tag:blogger.com,1999:blog-74099000448762146432024-03-12T17:37:12.040-07:00Aleph UnoJose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.comBlogger57125tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-75864327805835510012022-05-21T02:48:00.002-07:002022-05-21T10:48:30.690-07:00La pandemia, YouTube y la academia<p style="text-align: justify;"> La pandemia ha impactado de manera negativa la vida de todos nosotros de muchas maneras, en esta entrada me voy a referir a su impacto en los estudios universitarios desde la perspectiva del docente. Me tocó como profesor de la UCAB montar mis clases en YouTube, hacer exámenes en línea en la plataforma módulo 7, interactuar con mis alumnos por medio de email, mensajes en la plataforma M7 o colocados directamente en los videos de YouTube como preguntas y respuestas de estudiantes y mías. No pude dar clases síncronas por Zoom por ser mi conexión en Venezuela realmente mala, de hecho todas las clases las coloque como videos en mi canal de YouTube "La matemática es fácil" lo que ayudo al crecimiento del mismo, tanto en número de subscriptores como en la cantidad de videos presentados en el canal. En mis labores me ayudo mucho el preparador Gustavo Arias, excelente estudiante de Administración y Contaduría de la UCAB, muy responsable y muy capaz en el uso de las TICS. Fue una experiencia de aprendizaje en la elaboración de videos, exámenes en linea y escribí un material que considero útil para la gente que estudia Cálculo en la carrera de Administración y Contaduría en el que aplico el paquete informático wxMaxima. Desde mi punto de vista aprendí cosas que puedo aplicar tanto en mis clases presenciales como en línea. Gracias a que hora estoy fuera de Venezuela tengo una conexión muy buena a Internet y estoy usando la herramienta Zoom en mis clases en línea. Pero, ¿qué aprendio el estudiante?. Mucchos se organizaron de manera correcta, crearon horarios de trabajo con compañeros, investigaron cosas en la Web, usaron mucho YouTube como una herramienta y se enfrentaron con éxito a las pruebas. Otros no lo hicieron y solo usaron la tecnología como una herramienta para copiarse de forma indiscriminada en el tiempo de pandemia. ¿Cómo se sabe esto? En distintas universidades venezolanas se descubrió como los estudiantes al conocer los problemas del examen los pasaban a profesores de otras universidades para su resolución con un pago por el "servicio". En otros casos se descubrieron aslatos directos a las plataformas informáticas donde se montaban los exámenes en línea para acceder a las respuestas correctas que el profesor debe cargar obligatoriamente en la plataforma si el examen es de selección simple. Otra manera de hacer trampa era la interconexión entre los estudiantes al realizar la prueba, algo que es muy difícil de evitar y comprobar. A nivel internacional ocurría lo mismo y proliferaron sitios de habla inglesa donde los estudiantes subían un problema y un conjunto de profesores en línea resolvían el mismo, subiendo la respuesta a la plataforma y cobrando unos 3 o 4$ por problema resuelto. Desde mi punto de vista es muy sencillo chequear que hubo una fraude académico importante durante la pandemia, la evidencia más clara son las calificaciones de los estudiantes y la cantidad de reprobados en las asignaturas, tengo estadísticas de semestres anteriores a la pandemia con un 30% de alumnos reprobados y durante la pandemia esa cantidad bajo a un 5% aproximadamente. </p><p style="text-align: justify;">El otro asunto delicado a la hora de evaluar el aprendizaje de los alumnos durante la pandemia es el uso de la herramienta YouTube para aprender. Yo la uso como investigador, docente y estudiante, es, sin lugar a dudas, una herramienta fantástica, una especie de biblioteca de Babel digital donde aparecen desde los mejores profesores hasta...profesores muy malos. Y allí va mi reflexión, puedo dar ejemplos de distintos videos de matemáticas con errores muy graves conceptualesy argumentales. Muchos de esos videos tienen decenas de miles de vistas y centenares de me gusta como evaluación del video y eso se debe a varias razones. Se vende la idea de presentar un resultado matemático de manera sencilla entonces, se