ultrafiltro. Un ultrafiltro en los números naturales es un conjunto de partes de los números naturales que, dados A,B subconjuntos de las naturales, verifica: $$\emptyset \notin U$$ $$A,B\in U \iff A\cap B\in U$$ $$A\cup B\in U\iff A\, \text{o}\, B\in U$$ $$A\in U \iff A^c \notin U$$
Nos van a interesar los ultrafiltros que contienen a todos los conjuntos cuyo complemento es finito. Estos ultrafiltros los denominaremos de Frechet. 
 Por ejemplo, si el conjunto de todos los números pares no está en el ultrafiltro U entonces el conjunto de todos los números impares debe estar. También debe ser claro que los elementos del ultrafiltro deben ser conjuntos infinitos. Los ultrafiltros sirven para la construcción de la siguiente manera: consideremos el conjunto S de todas las sucesiones de números reales, identificamos dos sucesiones  $$(a_n)\equiv (b_n) \iff a_n=b_n \, \text {para un conjunto de índices}\, I\in U $$
Las sucesiones que son constantes en un conjunto de índices J que esté en el ultrafiltro se identifican con los números reales y ahora viene lo bonito, las sucesiones que se identifican con una sucesión $$a_n>0,\,\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$$ van a ser ¡nuestros infinitesimales!. Por otro lado, las sucesiones que se identifican con una sucesión $$b_n,\, \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\infty$$ son consideradas como nuestros elementos infinitamente grandes. Tenemos entonces que $$^{\ast }\mathbb{R}=S/\equiv$$
Este conjunto de clases de equivalencia o conjunto cociente se le dota de una suma y multiplicación naturales, dadas por la suma y multiplicación de sucesiones, es fácil demostrar que las operaciones están bien definidas y no es difícil ver que es un cuerpo. El orden se puede definir de nuevo usando el ultrafiltro y resulta ser un orden total. De hecho, en esas demostraciones se ve la importancia de trabajar con un ultrafiltro. Así hemos construido el conjunto deseado con las operaciones requeridas para que sea un cuerpo y un orden total. El conjunto no es arquimediano y tampoco es completo, pero si tiene un orden total. Los números hiperreales contienen a los reales usuales y a los infinitesimales, su estudio constituye el análisis no estándar. Por ejemplo, una función es continua en a si y solo si $$f(a+dx)-f(a) \, \text{es un infinitesimal para cualquier infinitesimal}\, dx$$
Una pregunta importante es ¿existen los ultrafiltros?. ¿Existen los ultrafiltros de Frechet?. Es claro que, si fijamos un natural p, el siguiente conjunto U es un ultrafiltro  $$A\in U \iff p\in A\subset \mathbb{N}$$
Estos ultrafiltros son los llamados ultrafiltros triviales. Los ultrafiltros de Frechet se construyen mediante el axioma de elección, al parecer no hay otra posibilidad, ¿no le gusta el axioma de elección?. Entonces diga parafraseando a Berkeley, el análisis no estandar es el fantasma del análisis usual. 

sábado, 7 de enero de 2017

De Euclides a Furstenberg: ¿cuantos primos hay?

