viernes, 16 de septiembre de 2016

La importancia de ser p-ádico

"Las matemáticas podrían definirse como aquello en lo que nunca sabemos de lo que estamos hablando, ni si lo que decimos es verdad"
Bertrand Russell
Uno de los más importantes avances en el análisis matemático del siglo XX fue la introducción de la idea de Espacio Métrico en los años 20 debida al matemático francés Maurice Frechet. En realidad, como el propio Frechet apuntó y escribió en varias obras, fue la idea de Espacio Abstracto lo que surgió en aquella época debido a los trabajos de Banach, Hilbert, Hausdorff, entre otros. Podemos pensar en una liberación de la geometría o mejor en la posibilidad de crear distintas geometrías basadas en distintos conceptos de proximidad, donde la proximidad entre los puntos x,y de un espacio X se mide mediante una función d(x,y), llamada métrica o distancia, que verifica ciertos axiomas (reglas de juego):
  1. d(x,y) es siempre positiva
  2. d(x,y)=d(y,x) para cualquier par x,y en X
  3. d(x,y)=0 si y sólo si x=y
  4. d(x,y) es siempre menor o igual que d(x,z)+d(z,y) para cualesquiera x,y,z en X
Axioma 1 indica lo que sabemos, la distancia entre dos puntos es un número real positivo. El Axioma 2 es muy claro también, la distancia del punto x al y es la misma que la distancia del y al x. Axioma 3 nos dice que si mido la distancia entre un punto y si mismo obtengo 0 y que sólo de esta manera una distancia puede ser 0 y la última regla, el Axioma 4 merece un dibujo 
el Axioma 4 nos recuerda que en triángulo cualquiera un lado tiene longitud menor o igual a la suma de las longitudes de los otros lados. La gran flexibilidad de estas ideas es que, primero que todo, distintas distancias se pueden introducir sobre un mismo conjunto X y que la elección de una de ellas depende del problema considerado y en segundo lugar la noción de distancia se puede introducir en conjuntos cualesquiera. Por ejemplo, considere un tablero de ajedrez, definimos la distancia entre dos casillas como en menor número de saltos de un caballo para ir de una a la otra. Invitamos al lector a demostrar que esto es una distancia en el espacio de los 64 escaques. 
Los números p-ádicos fueron introducidos por Kurt Hensel en 1897 modificando la idea de distancia entre los números enteros. 

Dos enteros n,m tienen una distancia usual dada por |n-m| pero Hensel tuvo la siguiente hermosa idea, tomemos un primo p arbitrario y pensemos que dos números enteros n,m están próximos si su diferencia es muy divisible por p,  esto se hace preciso mediante la definición de la distancia p-ádica 

donde k es el mayor natural tal que 

Invitamos al lector a comprobar que la distancia 2-ádica entre 9 y 27 es 1/2. También, es muy interesante comprobar y lo proponemos al lector que en realidad la fórmula arriba es una distancia. 
 Considere ahora la expresión siguiente

que es absolutamente correcta desde el punto matemático, el lector dirá ¿cómo es eso?. No hay truco alguno, se trata de trabajar con la distancia 2-ádica y verificar la convergencia de la serie, recuerde que en matemática se trabaja con ciertas reglas y que se debe ser consecuente con ellas, por eso la importancia de la frase de Russell con la que iniciamos esta entrada. Se puede demostrar que series como 

que Euler denominó "Seriebus divergentibus"  que significa la serie divergente por excelencia, es convergente en cualquier métrica p-ádica. Debemos señalar que las métricas y cuerpos p-ádicos aparecen en el trabajo de Andrew Wiles y Richard Taylor para resolver el mayor enigma matemático de todos los tiempos: El Último Teorema de Fermat. Los desarrollos p-ádicos han llevado al concepto muy importante de Espacio Perfectoide introducido en la tesis doctoral del importante matemático Peter Scholze, en Física también los p-adicos han tenido aplicación. Si quiere seguir investigando sobre el fantástico universo p-adico dejamos los siguientes enlaces.
Un bonito curso para entenderlos en castellano lo puede bajar de acá
Como siempre la wikipedia es un lugar de consulta obligado
Hay un número de Mundo Científico (La Recherche) titulado El Universo de los Números que si lo puede encontrar contiene un artículo sobre los p-ádicos y otras cosas más. 