cae en simplificaciones arbitrarias donde el autor del video cambia algunas definiciones matemáticas con lo que él cree que son sus equivalentes. El resultado es patético, llevando al estudiante a pensar que ha entendido un tema oyendo una exposición llena de falacias. En otros casos se debe directamente a ignorancia del profesor, a su mala preparación que nadie atiende ya que YouTube es una plataforma de libre acces para usuarios y youtubers, nadie le va a exigir a aguien que sube un video dominio de la materia que trata. ¿Cómo evitar que el estudiante se pierda en ese laberinto infinito de posibilidades? En mi opinión, la primera cosa a hacer es orientarlo en su busqueda, eso es una responsabilidad de la persona que dicta la asignatura. Se debe mandar enlaces de videos relevantes de otros profesores a los alumnos o indicarles sitios de un alto estandar académico como Khan Academy. Otra posibilidad es que el profesor monte directamente sus clases en la plataforma y refiera los estudiantes a ellas. Por último, debieramos volver a la era de Gutenberg y mandar a los estudiantes a leer un libro de texto. Eso conlleva a la magnífica posibilidad que cuando el estudiante se atasque en el libro vaya a YouTube con un objetivo puntual y es salir del atasco. El libro y su lectura también lo pueden ayudar a filtrar contenidos erroneos o alertarlo sobre los contenidos de determinados canales de la plataforma YouTube. Nada sustituye a un buen libro de texto. </p><p style="text-align: justify;">Publicado en El Nacional Web https://www.elnacional.com/opinion/youtube-la-pandemia-y-la-academia/<br /></p>Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-55359429859674132702021-03-21T16:24:00.000-07:002021-03-21T16:24:40.375-07:00<h3>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXaYzNJDTBx_6VjkRJfa_CwIfEk0Te1WSIvBBvExRaMp0xT0rDzzGyeMOl1ycUfijlAtXDnKDb8nr_ANktF939-XMqbezx0bOWJA2CeZQpenViyFrL88tBfypfPMc_hAIhzS8e1vvBFnE/s406/libroOmar.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="406" data-original-width="295" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXaYzNJDTBx_6VjkRJfa_CwIfEk0Te1WSIvBBvExRaMp0xT0rDzzGyeMOl1ycUfijlAtXDnKDb8nr_ANktF939-XMqbezx0bOWJA2CeZQpenViyFrL88tBfypfPMc_hAIhzS8e1vvBFnE/s320/libroOmar.png" /></a></div><br />Escrito en Venezuela</h3>
<h3>
Tópicos de Estadística, Aplicados a las Ciencias Sociales de Omar Alcalá (UCAB)</h3>
<div style="text-align: justify;">El tema de la Estadística y su comprensión es fundamental para el ciudadano, todos los días vemos diferentes cifras en las redes sociales que revelan información valiosa del mundo que nos rodea, ¿qué significan?, ¿cómo interpretarlas?, ¿Cómo nos afectan?. Para dar respuestas a estas preguntas contamos con una maravillosa herramienta, la Estadística. ¿Quiere aprender Estadística con un enfoque hacia las aplicaciones, con muchos ejemplos y explicada de manera sencilla? Aquí entra el texto del Prof. Omar Alcalá como una de las mejores alternativas disponibles para alcanzar estos objetivos. Es un texto ideal para el que quiere aprender lo básico del tema y aplicar esas ideas en un área del conocimiento, en este caso las ciencias sociales. </div><div style="text-align: justify;">El libro empieza con una agradable sorpresa, una breve historia de la estadística en el mundo y en Venezuela. Esto último es lo que más me gustó, como el autor señala, hay poco material sobre la historia de la estadística en el país, casi reducido al libro "La estadística en la historia de Venezuela" de gran historiador Manuel Alfredo Rodríguez. Omar hace un recuento entretenido y relevante de la evolución de esta ciencia en el país. El material del libro es básico y centrado en las aplicaciones, hay muchos ejemplos bien desarrollados y problemas en su contexto. Las explicaciones claras y breves, pasando de las definiciones a los resultados y posteriormente a las aplicaciones. Cubre el material que uno espera ver en un curso de este tipo, estadística descriptiva, medidas de tendencia central, análisis de regresión y correlación, series de tiempo y números índice. Cada capítulo contiene una serie de ejercicios que permiten verificar al estudiante el manejo del tema. Quizás uno extraña el uso de