Inducción y Elección

Muchas veces divagamos sobre la naturaleza del infinito en matemáticas, un concepto escabroso y difícil de entender. Le debemos al genio del sacerdote Bolzano el concepto de conjunto infinito: un conjunto $$A es infinito si podemos encontrar un subconjunto propio $$$$B\subset A$$ y una función $$f:B\longrightarrow A$$ $$ biyectiva. Por ejemplo, el conjunto de los naturales $N$ de acuerdo a Bolzano es infinito ya que $$\begin{array}{c}f:P\to N\\ f\left(n\right)=\frac{n}{2}\end{array}$$ es una biyección, aquí $P$ es el conjunto de los números pares, $P=\left\{0,2,4,6\cdots \right\}$ . Este hecho, aparente paradójico, de que un conjunto se pueda poner en correspondencia biunívoca con una parte propia de el mismo fue lo que hizo que Galileo alertara del peligro del infinito. Pero Bolzano fue más perspicaz y aprovecho esta característica para definir los conjuntos infinitos. Todos recordamos la impresión que nos causo de niños toparnos con un conjunto como el de los números naturales que no tenía fin, sin duda el primer conjunto infinito con el que tratamos. Pero, ¿qué son los números naturales?. Hacia finales del siglo XIX y principios del siglo XX, David Hilbert arrojó la metafísica fuera de las matemáticas: los objetos matemáticos quedan determinados por los axiomas, esto es los axiomas los caracterizan. Si usted quiere hablar del juego del ajedrez puede estudiar su historia y los elementos sicológicos que impulsan a los jugadores a jugar, puede descubrir el simbolismo medieval que ocultan las distintas piezas pero eso no es el ajedrez. Para definir el juego de ajedrez, usted debe dar sus reglas y punto. Por ejemplo, el rey puede mover un solo paso en cualquier dirección y el objeto del juego es capturar el rey adversario. Jugamos la partida en un tablero con 8 filas y 8 columnas, donde se alternan los colores blanco y negro, entre otras reglas. No hay filosofía aquí, solo definiciones y propiedades que determinan lo que llamamos ajedrez. Siguiendo a Hilbert, Peano formuló un conjunto de axiomas que el pensaba capturaban el concepto de número natural, estos  son los axiomas 

 

1. 0 es un número natural
2. Cualquier número natural $n$ tiene un sucesor denominado $s\left(n\right)$
3. Números distintos tienen sucesores distintos
4. 0 no es el sucesor de natural alguno
5. Si $A$ es un conjunto de números naturales que verifica $0\in A$ y si $n\in A$ entonces $s\left(n\right)\in A$ entonces $A$ es el conjunto de los números naturales

Si usted quiere darle alguna interpretación a los axiomas piense que el axioma 1. garantiza que hay al menos un número natural, en este caso el 0, también puede pensar, en relación al axioma 2. que el sucesor está determinado por la función $s\left(n\right)=n+1,$ así 1 es el sucesor de 0, 2 es el sucesor de 1, $\cdots$. El axioma 4. indica que 0 es el primer número natural. El axioma 5 es más complicado y es uno de los objetos de esta nota. Es el celebre principio de inducción matemática, una herramienta básica en la demostración de diversas propiedades matemáticas. Su historia es muy interesante y su uso como técnica matemática está unido a los nombres de Pascal y Fermat, este último lo llamaba “pruebas mediante el descenso infinito”. Es muy interesante comprobar que el principio de inducción matemática equivale a la propiedad siguiente de los números naturales, todo subconjunto de los números naturales tiene un menor elemento. Así para demostrar alguna propiedad de los naturales, Fermat argumentaba que de no cumplirse se podía construir una sucesión infinita de naturales cada vez menores, lo cual es imposible. Como siempre sucede en historia de las matemáticas, Fermat y Pascal tienen el antecedente de Maurolico, quien ya demostraba proposiciones por medio de inducción matemática y que quizas deba ser considerado el padre de la misma.

 

  Francesco Maurolico(16 de Septiembre 1494 - 21/22 de Julio 1575)

La inducción matemática es poco comprendida por los estudiantes de bachillerato y universitarios, usualmente se aprende como un algoritmo: probamos la proposición estudiada para 0, y suponemos cierta la misma para $k$ y mediante trucos algebraicos o de análisis la demostramos para $k+1$. Pero lo que está detras del método se entiende poco, recuerdo que Pi Calleja veía la inducción matemática como esas pilas de domino que colocamos unas tras de otra y que al caer la primera, hay un efecto en cadena y caen las demás. Yo les voy a contar una historia que invente para explicar de que trata la inducción matemática, como opera. Hay una vecindad que llamaremos la vecindad chismosa, de hecho en casí todos los barrios, edificios y vecindarios abunda el cotilleo y el murmullo. Pero los de la vecindad chismosa son realmente fanáticos del chisme, tan fanáticos que lo han regulado. Veamos de que manera.

