jueves, 23 de julio de 2015

Godel y su teorema de incompletitud

El teorema de Godel es una pieza dificil de la matemática y para ser honestos es una pieza desconocida por matemáticos, profesores de matemática y público en general. Sin embargo, junto a la Relatividad de Einstein, la mecánica cuántica de Planck, Bohr, Schrödinger y otros y la Teoría de la Computación de Turing es uno de los descubrimientos científicos más importantes del siglo XX. Pero, ¿por qué a nadie le interesa y es tan poco conocido? Quizas se debe a su dificultad, quizas se debe a su inutilidad. El Teorema de Godel dice que los sistemas axiomáticos importantes de la matemática, como los axiomas de Peano, tienen dos graves problemas para el programa formalista hilbertiano: 1. Son incompletos, es decir, hay cosas verdaderas que no podemos demostrar usando los axiomas del sistema 2. No se puede demostrar la consistencia de los mismos a menos que usemos argumentos externos al propio sistema tratado Suponga que usted intenta demostrar que todo número par es la suma de dos números primos (Conjetura de Goldbach), por ejemplo 8=3+5, 12=5+5 y así sucesivamente. Todos los casos evaluados por medio de computadoras rapidísimas han confirmado la hipótesis pero una prueba que abarque todos los números pares no se ha podido conseguir. Suponga que Ud. sospecha, como el tío Petros, que a lo mejor esta proposición es una de las que cae en el punto ciego de las axiomáticas, ¿ayuda el teorema de Godel a dilucidar eso? No, el teorema de Godel es una afirmación existencial, esas proposiciones existen en la axiomática considerada pero no da ninguna pista para dilucidar cuales son estas proposiciones. Por ello digo que es un resultado inutil, es un resultado negativo de cualquier forma que se lo vea. Quizas por ello, Hilbert se molestó cuando conocio el resultado. Hilbert pensaba que los problemas matemáticos existían para ser resueltos. A lo mejor, la solución es distinta de la esperada como cuando Ruffini demostró que la ecuación de quinto grado no era soluble por radicales.  Eso resolvía matematicamente el problema de la escuela de álgebra italiana. Pero, lo que Godel plantea es la existencia de un limbo matemático donde existen unas proposiciones verdaderas pero indemostrables, las cuales no conocemos ni tenemos un procedimiento para discriminar. Una observación final, el libro que recomiendo para leer sobre el teorema de Godel, es el de Nagel y Newman y Ud. , si está interesado, debe conseguir una copia del mismo. Sin embargo, en el libro se hace una larga analogía entre la demostración de Godel y la paradoja del mentiroso o la paradoja ricardiana de la teoría de numéros. No creo que eso es lo más justo ya que pienso que el argumento de Godel es en realidad un argumento diagonal cantoriano. El lector de esta nota al reflexionar sobre la demostración de Godel llegará a su propia conclusión.