Los números primos son aquellos números enteros que sólo admiten divisores triviales: p es primo si y sólo si sus únicos divisores son 1,-1,p y -p. Por ejemplo, 3 es primo lo mismo que 5, 7, 11 y 13 pero 8 no es primo ya que 2 divide a 8. El teorema fundamental de la aritmética nos dice que los números primos son los bloques con los cuales construimos todos los números ya que si n es cualquier entero entonces n se descompone como producto de números primos. De hecho la descomposición es esencialmente única y sólo cambia en el orden de aparición de los primos considerados. Por ejemplo, 24=2x3x2x2=3x2x2x2 etc, pero la descomposición es única. Una pregunta, que respondió Euclides hace unos 2300 años, es si existen o no infinitos primos, la respuesta es sí. Veamos su idea, supongamos que exista un primo K que es el mayor primo que existe.  Es decir, la lista
$$2,3,5,\cdots ,P$$
agota todos los números primos. Euclides construye el siguiente entero
 $$N=2\times 3\times \cdots\times K+1,$$
es claro que N es mayor que P y que por ende N no es primo, luego debe ser divisible por algún primo de nuestra lista, pero al dividir K por cualquier primo de la lista el resto de la división es 1, una contradicción.
Eso es el trabajo de Euclides, veamos 2300 años después la idea de un matemático judío que como tantos otros salvo su vida por haber huído a tiempo su familia de las atrocidades de Hitler y sus nazis. Vamos a exponer la idea de Hillel Furstenberg para demostrar que hay infinitos primos. Su idea se basa en usar una rama de la matemática que no conocían los griegos contemporáneos a Euclides. En una nota breve, cuyo enlace lo encuentra al final de esta publicación, está la demostración detallada de Furstenberg, aquí sólo daré el esquema de su prueba.  Furstenberg considera la topología en los enteros que tiene como base las progresiones aritméticas S(a,b), que son las sucesiones an+b con a,b enteros y > 0, es decir los abiertos consisten en el conjunto vacío o en uniones arbitrarias de progresiones aritméticas.  Por ejemplo el conjunto de los enteros es abierto ya que se puede escribir como S(1,0). Se puede demostrar que cualquier progresión aritmética es abierto( esto es trivial) y que es un conjunto cerrado.  También debe ser claro para el lector que cualquier conjunto abierto, no vacío, debe contener un conjunto infinito, en particular el conjunto
$$\mathbb Z-\left\{1,-1\right\}=\bigcup_{p\in P}S(p,0)$$
no puede ser cerrado, aquí P denota el conjunto de todos los primos.  Como unión finita de cerrados es cerrado, no pueden existir finitos primos.  Una belleza de demostración.
Matemático estadounidense-israelí. Nacido en Alemania, su familia emigra a EEUU en 1939, año que inició la segunda guerra mundial. Su aŕea fundamental de trabajo es la teoría ergódica que ha usado para obtener importantes resultados en combinatoria, probabilidades y grupos de Lie.
Nota con la demostración detallada de Furstenberg: https://drive.google.com/open?id=0B1IM6Izr-FQWbm1QZXc2ZDRHSnc