domingo, 28 de febrero de 2016

Escrito en Venezuela: Del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia



El tema de la descomposición de una función en sus componentes básicos es un tema central de la matemática. El profesor Cotlar siempre hacía la analogía que esto es similar a lo que hacemos al descomponer un número en sus factores primos, un número queda expresado en términos de números que no admiten descomposición alguna y que son los bloques o ladrillos fundamentales que sirven para construir los otros números. Este es el caso del análisis armónico cuya historia se remonta a Pitágoras, quien demostró que solo ciertas divisiones en una cuerda de un instrumento musical producen sonidos armónicos. Mucho después, al intentar resolver la ecuación de la cuerda vibrante se plantea el problema si es posible descomponer la solución en una suma de armónicos, es decir en una suma de senos con frecuencias estipuladas. Esta discusión fue acalorada con Euler, Bernoulli, Lagrange, d´Alembert como principales protagonistas.  Con la entrada de Fourier en escena mediante su trabajo extraordinario Teoría Análitica del Calor los problemas y soluciones llevarían a los matemáticos a los modernos conceptos de función, integral y convergencia. Debo confesar sin embargo que nunca me sentí cómodo cuando al leer un libro de análisis me hablaban de los conceptos de dominio del tiempo y después pasar al dominio de la frecuencia. Podía entender las nociones abstractas de espacios de Hilbert y sistemas completos asociados al estudio del análisis armónico pero ese lenguaje tiempo-frecuencia me parecía tomado prestado de los físicos y no lo entendía bien. Este libro de la Profesora Blanca Guillén me saco de dudas y ahora me ¡siento bien! Explica de manera concisa e histórica, con bonitos ejemplos, como el del experimento de Newton con el prisma, de que se trata esa historia tiempo-frecuencia. Sin duda, contribuye a ello la experiencia de la autora con su trabajo de aplicar las matemáticas al análisis de ondas electroencefalográficas, en estos temas hay que ir a las aplicaciones para entender de que se tratan las ideas abstractas. Otra cosa excelente es que incluye el tratamiento de la Transformada Zeta que, a pesar de sus aplicaciones, se olvida en textos de análisis. El libro está muy bien escrito, es ameno y no atosiga al lector con excesivo formalismo matemático, ello se debe a que está pensado para una audiencia que incluye a ingenieros y científicos que busquen, en los métodos expuestos, técnicas para resolver sus problemas. Una buena cantidad de problemas se incluyen para que el lector solitario pueda verificar su avance en el material. Lo compre por un precio muy razonable aunque no se si es el precio actual ya que la edición tiene unos 7 años y era el último ejemplar en la Tecniciencia del San Ignacio. También me gusta que tiene el número 1 en la Serie Texto de la UNET, esta clase de esfuerzo editorial son importantes en medio de la situación académica de nuestras universidades. Así, si pueden encontrar una copia de este libro no duden en comprarlo.
Sobre la autora:
La profesora Blanca Guillén es Licenciada en Matemáticas y Msc de la ULA y en el momento de escribir el libro trabajaba en un doctorado en Ingeniería en la USB. Profesora en la UNET desde el año 2001 y miembro del grupo de Bioingeniería de esa casa de estudios, trabajando en el área de análisis numérico y resolución de ecuaciones diferenciales. En el área de Bioingeniería aplica la matemática en el análisis de señales médicas, en particular electroencefalográficas.

martes, 4 de agosto de 2015

Librerías con libros de matemáticas en Caracas

“La mejor relación que se puede tener con una ciudad es la nostalgia”.
Jorge Luis Borges.