algún software informático como herramienta para el alumno, pudiendo ser Excel, R o el SPSS algunas opciones. Estos paquetes pueden ser usado por el estudiante para verificar sus cómputos en problemas cortos y para poder hacer un buen trabajo si la cantidad de datos es muy grande, además disponen de posibilidades gráficas para visualizar los resultados. Creo que una futura edición se podría incluir alguno. </div><div style="text-align: justify;">Por las razones expuestas, recomiendo ampliamente este libro para estudiantes de Ciencias Sociales que tienen que poder manejar la estadística como un conocimiento auxiliar a su disciplina, el libro es una edición dela UCAB del año 2014 y con seguridad se puede comprar allí, no se si está en pdf y se puede comprar en línea pero no cuesta echar un vistazo aquí https://abediciones.ucab.edu.ve/catalogo/.<br /></div><div style="text-align: justify;"> <br /></div><div style="text-align: justify;">Sobre nuestro autor: </div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHruP4DupqNNbky9tbIfpSRo2ZLVnZ5w_8vYwU-0DUOxtUrCB3aYZ6XCyuM-cb4hz3e4MOUhFZL5D3BDacVRWlszK6l_iFwrcJ2XiV2-tDELOE3y1hOZTCK9PjHnloDsV_s2GmjuLeTLU/s638/P_20180828_120711_BF.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="638" data-original-width="479" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHruP4DupqNNbky9tbIfpSRo2ZLVnZ5w_8vYwU-0DUOxtUrCB3aYZ6XCyuM-cb4hz3e4MOUhFZL5D3BDacVRWlszK6l_iFwrcJ2XiV2-tDELOE3y1hOZTCK9PjHnloDsV_s2GmjuLeTLU/s320/P_20180828_120711_BF.jpg" /> <br /></a><div class="gmail_default" style="font-family: verdana, sans-serif;">Omar Alcalá, nació en Caracas en el año de 1974.<br /></div><div class="gmail_default" style="font-family: verdana, sans-serif;">Licenciado en Educación mención física y matemáticas (UCAB)</div><div class="gmail_default" style="font-family: verdana, sans-serif;">Licenciado en Matemáticas, mención probabilidad y estadística (UNA)</div><div class="gmail_default" style="font-family: verdana, sans-serif;">Magister en Educación, mención: procesos de aprendizaje (UCAB)</div><div class="gmail_default" style="font-family: verdana, sans-serif;">Dos
libros publicados: <i>Tópicos de Estadística aplicados a la Ciencias
Sociales</i> y <i>El mapa conceptual</i>, herramienta para comprender mejor la
estadística.</div><div class="gmail_default" style="font-family: verdana, sans-serif;">Actualmente cursa el doctorado en Educación</div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"> </div><br /></div><div style="text-align: justify;"> <br /></div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-44121255418465122262020-11-13T17:59:00.003-08:002020-11-13T18:15:09.995-08:00Bernardo Bolzano, un genio poco recordado<div><p style="text-align: justify;">La aritmetización del análisis es un gran programa del siglo XIX que fue llevado a cabo por Cauchy, Riemann, Cantor, Dedekind y Weierstrass. En el siglo XVIII solo unos pocos matemáticos como Lagrange se preocuparon por dar al análisis el rigor del que carecía. Era necesario: </p><ol style="text-align: left;"><li>Definir los reales y mostrar su completitud</li><li>Establecer de manera rigurosa la idea de límite</li><li>Construir la integral de las funciones razonables</li><li>Demostrar algunos resultados que eran usados ampliamente</li><li>Entender la convergencia de las series</li><li>Distinguir entre la convergencia puntual y la uniforme de las series de funciones<br /></li></ol></div><p style="text-align: justify;">Otro problema que quedaba abierto y que fue atacado por Cantor era el de los conjuntos infinitos que eran usados de manera solapada en análisis y entender como comparar el "tamaño de los mismos". El proceso de como se logró aritmetizar el análisis se describe en muchas partes y usualmente la piedra fundacional es el Cours d' Analyze de Cauchy, un tratado que se toma como punto de partida en el proceso formalizar el análisis. Sin embargo, esta gran historia tiene un antecedente y es el trabajo de nuestro personaje, Bernardo Bolzano. Sacerdote, filosofo, teólogo y matemático nacido en Praga en 1781 aunque su familia era de origen italiano. </p><p></p><p></p><p style="text-align: justify;"><img alt="Bernard