lunes, 31 de octubre de 2016

La curva de Hilbert



 David Hilbert sin su sombrero Panamá
Al aceptar las implicaciones lógicas de lo que no podemos ver, los matemáticos dieron un salto mortal con tres giros hacia la abstracción matemática. Los espacios de infinitas dimensiones, las curvas que no tienen derivadas y la botella de Klein son ejemplos de construcciones matemáticas que desafían nuestro pensamiento sensorial y geométrico pero que son incuestionables desde la frialdad de la lógica y el pensamiento matemático. 
¿Qué es una curva? Todos creemos entender intuitivamente ese concepto y pensamos que una elipse es una curva y que una recta tambien es una curva. La elipse es una curva acotada y cerrada, mientras que la recta no es ninguna de las dos cosas. Todos sabemos que la cicloide es una curva, lo mismo que la circunferencia. 
Pero la matemática requiere definiciones, así que diremos que una curva acotada es la imagen del intervalo [a,b] en el plano euclídeo mediante una función continua f.  Por ejemplo f(t)=(3cos(t),4sen(t)) nos da una elipse si tomamos el intervalo [0,2*pi], aquí pi=3,1415926...Uno puede pensar que la función lo que hace es deformar el segmento  [a,b] y eso origina la curva. 
Pero, ¿es un cuadrado una curva?. Me refiero ojo, no al borde del cuadrado sino al borde con su interior como muestra el dibujo. 
 Uno piensa intuitivamente que no, ya que el cuadrado es algo bidimensional y una curva es algo unidimensional. Pero la lógica es de hierro y sus conclusiones irrebatibles, debemos trabajar con la definición de curva que hemos dado y ver si podemos encontrar alguna función continua que mande el intervalo [0,1] en el cuadrado [0,1]x[0,1]. Peano y Hilbert, alredededor de 1890, mostraron que a pesar de nuestra intuición tal construcción es logicamente posible. Veamos como lo hacemos. La idea es construir una sucesión de funciones convergente a la curva monstruosa. Lo primero es dividir el cuadrado en cuatro cuadrados y definir la curva de la izquierda del dibujo abajo. Esa curva se logra de manera sencilla dividiendo el intervalo [0,1] en cuatro intervalos [0,1/4), [1/4,1/2), [1/2,3/4) y [3,4,1] y mandando cada uno de los intervalos en uno de los segmentos que forman la curva, de forma que la transicion de un cuadrado a otro se haga manera de continua.
El intervalo [0,1/4) se manda en el pedazo de curva que queda en el cuadrado 1, el intervalo [1/4,1/2) va al pedazo de curva en el cuadrado 2, y así sucesivamente...La transición de un cuadrado a otro se hace de manera continua. En el medio vemos el dibujo de la segunda etapa de construcción de Hilbert-Peano. Dividimos el cuadrado en 16 cuadrados y lo mismo hacemos con el segmento [0,1] que es dividido en 16 intervalos. Cada intervalo de la división va al cuadrado que le corresponde, el primer intervalo [0,1/16) va a la curva en el cuadrado 1, el intervalo [1/16,1/8) va al cuadrado 2, siempre pasando de un cuadrado al cuadrado n+1 de manera continua. En la tercera etapa el cuadrado se divide en 64 partes, al igual que el intervalo y hacemos lo que vemos en el dibujo a la derecha. En paso k vamos a tener un total de cuadrados igual a
e igual número de intervalos. En cada caso, en el paso k tenemos una curva
 
que es continua. Por teoremas básicos de análisis se puede probar que la sucesión de curvas construidas converge uniformemente a una curva que llamaremos H que es continua. Tal curva al tener un rango denso debe llenar el cuadrado por otro teorema básico del análisis que dice que el rango de esa curva debe ser compacto y al ser denso en el cuadrado, debe ser el cuadrado completo. Luego la curva H manda el intervalo [0,1] en el cuadrado [0,1]x[0,1], un resultado notable. Una pregunta natural es si H tiene puntos múltiples o si por el contrario es uno a uno. Un resultado profundo de topología indica que H no puede ser uno a uno ya que el Teorema de la Dimensión sería violado, ya que dicho teorema establece que los homeomorfismos preservan la dimensión pero ahondar en esa idea  es asunto para otra nota.
Recomendamos al lector interesado en estas ideas el hermoso artículo "El Infinito" de Hans Hahn publicado en la recopilación Matemáticas en el Mundo Moderno, Editor Morris Kline, Scientific American de 1971, el traductor fue Miguel De Guzmán. Creo que el artículo se encuentra también el El Mundo de las Matemáticas,Sigma editada por James R. Newman. 


viernes, 16 de septiembre de 2016

La importancia de ser p-ádico

Bertrand Russell


  1. d(x,y) es siempre positiva
  2. d(x,y)=d(y,x) para cualquier par x,y en X
  3. d(x,y)=0 si y sólo si x=y
  4. d(x,y) es siempre menor o igual que d(x,z)+d(z,y) para cualesquiera x,y,z en X
Axioma 1 indica lo que sabemos, la distancia entre dos puntos es un número real positivo. El Axioma 2 es muy claro también, la distancia del punto x al y es la misma que la distancia del y al x. Axioma 3 nos dice que si mido la distancia entre un punto y si mismo obtengo 0 y que sólo de esta manera una distancia puede ser 0 y la última regla, el Axioma 4 merece un dibujo 
el Axioma 4 nos recuerda que en triángulo cualquiera un lado tiene longitud menor o igual a la suma de las longitudes de los otros lados. La gran flexibilidad de estas ideas es que, primero que todo, distintas distancias se pueden introducir sobre un mismo conjunto X y que la elección de una de ellas depende del problema considerado y en segundo lugar la noción de distancia se puede introducir en conjuntos cualesquiera. Por ejemplo, considere un tablero de ajedrez, definimos la distancia entre dos casillas como en menor número de saltos de un caballo para ir de una a la otra. Invitamos al lector a demostrar que esto es una distancia en el espacio de los 64 escaques. 
Los números p-ádicos fueron introducidos por Kurt Hensel en 1897 modificando la idea de distancia entre los números enteros. 