Muchos caraqueños recuerdan, con la nostalgia de Billo Frometa, el coche de Isidoro, el frontón de Jai ALai, la Suiza y los techos rojos. A veces la nostalgia caraqueña toma forma gastronómica http://cronicadesdewashington.blogspot.com/2013/10/para-que-te-acuerdes-de-tus-andanzas.html y otras veces se recuerdan discotecas. Yo recuerdo con nostalgia muchas cosas de Caracas, una ciudad que, como decía Cabrujas, nunca es la misma. Pero extraño mucho de mi época de estudiante en el IUT-RC y en la UCV las librerías con textos científicos de Caracas, así que recordaré algunas de ellas, las que usualmente visitaba. Voy a empezar con una librería que muchos recordaremos la Técnica Vega, muy próxima a la Plaza de las Tres Gracias y a nuestra alma mater la UCV.
Tenía un segundo piso donde se encontraba una pared repleta de maravillosos libros de matemáticas en español, inglés y francés. Muchos de mis libros los compre allí a unos precios accesibles para un estudiante becado del IUT-RC o un preparador de matemáticas UCV que ganaba 900 bs. Padre e hijo se encargaban de la librería que fue decayendo con el tiempo y en el segundo piso cada vez se encontraban menos cosas ya que en algún momento no continuaron reponiendo los libros que vendían de matemáticas. Ya no existe Técnica Vega, un destino común como veremos a la mayor parte de las librerías científicas de Caracas. 
Otra librería que visitaba con frecuencia era la Librería Profesional en Chacaito, ubicada en la parte norte del CC Chacaito, en un lugar escondido al que se bajaba desde la acera por medio de una escalera. Era como entrar en la cueva del tesoro, varios estantes repletos de joyas. Allí compre mis libros de Natanson de variable real, o mi libro de Análisis Funcional de Riesz y Nagi en la edición de Ungar, NY. Siempre me arrepentiré de no haber comprado los 6 libros de Guelfand  de Teoría de Distribuciones y sus aplicaciones, colección que estaba completa en la Profesional, todavía recuerdo en que tramo y estante estaban esos textos. También estaban los libros de Zygmund y Saks de variable compleja o el de Bari de series trigonométricas. Manejaban la librería un grupo de españoles, no se si eran familiares o no, siempre vestidos de camisa y corbata y que parecían sacados de una película de espionaje. Un día desaparecio y se convirtió como en una película de espías en una venta de repuestos.
Tecniciencia estaba  en la Torre Phelps, Plaza Venezuela la encontrábamos al subir un piso por una escalera poco frecuentada  y no era la franquicia que conocemos ahora mezcla de librería,  juguetería,  discos compactos de variada temática y revistas importadas cada vez más escasas.  Era una sólida librería con un biblioteca hexagonal en su centro repleta de textos de matemática que solíamos circundar varias veces esperando que fuera extraída de la biblioteca de Babel y que apareciese algún texto que hubiéremos omitido en las primeras vueltas. Poco a poco, los maravillosos libros empezaron a convertirse en libros estandar de cálculo, estadística y ecuaciones diferenciales hasta que un día nos informaron que cerraban sus puertas y se iban al CCCT.




A veces no íbamos a una librería específica sino a un pasillo que incluía a muchas, me refiero al pasillo de Ingeniería en la UCV.

Ese pasillo estaba representado por una venta maravillosa de libros de la editorial Mir-Moscu que vendía la señora Graciela en un puesto justo enfrente al cafetín de Ingeniería. Tenia libros de la colección de las Lecciones populares de matemática, los libros de Arnold en francés, aquellos libros de Perelman de Física y Matemática y clásicos como el Kolmogorov-Fomin o el Markusevich de variable compleja. ¿Los precios?,  es mejor olvidarlos para no hacer una comparación dolorosa con la situación actual caracterizada por una muy escasa oferta de libros científicos( se consigue algo de Dover) a unos precios ridículos para un profesor universitario venezolano. Ese pasillo de Ingenieria ha involucionado en una serie de vendedores de software pirata, cedes quemados de regeton y por supuesto de libros de texto usados en carreras con matrículas importantes, libros avanzados de matemática no se consiguen por allí. 

