Libros de matemática que llevaría a una isla desierta

Mi pequeño apartamento parece un mar de libros que rodean la isla donde habito. Así que rara vez me planteo la pregunta que libros me llevaría a una isla desierta, sin embargo como se de la necesidad de los jóvenes por orientación sobre cuales libros se deben leer, voy a tratar de establecer una respuesta a esa inquietante pregunta, si por accidente me quedo varado en una isla caribeña y sólo llevaba en mi equipaje 10 libros, ¿cuales escogería?. ¿Cuál es la bibliografía fundamental para un estudiante de matemática?. ¿Qué libros no deben faltar en nuestra biblioteca?. El asunto es de difícil solución ya que depende de los gustos e inclinaciones de cada lector, incluso depende en que área de la matemática este especializado y cuando estudio. Pero bueno tratemos de orientar a los jóvenes estudiantes, voy a hacer el esfuerzo y empecemos con el Cálculo Diferencial. Aquí la elección es un extraordinario libro para el cálculo de una variable libro:  Calculus de M. Spivak.  Se consigue en español publicado por Reverte, fue escrito con gran cariño lo que se refleja en sus páginas. Extraordinarios problemas, los de dos * son un reto.  Yo tengo la edición en dos tomos aunque existe una en un solo volumen. A los estudiantes les recomiendo buscarlo en físico, es un verdadero clásico

El álgebra abstracta tiene en el libro de Herstein una gran elección pero que es disputada por los excelentes textos de Fraleigh o Birkoff-McLane. Los franceses también tienen sus libros como el Godement o el Quensaynne, estos libros son muy formales y no los recomendaría para su estancia en la isla. Así, me quedo con el Herstein que considero un libro muy entretenido y riguroso. Prefiero la versión en inglés que la en castellano pero esa es la que tengo y que me puedo llevar.  Además, como bono sus problemas son muy buenos. 

¿Son todos mis libros escritos por matemáticos extranjeros? Pues no, una notable excepción es el libro del profesor Iribarren sobre Topología de Espacios Métricos. Es mi opinión que es el mejor libro de texto escrito por un matemático venezolano. Con este libro el estudiante puede hacer la transición del Spivak al campo del análisis matemático, de hecho al final del libro nos lanza a una introducción al estudio de los espacios de Banach. Muy pero muy bien escrito por un autor con una brillante carrera académica, en mi entrada sobre los profesores eméritos de las universidades venezolanas hablo del profesor Iribarren y su trabajo por la academia venezolana. 

El libro presenta la estructura matemática más importante para el análisis moderno: el espacio métrico. Fue Frechet quien , en 1906, axiomatizó esta estructura que aparece detrás de los espacios de Banach, de Hilbert , espacios de distribuciones, etc. El libro del Profesor Iribarren presenta los resultados fundamentales de la misma en un estilo claro. Pareciera que no sobra ni falta nada cuando leemos la exposición económica de definiciones, teoremas y demostraciones. Los problemas están magistralmente escogidos, extienden en algunos casos al texto pero siempre son atractivos invitando al lector a su realización. Por suerte para el joven estudiante el libro se encuentra en la web en pdf, si busca lo va a encontrar y le garantizo que el autor no tiene problema en que usted logre una copia de esa forma.

A veces los libros que mas nos gustan son sobre un tema básico y viejo como es la geometría, de Los Elementos de Euclides para acá hay mucho que escoger pero yo tengo predilección por un librito de la gran editorial Mir, Moscu: el de Pogorelov.

Aleksei Vasilevich Pogorelov

Excelente tratado, muy claro,  con notas históricas, buenos problemas y ejercicios que miden la compresión del texto. De nuevo, el libro está en la web y se puede bajar en pdf, yo prefiero la copia física del texto ya que pienso que los libros son esos amigos que están siempre presentes en silencio hasta que le solicitamos que hablen, el que guardo en mi biblioteca es una edición vieja de carátula dura que aquí les muestro 

Recuerdo que Spivak en su Calculus decía que hay pocos textos de Ecuaciones Diferenciales que merecen la pena de ser leídos. Similar opinión tiene Gian-Carlo Rota que escribio un libro sobre el tema con Garret Birkoff, en mi opinión excelente pero que el autor destroza en http://www.ega-math.narod.ru/Tasks/GCRota.htm. Spivak recomendada un libro de Hurewicz muy bueno pero yo prefiero el de Hirsh-Smale, tremendo libro. No solo tiene ecuaciones diferenciales, trata los sistemas dinámicos de tanta importancia actualmente y hace un estudio del álgebra lineal en función de su aplicación a las ecuaciones diferenciales. ¿Aplicaciones? Trae aplicaciones a la física como una discusión de la mecánica clásica muy breve pero muy buena y también aplica los resultados a la ecología, un tema de gran actualidad. 