Dos enteros n,m tienen una distancia usual dada por |n-m| pero Hensel tuvo la siguiente hermosa idea, tomemos un primo p arbitrario y pensemos que dos números enteros n,m están próximos si su diferencia es muy divisible por p,  esto se hace preciso mediante la definición de la distancia p-ádica 

donde k es el mayor natural tal que 

Invitamos al lector a comprobar que la distancia 2-ádica entre 9 y 27 es 1/2. También, es muy interesante comprobar y lo proponemos al lector que en realidad la fórmula arriba es una distancia. 
 Considere ahora la expresión siguiente

que es absolutamente correcta desde el punto matemático, el lector dirá ¿cómo es eso?. No hay truco alguno, se trata de trabajar con la distancia 2-ádica y verificar la convergencia de la serie, recuerde que en matemática se trabaja con ciertas reglas y que se debe ser consecuente con ellas, por eso la importancia de la frase de Russell con la que iniciamos esta entrada. Se puede demostrar que series como 

que Euler denominó "Seriebus divergentibus"  que significa la serie divergente por excelencia, es convergente en cualquier métrica p-ádica. Debemos señalar que las métricas y cuerpos p-ádicos aparecen en el trabajo de Andrew Wiles y Richard Taylor para resolver el mayor enigma matemático de todos los tiempos: El Último Teorema de Fermat. Los desarrollos p-ádicos han llevado al concepto muy importante de Espacio Perfectoide introducido en la tesis doctoral del importante matemático Peter Scholze, en Física también los p-adicos han tenido aplicación. Si quiere seguir investigando sobre el fantástico universo p-adico dejamos los siguientes enlaces.
Un bonito curso en castellano que incluye aspectos algebraicos y analíticos  lo puede bajar de acá
Como siempre la wikipedia es un lugar de consulta obligado
Hay un número de Mundo Científico (La Recherche) titulado El Universo de los Números que si lo puede encontrar contiene un artículo sobre los p-ádicos y otras cosas más. 