Muchos de los lectores recordaran los libros de Suscriven que traía un alemán llamado Hans que falleció al final de los años ochenta. Muchos libros eran de la gran editorial Springer-Verlag caracterizada por publicar excelentes libros de matemática a nivel de pregrado y postgrado. Después del viernes negro, Hans y sus libros sufrieron los avatares de la devaluación de la moneda y Suscriven desapareció. Pude comprar algunos libros en la Librería Alemana, situada en la Av. Libertador por el Bosque, después les perdí la pista. Un día caminaba por el centro de Caracas, frente al Capitolio buscando buenos libros usados, al llegar a un pequeño puesto en medio de la tradicionales novelas mohosas, selecciones del Readers Digest viejas y algunos periódicos pude ver algo resplandeciente: tres libros de Springer-Verlag en muy buen estado. Me puse a ver su contenido y pregunte inmediatamente su precio. El joven a cargo me dijo, ¿le interesan ese tipo de libros? Mi respuesta fue un corto si. Venga conmigo y yo le seguí, me metió por un puesto de venta de ropa interior femenina, que ocultaba la entrada a uno de esos viejos edificios de centro de Caracas convertidos en depósitos de los buhoneros de la zona. Cual Maxwell Smart, super agente 86, pense si me joden es por una buena causa !libros! Subimos un piso por una escalera con una hermosa baranda de hierro forjado que conocio tiempos mejores y  al llegar al primer piso vi una serie de puertas metálicas, sin pretensión decorativa, cuya única función era proteger la mercancía almacenada. El joven me abrio la puerta y sentí lo que Randolph Carter debio sentir al entrar a la cámara del rey Tut, estantes y estantes llenos de libros de Springer-Verlag de  Matemática. No me importó el calor sofocante, el olor a guardado, el polvo y unos cuantos bichejos distraidos de sus labores cuando yo movía algún libro. Pase varias horas allí, cual ladrón de tumbas escogiendo que libros llevar. Al salir, el joven le puso el precio a los libros dependiendo si tenian o no carátula dura y por el número de páginas, me parecio muy justo su método. Baje hasta el metro de Caracas sosteniendo entre mis manos y la barbilla un montón de libros. Al llegar a mi casa dude en llamar a mis amigos para darles el pitazo, al final los llame. Pronto llegaron otros saqueadores de tesoros al centro de Caracas.


