domingo, 29 de octubre de 2017

Belleza Matemática

"Bello como el encuentro fortuito, sobre una mesa de disección, de una máquina de coser y un paraguas"
Conde de Lautréamont 
¿Requiere la apreciación estética de comprensión? Cualquier persona puede ser conmovido por un cuadro o una pieza musical sin ser artista ni crítico de arte, los expertos quizás observen detalles y profundicen en aspectos oscuros al profano pero no se puede negar la profunda impresión y placer que muchas obras de arte causan en la gente común. 
 Detalle del Jardín de las Delicias, Del Bosco
 Pero en el caso de las matemáticas hay una distancia muy grande entre el experto y una persona cualquiera cuando se trata de apreciar la belleza de nuestra ciencia. Puedo afirmar, sin temor a equivocarme, que cuando decimos que un resultado o demostración matemática es hermoso es porque lo hemos comprendido y apreciamos las sutilezas que contiene, disfrutamos el ingenio del matemático o su profundo entendimiento sobre un tema. Por supuesto, en este mundo dado al tratamiento igualitario, a la venta de la no discriminación se pretende hacer ver que el gran público puede apreciar la belleza matemática viendo el dibujo de un fractal o haciendo imprecisas referencias a la Teoría del Caos. 
Conjunto de Julia
Sin embargo, se esquiva el problema de  ¿qué es una iteración? , ¿qué es un sistema dinámico?, o la convergencia de una sucesión o su divergencia al infinito. Queda el dibujo del fractal como una muy vaga aproximación a la belleza matemática, vaga, fugaz, lejana...
¿Qué es la belleza matemática? Voy a dar mi interpretación personal  mediante ejemplos. Para mi es bello, hermoso que Cantor se haya dado cuenta que existe el infinito actual y que este se presenta en distintos tamaños. Su demostración de que los números reales son un infinito mayor que el de los números naturales mediante su argumento diagonal impacta y conmueve por su hermosura, pero ¿a quién le llega?.  A quien la entienda, si no se ve la idea no hay belleza, porque la idea de la demostración es la que es bella.

Sucede en matemática lo mismo que en el ajedrez, si yo digo que la partida inmortal de Rubinstein es bellísima es porque la entiendo y veo en la sucesión de sacrificios lógica y creatividad que llevan a un mate imparable, para el profano son movidas y si acaso observa algo es que se hacen de acuerdo a las reglas del ajedrez, nada más. Para el matemático la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos es hermosa, al igual que la demostración de los chinos del Teorema de Pitágoras, donde la aritmética se une a una descomposición del tipo tangram de un cuadrado.
Las demostraciones hermosas el matemático Erdös decía que provenían directamente del Libro, una especie de texto místico donde se encontraban solo pruebas hermosas que los matemáticos extraían de allí, una visión platónica de la belleza matemática. ¿Más ejemplos? Veamos una muy conocido, cuando estamos en cuarto año de matemáticas en el bachillerato venezolanos somos expuestos a las progresiones aritméticas y geométricas, tema que es muy importante y en el cual se puede hacer un gran trabajo con los estudiantes. Uno ve la fórmula de la suma de los términos de la sucesión $$1,2,3,\cdots,n$$, que nos dice que la suma es $$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$
Probablemente ni se haga el intento en clase de demostrar esa fórmula, grave error porque nos perderemos el argumento inmortal del niño Gauss que observó  que $$1+n=2+(n-1)=\cdots=1+n$$
Descubrimiento que hizo en la escuela primaria cuando, como castigo por su mal comportamiento, su maestro les mando a calcular a su clase la suma de los primeros cien números naturales (dibujo arriba).
Un ejemplo más, tomemos la sucesión de los primos impares $$3,5,7,11,13,\cdots$$. Es claro, por el algoritmo de Euclides que cualquier primo impar es de una y sólo una de las siguientes formas $$4n+1\,\text{o}\,4n+3 $$
Veamos ahora lo siguiente $$5=1^2+2^2,13=2^2+3^2,17=1^2+4^2,\cdots$$, esto sugiere una bella hipótesis los primos de la forma 4n+1 son suma de dos cuadrados, mientras que los de la forma 4n+3 no lo son. Esa observación, a partir de una evidencia empírica, se asemeja a los descubrimientos de las ciencias naturales. Es además notable porque permite discriminar los primos en dos clases disjuntas completamente caracterizadas. Hay muchas demostraciones notables de este hecho y en una proxima entrega de nuestro blog daré una de ellas, una que es tomada del Libro.
Una advertencia al lector, no estoy negando la posibilidad de trasmitir al lego la belleza matemática, esa no es mi intención. De hecho los grandes divulgadores de la matemática lo hacen, los Gardner, los Miguel De Guzmán, los James R. Newman han hecho el esfuerzo junto con un lector cómplice para que se comprendan ideas y relaciones, y allí está la belleza matemática. 
 


3 comentarios:

  1. Bello artículo... aunque no todos lo comprendan.

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    1. Jejeje asi que vamos inductivamente agregando nuevas lagunas de comprensión, gracias por tu comentario

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  2. Hermoso artículo, ojo con la edición simbólica, sólo para paladares exquisitos.

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