domingo, 28 de febrero de 2016

Escrito en Venezuela: Del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia



El tema de la descomposición de una función en sus componentes básicos es un tema central de la matemática. El profesor Cotlar siempre hacía la analogía que esto es similar a lo que hacemos al descomponer un número en sus factores primos, un número queda expresado en términos de números que no admiten descomposición alguna y que son los bloques o ladrillos fundamentales que sirven para construir los otros números. Este es el caso del análisis armónico cuya historia se remonta a Pitágoras, quien demostró que solo ciertas divisiones en una cuerda de un instrumento musical producen sonidos armónicos. Mucho después, al intentar resolver la ecuación de la cuerda vibrante se plantea el problema si es posible descomponer la solución en una suma de armónicos, es decir en una suma de senos con frecuencias estipuladas. Esta discusión fue acalorada con Euler, Bernoulli, Lagrange, d´Alembert como principales protagonistas.  Con la entrada de Fourier en escena mediante su trabajo extraordinario Teoría Análitica del Calor los problemas y soluciones llevarían a los matemáticos a los modernos conceptos de función, integral y convergencia. Debo confesar sin embargo que nunca me sentí cómodo cuando al leer un libro de análisis me hablaban de los conceptos de dominio del tiempo y después pasar al dominio de la frecuencia. Podía entender las nociones abstractas de espacios de Hilbert y sistemas completos asociados al estudio del análisis armónico pero ese lenguaje tiempo-frecuencia me parecía tomado prestado de los físicos y no lo entendía bien. Este libro de la Profesora Blanca Guillén me saco de dudas y ahora me ¡siento bien! Explica de manera concisa e histórica, con bonitos ejemplos, como el del experimento de Newton con el prisma, de que se trata esa historia tiempo-frecuencia. Sin duda, contribuye a ello la experiencia de la autora con su trabajo de aplicar las matemáticas al análisis de ondas electroencefalográficas, en estos temas hay que ir a las aplicaciones para entender de que se tratan las ideas abstractas. Otra cosa excelente es que incluye el tratamiento de la Transformada Zeta que, a pesar de sus aplicaciones, se olvida en textos de análisis. El libro está muy bien escrito, es ameno y no atosiga al lector con excesivo formalismo matemático, ello se debe a que está pensado para una audiencia que incluye a ingenieros y científicos que busquen, en los métodos expuestos, técnicas para resolver sus problemas. Una buena cantidad de problemas se incluyen para que el lector solitario pueda verificar su avance en el material. Lo compre por un precio muy razonable aunque no se si es el precio actual ya que la edición tiene unos 7 años y era el último ejemplar en la Tecniciencia del San Ignacio. También me gusta que tiene el número 1 en la Serie Texto de la UNET, esta clase de esfuerzo editorial son importantes en medio de la situación académica de nuestras universidades. Así, si pueden encontrar una copia de este libro no duden en comprarlo.
Sobre la autora:
La profesora Blanca Guillén es Licenciada en Matemáticas y Msc de la ULA y en el momento de escribir el libro trabajaba en un doctorado en Ingeniería en la USB. Profesora en la UNET desde el año 2001 y miembro del grupo de Bioingeniería de esa casa de estudios, trabajando en el área de análisis numérico y resolución de ecuaciones diferenciales. En el área de Bioingeniería aplica la matemática en el análisis de señales médicas, en particular electroencefalográficas.

martes, 4 de agosto de 2015

Librerías con libros de matemáticas en Caracas

“La mejor relación que se puede tener con una ciudad es la nostalgia”.
Jorge Luis Borges.