jueves, 23 de julio de 2015

Godel y su teorema de incompletitud

El teorema de Godel es una pieza dificil de la matemática y para ser honestos es una pieza desconocida por matemáticos, profesores de matemática y público en general. Sin embargo, junto a la Relatividad de Einstein, la mecánica cuántica de Planck, Bohr, Schrödinger y otros y la Teoría de la Computación de Turing es uno de los descubrimientos científicos más importantes del siglo XX. Pero, ¿por qué a nadie le interesa y es tan poco conocido? Quizas se debe a su dificultad, quizas se debe a su inutilidad. El Teorema de Godel dice que los sistemas axiomáticos importantes de la matemática, como los axiomas de Peano, tienen dos graves problemas para el programa formalista hilbertiano: 1. Son incompletos, es decir, hay cosas verdaderas que no podemos demostrar usando los axiomas del sistema 2. No se puede demostrar la consistencia de los mismos a menos que usemos argumentos externos al propio sistema tratado Suponga que usted intenta demostrar que todo número par es la suma de dos números primos (Conjetura de Goldbach), por ejemplo 8=3+5, 12=5+5 y así sucesivamente. Todos los casos evaluados por medio de computadoras rapidísimas han confirmado la hipótesis pero una prueba que abarque todos los números pares no se ha podido conseguir. Suponga que Ud. sospecha, como el tío Petros, que a lo mejor esta proposición es una de las que cae en el punto ciego de las axiomáticas, ¿ayuda el teorema de Godel a dilucidar eso? No, el teorema de Godel es una afirmación existencial, esas proposiciones existen en la axiomática considerada pero no da ninguna pista para dilucidar cuales son estas proposiciones. Por ello digo que es un resultado inutil, es un resultado negativo de cualquier forma que se lo vea. Quizas por ello, Hilbert se molestó cuando conocio el resultado. Hilbert pensaba que los problemas matemáticos existían para ser resueltos. A lo mejor, la solución es distinta de la esperada como cuando Ruffini demostró que la ecuación de quinto grado no era soluble por radicales.  Eso resolvía matematicamente el problema de la escuela de álgebra italiana. Pero, lo que Godel plantea es la existencia de un limbo matemático donde existen unas proposiciones verdaderas pero indemostrables, las cuales no conocemos ni tenemos un procedimiento para discriminar. Una observación final, el libro que recomiendo para leer sobre el teorema de Godel, es el de Nagel y Newman y Ud. , si está interesado, debe conseguir una copia del mismo. Sin embargo, en el libro se hace una larga analogía entre la demostración de Godel y la paradoja del mentiroso o la paradoja ricardiana de la teoría de numéros. No creo que eso es lo más justo ya que pienso que el argumento de Godel es en realidad un argumento diagonal cantoriano. El lector de esta nota al reflexionar sobre la demostración de Godel llegará a su propia conclusión.

sábado, 23 de agosto de 2014

Riemann, Lebesgue, Henstock y Kurzweil

Para el estudiante de matemáticas los dos primeros nombres son muy conocidos y con seguridad ha estudiado la construcción de las integrales de Riemann  y Lebesgue en sus cursos de Cálculo y Teoría de la Medida. Dudo mucho que conozca los nombres de Henstock y Kurzweil. El asunto es que los estudiantes ganarían mucho conociendo a los matemáticos Henstock y Kurzweil y su integral de calibre como demostraremos.
Riemann señaló el camino moderno a la integración siguiendo ideas que venían desde Arquímides.Su idea es aproximar un área complicada mediante una suma de rectángulos. Estas sumas de rectángulos se conocen como sumas de Riemann. Arquímides usó en su cuadratura de la parábola triángulos. Mientras más rectángulos usemos mejor la aproximación. El lector interesado puede ir a http://mathworld.wolfram.com/RiemannSum.html para generar sumas de Riemann de la función que quiera, en el intervalo que desee y con la cantidad de rectángulos que se le antoje.
Riemann Sum
Aquí puede ver la gráfica de $f(x)=x^3$ entre 0 y 2 y 29 rectángulos. 
Sin embargo, la integral de Riemann tiene algunos inconvenientes. Funciones como la función $D$ de Dirichlet no tienen integral de Riemann, esta función $D(x)$ se define como 1 si $x$ es irracional y 0 si $x$ es racional. Argumentos provenientes de la física sugieren que la integral debe ser 1 en cualquier intervalo unitario. Pero el método de Riemann falla, ya que su integral requiere que la función sea continua "casi siempre". La función de Dirichlet es discontinua siempre. Este problema y otros motivaron a Lebesgue a construir, en 1905, una nueva integral. Lebesgue pensaba que en la integral de Riemann era como contar  billetes en una caja registradora sin orden alguno, mientras que en su integral primero se agrupaban en categorías billetes de 10, de 50, de 100 y luego se multiplica la cantidad de billetes en una denominación por el valor de esa denominación sumando los resultados. Su integral es muy poderosa y constituyó un gran avance en el análisis matemático. Sin embargo, su construcción es lenta y depende de hacer una primera construcción bastante larga y delicada: la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$. Invitamos al lector del blog a leer la introducción del libro Un segundo curso de Integración, la integral de Henstock-Kurzweil del Prof. Ignacio Iribarren para interesantes comentarios sobre la integral de Riemann y Lebesgue. En ese texto encontrará también un desarrollo meticuloso de la integral de calibre o de Henstock-Kurzweil. El libro está disponible parcialmente en http://books.google.co.ve/books/about/Un_segundo_curso_de_integraci%C3%B3n.html?id=cEN-caaOHrwC&redir_esc=y aunque mejor consiguen una copia en físico (editado por Equinoccio, USB) ya que es un muy buen libro a un precio económico.
La integral de calibre de Henstock-Kurzweil es una opción extraordinaria para obtener una integral muy potente pero de sencilla construcción. La idea central es hacer lo que hizo Riemann pero introduciendo el concepto de calibre. El cambio es muy pequeño y lo que se obtiene es muy interesante. Por ejemplo, Leibniz pensaba que el  Teorema Fundamental del Cálculo es un teorema de sumas telescópicas. Esto se ve muy claramente para la integral de calibre. Por otro lado, dicha integral se aplica de manera ventajosa para ciertos problemas de Ecuaciones Diferenciales. Es una integral tan potente cono la integral de Lebesgue.
 Henstock y Kurzweil en un congreso matemático
 Recomiendo la lectura del bonito artículo A Return to Riemann Integral de Bartle (disponible en https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Bartle625-632.pdf ) para conocer lo básico de la integral de calibre. 
Por último, creo que está integral es perfecta para ampliar los cursos de Cálculo de estudiantes de Educación Matemática y en algunas licenciaturas de matemática que no incluyan la integral de Lebesgue. Debemos divulgar la obra de estos matemáticos y su integral. Yo lo estoy haciendo en mis cursos. Entonces, ¿porqué no se enseña ampliamente esta integral?. No lo se, pero hay un  movimiento para lograr que se haga.