Bolzano.jpg" data-file-height="689" data-file-width="599" height="253" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Bernard_Bolzano.jpg/220px-Bernard_Bolzano.jpg" width="220" />Bolzano se dio cuenta que un conjunto era infinito si y solo si se podía establecer una biyección entre el conjunto y una parte propia del mismo. Veamos un ejemplo, los números naturales son la sucesión 0,1,2,3,...Todos sabemos que los pares, 0,2,4,... conforman un subconjunto propio de los números naturales. Sin embargo, la función f(n)=2n establece una biyección entre los naturales y los pares</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDlvs5tRCpyy6ZO2AzveUutD7W2jMOiQR7T5aQW1dz-xMJEg0a-wGZes21MbtC7_eKj_sVVGFdTgtSSiKR7HSAAAn8pgH0o5Cf1N-leZMBle7eMEA47_Je52LpMlAQN1aEkgOqofjudIU/s378/biyeccion.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="207" data-original-width="378" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDlvs5tRCpyy6ZO2AzveUutD7W2jMOiQR7T5aQW1dz-xMJEg0a-wGZes21MbtC7_eKj_sVVGFdTgtSSiKR7HSAAAn8pgH0o5Cf1N-leZMBle7eMEA47_Je52LpMlAQN1aEkgOqofjudIU/s320/biyeccion.png" width="320" /></a></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><p style="text-align: justify;">De esta manera demostramos que los naturales forman un conjunto infinito. Luego, Bolzano resolvió el problema del infinito actual en matemáticas, un problema que venía desde la matemática griega. Bolzano reflexionó que la matemática debía abandonar su aspecto intuitivo, sensorial, geométrico. Suyo es el ejemplo, mucho antes del de Weierstrass, de una función que carece de derivada en todo punto pero es continua. Acá pueden ver un applet que permite ver como se construye tal "monstruo"</p><p><a href="https://demonstrations.wolfram.com/BolzanosContinuousButNowhereDifferentiableFunction/">https://demonstrations.wolfram.com/BolzanosContinuousButNowhereDifferentiableFunction/</a></p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPjrayFTmKO4Fqq2stSzm7annyn-_P7UTOXvsy00jUMj_o_QBdgMIxrOQKdHZpB7fqrJk-6vSUp-PEKqdEwMv1HO_euAZZmZ9HLbFaQUpV3IR5MVrD72m_oTqd8HYc7BqQMagXyDkklew/s594/Construccion.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="377" data-original-width="594" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPjrayFTmKO4Fqq2stSzm7annyn-_P7UTOXvsy00jUMj_o_QBdgMIxrOQKdHZpB7fqrJk-6vSUp-PEKqdEwMv1HO_euAZZmZ9HLbFaQUpV3IR5MVrD72m_oTqd8HYc7BqQMagXyDkklew/s320/Construccion.png" width="320" /><br /></a></div>Bolzano fue capaz de dar en 1817 la definición moderna de continuidad, esa definición usualmente se atribuye a Weierstrass o a Cauchy. Leamos su definición, "<span class="inline-math-graphics"><img align="top" alt="" height="27px" src="http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap22/swptransparent.gif" width="1px" /><span style="position: relative; top: 5px;"><img align="bottom" alt="$f(x)$" height="22px" src="http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap22/Capitulo_22__7.jpg" width="31px" /></span></span>
es continua en un intervalo si para toda
<span class="inline-math-graphics"><img align="top" alt="" height="27px" src="http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap22/swptransparent.gif" width="1px" /><span style="position: relative; top: 5px;"><img align="bottom" alt="$x$" height="22px" src="http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap22/Capitulo_22__8.jpg" width="9px" /></span></span>
en el intervalo, la diferencia
<span class="inline-math-graphics"><img align="top" alt="" height="27px" src="http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap22/swptransparent.gif" width="1px" /><span style="position: relative; top: 5px;"><img align="bottom" alt="$f(x+w)-f(x)$" height="22px" src="http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap22/Capitulo_22__9.jpg" width="116px" /></span></span>
puede hacerse tan pequeña como uno quiera tomando
<span class="inline-math-graphics"><img align="top" alt="" height="27px" src="http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap22/swptransparent.gif" width="1px" /><span style="position: relative; top: 5px;"><img align="bottom" alt="$w$" height="22px" src="http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap22/Capitulo_22__10.jpg" width="12px" /></span></span>
suficientemente pequeña.