Muchos caraqueños recuerdan, con la nostalgia de Billo Frometa, el coche de Isidoro, el frontón de Jai ALai, la Suiza y los techos rojos. A veces la nostalgia caraqueña toma forma gastronómica http://cronicadesdewashington.blogspot.com/2013/10/para-que-te-acuerdes-de-tus-andanzas.html y otras veces se recuerdan discotecas. Yo recuerdo con nostalgia muchas cosas de Caracas, una ciudad que, como decía Cabrujas, nunca es la misma. Pero extraño mucho de mi época de estudiante en el IUT-RC y en la UCV las librerías con textos científicos de Caracas, así que recordaré algunas de ellas, las que usualmente visitaba. Voy a empezar con una librería que muchos recordaremos la Técnica Vega, muy próxima a la Plaza de las Tres Gracias y a nuestra alma mater la UCV.
Tenía un segundo piso donde se encontraba una pared repleta de maravillosos libros de matemáticas en español, inglés y francés. Muchos de mis libros los compre allí a unos precios accesibles para un estudiante becado del IUT-RC o un preparador de matemáticas UCV que ganaba 900 bs. Padre e hijo se encargaban de la librería que fue decayendo con el tiempo y en el segundo piso cada vez se encontraban menos cosas ya que en algún momento no continuaron reponiendo los libros que vendían de matemáticas. Ya no existe Técnica Vega, un destino común como veremos a la mayor parte de las librerías científicas de Caracas. 
Otra librería que visitaba con frecuencia era la Librería Profesional en Chacaito, ubicada en la parte norte del CC Chacaito, en un lugar escondido al que se bajaba desde la acera por medio de una escalera. Era como entrar en la cueva del tesoro, varios estantes repletos de joyas. Allí compre mis libros de Natanson de variable real, o mi libro de Análisis Funcional de Riesz y Nagi en la edición de Ungar, NY. Siempre me arrepentiré de no haber comprado los 6 libros de Guelfand  de Teoría de Distribuciones y sus aplicaciones, colección que estaba completa en la Profesional, todavía recuerdo en que tramo y estante estaban esos textos. También estaban los libros de Zygmund y Saks de variable compleja o el de Bari de series trigonométricas. Manejaban la librería un grupo de españoles, no se si eran familiares o no, siempre vestidos de camisa y corbata y que parecían sacados de una película de espionaje. Un día desaparecio y se convirtió como en una película de espías en una venta de repuestos.
Tecniciencia estaba  en la Torre Phelps, Plaza Venezuela la encontrábamos al subir un piso por una escalera poco frecuentada  y no era la franquicia que conocemos ahora mezcla de librería,  juguetería,  discos compactos de variada temática y revistas importadas cada vez más escasas.  Era una sólida librería con un biblioteca hexagonal en su centro repleta de textos de matemática que solíamos circundar varias veces esperando que fuera extraída de la biblioteca de Babel y que apareciese algún texto que hubiéremos omitido en las primeras vueltas. Poco a poco, los maravillosos libros empezaron a convertirse en libros estandar de cálculo, estadística y ecuaciones diferenciales hasta que un día nos informaron que cerraban sus puertas y se iban al CCCT.




A veces no íbamos a una librería específica sino a un pasillo que incluía a muchas, me refiero al pasillo de Ingeniería en la UCV.

Ese pasillo estaba representado por una venta maravillosa de libros de la editorial Mir-Moscu que vendía la señora Graciela en un puesto justo enfrente al cafetín de Ingeniería. Tenia libros de la colección de las Lecciones populares de matemática, los libros de Arnold en francés, aquellos libros de Perelman de Física y Matemática y clásicos como el Kolmogorov-Fomin o el Markusevich de variable compleja. ¿Los precios?,  es mejor olvidarlos para no hacer una comparación dolorosa con la situación actual caracterizada por una muy escasa oferta de libros científicos( se consigue algo de Dover) a unos precios ridículos para un profesor universitario venezolano. Ese pasillo de Ingenieria ha involucionado en una serie de vendedores de software pirata, cedes quemados de regeton y por supuesto de libros de texto usados en carreras con matrículas importantes, libros avanzados de matemática no se consiguen por allí. 

Muchos de los lectores recordaran los libros de Suscriven que traía un alemán llamado Hans que falleció al final de los años ochenta. Muchos libros eran de la gran editorial Springer-Verlag caracterizada por publicar excelentes libros de matemática a nivel de pregrado y postgrado. Después del viernes negro, Hans y sus libros sufrieron los avatares de la devaluación de la moneda y Suscriven desapareció. Pude comprar algunos libros en la Librería Alemana, situada en la Av. Libertador por el Bosque, después les perdí la pista. Un día caminaba por el centro de Caracas, frente al Capitolio buscando buenos libros usados, al llegar a un pequeño puesto en medio de la tradicionales novelas mohosas, selecciones del Readers Digest viejas y algunos periódicos pude ver algo resplandeciente: tres libros de Springer-Verlag en muy buen estado. Me puse a ver su contenido y pregunte inmediatamente su precio. El joven a cargo me dijo, ¿le interesan ese tipo de libros? Mi respuesta fue un corto si. Venga conmigo y yo le seguí, me metió por un puesto de venta de ropa interior femenina, que ocultaba la entrada a uno de esos viejos edificios de centro de Caracas convertidos en depósitos de los buhoneros de la zona. Cual Maxwell Smart, super agente 86, pense si me joden es por una buena causa !libros! Subimos un piso por una escalera con una hermosa baranda de hierro forjado que conocio tiempos mejores y  al llegar al primer piso vi una serie de puertas metálicas, sin pretensión decorativa, cuya única función era proteger la mercancía almacenada. El joven me abrio la puerta y sentí lo que Randolph Carter debio sentir al entrar a la cámara del rey Tut, estantes y estantes llenos de libros de Springer-Verlag de  Matemática. No me importó el calor sofocante, el olor a guardado, el polvo y unos cuantos bichejos distraidos de sus labores cuando yo movía algún libro. Pase varias horas allí, cual ladrón de tumbas escogiendo que libros llevar. Al salir, el joven le puso el precio a los libros dependiendo si tenian o no carátula dura y por el número de páginas, me parecio muy justo su método. Baje hasta el metro de Caracas sosteniendo entre mis manos y la barbilla un montón de libros. Al llegar a mi casa dude en llamar a mis amigos para darles el pitazo, al final los llame. Pronto llegaron otros saqueadores de tesoros al centro de Caracas.