El dibujo muestra las infinitas casas de la vecindad chismosa numeradas como 0,1,2,3,$\cdots \mathrm{.}$ Los puntos suspensivos después de las casas significa que las casas continuan ad infinitum. La regla de la propagación del chisme que se aplica en nuestra vecindad chismosa es muy sencilla. Si los habitantes de la casa numerada como $n$ reciben un chisme deben, después de oír y memorizar sus sustanciosos y sabrosos detalles, correr a la casa del vecino numerada como $n+1$ y zamparle la historia. Por ejemplo, si la gente de la casa 25 recibe una noticia sin desperdicio, debe salir a la casa 26 y comentarles lo ocurrido. Le pregunto a usted amigo lector, ¿qué ocurre si alguién le cuenta un chisme a los habitantes de la casa 0? ¿Cuantas casas de nuestra vecindad van a conocer el cuento?, por otro lado ¿qué pasa si el primero en oír el chisme son los habitantes de la casa 13?, ¿quienes se enteran en ese caso?. Es claro que si los dueños de la casa 0 oyen un chisme, al finalizar el mismo y siguiendo las reglas de este extraño condominio, deben ir rapidamente a la casa 1 y contarles lo que pasa, los de la casa 1, a su vez, iran a la casa 2, y así sucesivamente, no importa que hayan infinitas casas, eventualmente cualquier persona que viva en una de ellas se enterará de la historia. El segundo caso (el primero en oír el cuento vive en la casa 13) ocurre muchas veces en las aplicaciones de la inducción, en este caso los que se enteran del chisme son los de las casas 13, 14, 15,$\cdots \mathrm{.}$ , en las demostraciones matemáticas por inducción muchas veces no se puede empezar rutinariamente desde $n=0$ y la proposición estudiada es valida a partir de un cierto $N_0\mathrm{.}$ La inducción matemática es adecuada para muchas demostraciones de afirmaciones sobre un conjunto numerable pero ¿qué pasa con lo no numerable?, ¿se pede probar en estos conjuntos ciertas proposiciones mediante algo análogo a la inducción?. Es un hecho extraordinario mostrado por Cantor que los reales son un conjunto no numerable, ¿acaso podemos demostrar afirmaciones para conjuntos no numerables siguiendo un proceso inductivo?. Es claro que en inducción matemática la noción clave es la noción de orden, de hecho ya señalamos que el principio de inducción en los naturales es equivalente a que cualquier subconjunto de números naturales tenga un menor elemento. Recordamos que una relación $<$ de orden en el conjunto $A$ es una relación binaria definida en $A$ que es transitiva y antisimétrica, esto es

$$a<b,\,b<c\implies a<c, \textbf{transitiva}$$

$$a<b\implies b\nless a,\, \textbf{antisimetría}$$

Un buen orden es un orden en el que todo subconjunto tiene un menor elemento. Por ejemplo, $N$ es un conjunto bien ordenado pero $R$ con el orden usual no lo es. Una pregunta natural es, ¿se puede definir sobre cualquier conjunto un buen orden? La respuesta es sí, como mostro tiempo atrás Zermelo. Esto permite, de manera análoga a la inducción sobre los naturales, hacer inducción en conjuntos con cardinalidades mayores desarollando la teoría de ordinales y lo que se llama la inducción transfinita. Todo es consecuencia de un principio o axioma de aparente sencillez: dada cualquier familia de conjuntos se puede formar un nuevo conjunto que contiene un elemento de cada uno de los conjuntos pertenecientes a la familia considerada. Es lo que se llama el axioma de elección cuyas consecuencias son muy importantes, por ejemplo se usa para demostrar que existe una base en cualquier espacio vectorial. De hecho, la mayor parte del tiempo no usamos inducción transfinita para demostrar estas cosas sino usamos el Lema de Zorn, una versión muy práctica del axioma de elección que evita tener que digerir el uso de ordinales y procesos transfinitos. Creo que es mucho mejor así, esa sucesión de ordinales cada vez más grandes es una imagen tenebrosa.