" Con tal nivel de rigor fue capaz de dar una demostración impecable del Teorema del Valor Medio, dicho resultado era usado por los matemáticos desde Newton y Leibnitz pero nadie lo había probado de manera rigurosa. El teorema indica que si una función continua cambia de signo en un intervalo entonces, se anula en algún punto del intervalo. <p></p><p><img alt="Capitulo_22__1.jpg" src="http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap22/Capitulo_22__1.jpg" />Estampilla de la Unesco en honor a Bolzano</p><p style="text-align: justify;">Bolzano trató de liberar el análisis matemático de dos cosas, apelar a la intuición geométrica y de usar los infinitesimales. Los infinitesimales eran usados por Newton y preferentemente por Leibnitz, es decir aparecen con el nacimiento del cálculo. Su uso era dudoso pero eran un método potente para encontrar poderosos resultados luego, los matemáticos se hicieron la vista gorda y los admitieron. Un infinitesimal es un número mayor que 0 pero menor que cualquier real positivo. Tales números, violan la propiedad arquimediana de los números reales, hecho que chocó a Newton. También, el obispo Berkeley escribió un librito, El Analista, donde criticaba el uso de los infinitesimales a los cuales llamó, "fantasmas de cantidades difuntas". Con su definición de continuidad, Bolzano muestra por primera vez que el cálculo diferencial e integral podía ser liberado del uso de los infinitesimales, un resultado crucial en el proceso de aritmetización del análisis matemático.</p><p style="text-align: justify;">Bolzano dió otros conceptos importantes como el de sucesión de Cauchy que equivale a la convergencia de una serie de números reales, ese concepto se atribuye erróneamente al gran matemático francés. No olvidemos a este sacerdote, filosofo y matemático, su trabajo es relevante en el avance de la matemática del siglo XIX, su posición política y religiosa no contribuyeron a divulgar su obra. Muere en 1848 y años después su trabajo es redescubierto por varios matemáticos, entre ellos Hankel (1839 -
1873).<br /></p><p><br /> </p><p> <br /><span class="css-901oao css-16my406 r-1qd0xha r-ad9z0x r-bcqeeo r-qvutc0"></span></p>Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-21785951029232268092019-08-11T08:04:00.000-07:002019-08-11T20:12:37.648-07:00¿Qué es un espacio de Hilbert? <i>Hermann Weyl: ¿Qué le pareció mi seminario sobre el Teorema de Riesz-Fischer?</i><br />
<i>David Hilbert: Creo que lo seguí bastante bien.</i><br />
<i>Hermann Weyl :Me alegro.</i><br />
<i>David Hilbert: Solo me quedo un interrogante, ¿qué es un espacio de Hilbert?</i><br />
<i><br /></i>
<i><a href="https://www.youtube.com/watch?v=gVosjjoy1MI" target="_blank">Hilbert y Weyl </a> </i>(Video de Hilbert y Weyl en Gotinga)<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5yC643SvqTIys_c6JOJDGNiEGtR-VQ8QHJlM3s63BbSIxb9pDEL0BRf4k7PDtiKpxseDXcYruS3njOcMrQcRy8uVMVO7YVAIskBEMTsJnjGlbQYIVlnyHPP0UCy9qxIKjWwBHqYwRBSc/s1600/descarga.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="208" data-original-width="244" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5yC643SvqTIys_c6JOJDGNiEGtR-VQ8QHJlM3s63BbSIxb9pDEL0BRf4k7PDtiKpxseDXcYruS3njOcMrQcRy8uVMVO7YVAIskBEMTsJnjGlbQYIVlnyHPP0UCy9qxIKjWwBHqYwRBSc/s1600/descarga.jpg" /></a></div>