sábado, 19 de abril de 2014

Escrito en Venezuela: Matemáticos que cambiaron al mundo

Una tarde hace como ocho años atrás, un grupo de profesores dábamos unas charlas de historia de la matemática en Venezuela y el mundo en una biblioteca pública de Guatire. Conformábamos el grupo los profesores Sergio Rivas(jubilado UNA), Walter Beyer(jubilado UNA), Leonardo Rodríguez(jubilado UCV) y mi persona. Íbamos a tratar temas como la matemática de la belleza (Rivas), pesas y medidas en Venezuela(Rodríguez), matemática en Venezuela(Beyer) y la historia de la demostración(Gascón). Nuestra audiencia era heterogénea y formada por estudiantes y profesores de bachillerato, profesores universitarios y público en general. Cuando terminamos una persona de la audiencia que yo no conocía formuló varias preguntas interesantes y enseguida contó que venia desde Barquisimeto por la curiosidad que le causaba semejante ciclo de charlas de historia de las matemáticas. Allí conocí a el profesor Douglas Jiménez. Sólo una persona con gran vocación por la matemática y su divulgación se viene desde Barquisimeto a ver nuestro modesto evento. En un siguiente evento que organizamos en la UCAB, en honor al distinguido profesor Edgar Ferreira,   Douglas se unió al grupo y habló sobre el Logos y la reconstrucción de Fowler. Pero no voy a hablar del profesor Douglas Jiménez sino de un trabajo suyo: el libro Matemáticos que cambiaron al mundo(2006) publicado por El Nacional en su colección Arcadia.
Se trata de un libro muy entretenido e informativo pero escrito con rigor. Douglas nos relata la vida de los matemáticos desde Pitágoras hasta Einstein de manera amena. Muchas de las explicaciones matemáticas son muy formativas y por ello recomiendo el libro a estudiantes de matemática o de educación matemática. Complementan el libro una serie de notas, intercaladas con el texto principal,  que permiten ubicar a los personajes en su mundo. A veces las notas tratan algo curioso o ahondan en alguna explicación matemática. El libro está repleto de fotos, dibujos y muy bien diagramado. Una de las cosas que Douglas explota a lo largo del texto es la vinculación entre matemática y física, sin duda algo básico en cualquier recuento histórico de la matemática. Observe que el último invitado en su libro es Einstein lo cual revela la importancia que le da Douglas a la física. Al final del libro el lector encontrará una serie de matemáticos que no aparecen en las biografías principales pero importantísimos en la historia de nuestra ciencia. Creo que, el lector experto o el joven estudiante, encontrarán en este trabajo muchas cosas de interés.  Lo debo recomendar  a todos y créanme que lo leeran muy rápido y se divertiran con Douglas Jiménez.
Sobre el autor:
Douglas Jiménez nació en Caracas en 1952. Egresó como profesor del Instituto Pedagógico de Caracas en 1977. Tiene una maestría en Matemáticas Aplicables de la Universidad Centrooccidental Lisandro Alvarado. Actualmente es profesor en la UNEXPO, Barquisimeto, Estado Lara. Autor de varios libros como "Historia de la matemática: Pitágoras y el pitagorismo", "Álgebra, la magia del símbolo" y diversos artículos en revistas especializadas.