jueves, 23 de julio de 2015

Godel y su teorema de incompletitud

El teorema de Godel es una pieza dificil de la matemática y para ser honestos es una pieza desconocida por matemáticos, profesores de matemática y público en general. Sin embargo, junto a la Relatividad de Einstein, la mecánica cuántica de Planck, Bohr, Schrödinger y otros y la Teoría de la Computación de Turing es uno de los descubrimientos científicos más importantes del siglo XX. Pero, ¿por qué a nadie le interesa y es tan poco conocido? Quizas se debe a su dificultad, quizas se debe a su inutilidad. El Teorema de Godel dice que los sistemas axiomáticos importantes de la matemática, como los axiomas de Peano, tienen dos graves problemas para el programa formalista hilbertiano: 1. Son incompletos, es decir, hay cosas verdaderas que no podemos demostrar usando los axiomas del sistema 2. No se puede demostrar la consistencia de los mismos a menos que usemos argumentos externos al propio sistema tratado Suponga que usted intenta demostrar que todo número par es la suma de dos números primos (Conjetura de Goldbach), por ejemplo 8=3+5, 12=5+5 y así sucesivamente. Todos los casos evaluados por medio de computadoras rapidísimas han confirmado la hipótesis pero una prueba que abarque todos los números pares no se ha podido conseguir. Suponga que Ud. sospecha, como el tío Petros, que a lo mejor esta proposición es una de las que cae en el punto ciego de las axiomáticas, ¿ayuda el teorema de Godel a dilucidar eso? No, el teorema de Godel es una afirmación existencial, esas proposiciones existen en la axiomática considerada pero no da ninguna pista para dilucidar cuales son estas proposiciones. Por ello digo que es un resultado inutil, es un resultado negativo de cualquier forma que se lo vea. Quizas por ello, Hilbert se molestó cuando conocio el resultado. Hilbert pensaba que los problemas matemáticos existían para ser resueltos. A lo mejor, la solución es distinta de la esperada como cuando Ruffini demostró que la ecuación de quinto grado no era soluble por radicales.  Eso resolvía matematicamente el problema de la escuela de álgebra italiana. Pero, lo que Godel plantea es la existencia de un limbo matemático donde existen unas proposiciones verdaderas pero indemostrables, las cuales no conocemos ni tenemos un procedimiento para discriminar. Una observación final, el libro que recomiendo para leer sobre el teorema de Godel, es el de Nagel y Newman y Ud. , si está interesado, debe conseguir una copia del mismo. Sin embargo, en el libro se hace una larga analogía entre la demostración de Godel y la paradoja del mentiroso o la paradoja ricardiana de la teoría de numéros. No creo que eso es lo más justo ya que pienso que el argumento de Godel es en realidad un argumento diagonal cantoriano. El lector de esta nota al reflexionar sobre la demostración de Godel llegará a su propia conclusión.