Los problemas son la base y el alimento de la matemática, no hay necesidad de teorías matemáticas sin problemas para aplicarlas. Por ello,un libro que me parece muy importante para los jóvenes que no puede ser considerado como libro de texto es Como plantear y resolver problemas de Polya (How to solve it en inglés).  Allí se encuentra el método de Polya para resolver problemas matemáticos:

1. Comprenda el problema: ¿se puede verificar que los datos determinan la solución? Haga un dibujo, introduzca una notación adecuada...
2. Haga un plan para la solución, verifique la conexión entre sus pasos,...
3. Ejecute el plan para obtener la solución
4. Haga una visión retrospectiva, busque generalizar el problema, ¿lo puede resolver de manera inmediata?...

El libro me lo recomendó un compañero de estudios cuando empezaba la universidad, yo se lo agradezco infinitamente, diversos problemas son presentados para ver el método en acción, debo decir que adquirir maestría en el método de Polya requiere esfuerzo y muchos problemas para resolver! Sin duda, una pequeña joya es este libro.

Más sobre el libro aquí https://revistasuma.es/IMG/pdf/22/103-107.pdf. 

Otro libro extraordinario es el libro de Mishio Kuga, Galois Dream, Group theory and Differential Equations. El libro considera la posibilidad de tomar estudiantes primer año y lanzarlos de cabeza a la investigación matemática. Un libro altamente no lineal, elementos de variable compleja, topología algebraica, teoría de grupos y ecuaciones diferenciales se entrelazan para resolver una pregunta: ¿es soluble una cierta ecuación diferencial por cuadraturas?. Es una pregunta análoga a la que se planteó el joven Galois para las ecuaciones polinómicas, ¿cuando la ecuación es soluble por medio de expresiones radicales? El libro nos lleva a modo de lecciones semanales a resolver este problema para cierto tipo de ecuaciones. Dibujos animados acompañan el texto, chistes y ningún prerrequisito para el lector, ¿puede pedir usted más?. Recuerdo que Halmos decía que nada era más descorazonador que tener que ir a los requisitos de los prerrequisitos...En librerías venezolanas no lo va a encontrar, busque en la web pero pronto lo podrá leer en español gracias a una traducción hecha por un grupo de profesores UNA. 

Un tema importante en la formación del estudiante de matemáticas o de educación matemáticas es el de la Probabilidad, en mi opinión es un tema muy difícil y donde los libros tienden a ser decepcionantes. Una hermosa excepción es el libro de Kai Lai Chung para estudiantes de pregrado Elementary Probability with Stochastic Process. 

Un tratamiento equilibrado que no es formalmente pesado pero tampoco tiene la flaqueza en los fundamentos de otros libros del tema. El libro transpira el verdadero espíritu de la probabilidades y los problemas son muy bonitos. Trata  bellamente el tema de las paradojas que se producen en los cálculos de las probabilidades cuando no determinamos cuidadosamente el espacio muestral y al final trata el tema importante de los procesos estocásticos. Un libro muy bien escrito, fruto de un largo tiempo de trabajo con la investigación y enseñanza del tema. 

¿Puede faltar la historia de la matemática en mis libros para mi isla solitaria? No. Aquí no voy a escoger un libro típico de recuento global de lo que ha pasado en 4 mil años de desarrollos matemáticos y personajes fascinantes. Voy a recomendar un libro que mezcla la historia, la filosofía y los desarrollos matemáticos. Se trata del libro de Jesús Mosterín Los Lógicos. En este libro encontramos las biografías de Russell, Gödel, Cantor,... pero enmarcadas en el contexto de las matemáticas de su tiempo y en los problemas de los fundamentos de las matemáticas que enfrentaron. Pero esto no es todo, hay en cada lógico una exposición rigurosa de los temas más importantes que trataron en el ámbito de la lógica y los fundamentos matemáticos, eso me parece muy importante: nos encontramos las historias, anécdotas y vida de estos extraordinarios hombres pero también con el hecho matemático por lo que son recordados. Un libro muy bueno que sin duda requirió una amplia investigación del autor.

 Seguro que está aterrado, la lista termina y ¡quedan tantos buenos libros afuera! Tratemos de encontrar uan solución al problema, llevemos una enciclopedia de las matemáticas. Cualquier enciclopedia es un libro que aspira ser todos los libros, es una versión útil del libro de arena de Jorge Luís Borges, en matemáticas las hay muy buenas como la del MIT pero está comprende varios volúmenes y no puede ser llevada a nuestra isla a menos que debamos desechar el resto de nuestra selección. Así que me voy a inclinar por ser muy reciente y de un tomo único con The Princeton Companion to Mathematics editada por el medallista Fields, Timothy  Grovers. 

Excelente visión panorámica de la matemática contemporánea dividida de manera muy original en historia, temas, teoremas, teorías, biografías, impacto de la matemática y futuros desarrollos. Es un libro muy bueno y un consuelo al pensar en todo lo que dejamos en la biblioteca de la casa.