viernes, 28 de febrero de 2014

Polya

George Polya fue un matemático húngaro que vivio por muchos años en Estados Unidos de América y que destacó en Análisis Matemático y en el arte de resolver problemas. Escribio con Szego sus dos volumenes de problemas de Análisis Matemático. Con Hardy y Littlewood su clásico texto sobre desigualdades (Inequalities). Polya se interesó sobre la resolución de problemas y la enseñanza de matemática. Su método de resolver problemas está descrito en un excelente libro llamado How to solve it(Como plantear y resolver problemas, publicado por Trillas). Una elaboración mayor del texto se encuentra en su libro Matemática y Razonamiento Plausible (Tecnos). Creo que estos textos son básicos para el estudiante de matemáticas o educación matemática. Están llenos de ideas y vitalidad. Incitan a crear en el salón de clase un clima de reto, creatividad y estímulo a los alumnos. Son además muy entretenidos. "La mejor manera de resolver una dificultad es evitándola", "el profesor de matemáticas escribe en la pizarra x, dice que es y pero en realidad se trataba de z", "una técnica es un truco que aplicamos más de una vez", son algunas de las frases que leemos en How to solve it y que recordamos para siempre. Los libros de Polya sobre resolución de problemas indican que el descubrimiento matemático es algo que está al alcance de nuestros alumnos y que el profesor debe crear las condiciones apropiadas para que ocurra. Alerta Polya sobre indicarle al alumno pistas burdas que lleven al alumno a la solución sin disfrutar enfrentarse con el problema. Se trata del mismo reto que enfrenta un corredor de maratón: es doloroso pero placentero. También Polya escribio un decálogo del buen profesor de matemáticas. Dicha decálogo no está basado en consideraciones teóricas sobre la pedagogía y tiene un caracter empírico. Pero omitirlo es un gran error. Está basado en una exitosa carrera docente que se prolongó por un período de más de sesenta años(Polya vivio casi cien años). Dejamos el enlace donde Ud. los puede revisar y leer algo más sobre Polya http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com/2010/11/los-diez-mandamientos-del-profesor.html . Un profesor que maneje su clase siguiendo a Polya es un excelente profesor. No importa si conoce de competencias, conductivismo o contructivismo. Yo agregaría un consejo adicional, creo que es del matemático estadounidense Gian Carlo Rotta: explique una sola cosa en cada clase. Si va explicar el concepto de máximo tome esa clase para eso. Busque ejemplos de la vida cotidiana iluminados por el concepto de máximo( o mínimo, es lo mismo). Busque ejemplos con soluciones geométricas y analíticas elementales. Relate a los alumnos la relación de los máximos con la física y con el principio de Fermat. Deduzca la ley de Snell de la difracción basada en este principio. Sólo en la siguiente clase explique las técnicas analíticas usuales para encontrarlos, pero no aniquile el tema en una sola clase. Cumplir los programas es importante pero es más importante dejar en nuestros alumnos algunos sólidos conceptos.