La lección para la habilitación de Riemann a la docencia universitaria es uno de los grandes acontecimientos de la matemática, algunas personas piensan que allí nace la matemática moderna. Es poco claro lo que movió a Gauss para escoger ese tema entre la terna de opciones presentadas por el aspirante Riemann. Riemann sentía que ese era el tema que dominaba menos y usualmente el tutor escogía el tema más adecuado para el aspirante a ser habilitado, se esperaba un acuerdo entre ellos. Pero Gauss escogió el tema " <i style="background-color: #f7f7f7; font-size: 16px; letter-spacing: -0.133333px; text-align: left;">Sobre las hipótesis que hacen de fundamento de la Geometría</i><span style="background-color: #f7f7f7; font-size: 16px; letter-spacing: -0.133333px; text-align: left;">.</span>" y el mundo matemático le debe otro favor al gran matemático Gauss. Hay una muy buena traducción de este trabajo hecha<span style="background-color: #f7f7f7; font-size: 16px; letter-spacing: -0.133333px; text-align: left;"> por el filosofo David García Bacca</span> que fue editada por la UCV<span style="background-color: #f7f7f7; font-size: 16px; letter-spacing: -0.133333px; text-align: left;">, no se si se puede adquirir o si ha sido reeditada, data de 1978.</span> No voy a discutir el potente y profundo trabajo de Riemann en su disertación, solo me voy a referir a dos aspectos esenciales para nuestra discusión de los espacios de Hilbert. En primer lugar, Riemann establece <i>la existencia de espacios de n dimensiones</i> señalando que el número de dimensiones del espacio no tiene que ser necesariamente 2 o 3 y que podemos tener variedades donde un punto $$\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)$$ es determinado por <i>n valores. </i>Pero Riemann no para allí y señala, lo que es esencial para el concepto de espacio de Hilbert, que es posible necesitar infinitas determinaciones para encontrar todas las coordenadas de un punto. Esto ocurre por ejemplo para una función definida en los reales, para determinarla se necesita conocer "su coordenada" <i>f</i>(<i>x</i>) donde <i>x </i>es real, es decir Riemann se puede considerar como la primera persona que vislumbró el concepto de espacio funcional, un hecho importantísimo para la matemática del siglo XX. Por supuesto, espacios de 5 o infinitas dimensiones no se pueden visualizar, lo importante es su definición matemática apropiada y tal definición es necesariamente abstracta. El tema de las paralelas ronda la matemática desde que Euclides incluyó, con aguda visión, su quinto postulado, que dice "dada una recta L y un punto P fuera de ella existe una y solo una paralela L1 a L que pasa por P".<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTdOXa4eHeJRw4phC0rOewpP3nyNRdOSj4zjSg1VZzKb1cN17Ny0G5DxrtMXJFUQNGYQsbIjqP5IH4oYIMyE9vGHwUj4Tcxd1sJ33uF1bK1wSeVQtlAHxTgxXufL9eqrg4RD20wHC3KX8/s1600/descarga+%25281%2529.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="177" data-original-width="285" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTdOXa4eHeJRw4phC0rOewpP3nyNRdOSj4zjSg1VZzKb1cN17Ny0G5DxrtMXJFUQNGYQsbIjqP5IH4oYIMyE9vGHwUj4Tcxd1sJ33uF1bK1wSeVQtlAHxTgxXufL9eqrg4RD20wHC3KX8/s1600/descarga+%25281%2529.jpg" /></a></div>
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Como sabemos Euclides formuló su V postulado de manera menos intuitiva y desde un primer momento levantó sospechas, ¿era un axioma¿? o quizás ¿se puede demostrar como teorema?. El resto de los axiomas de Euclides eran muy evidentes, no así este. Miles de años pasaron hasta que Riemann explicó lo que ocurría. El quinto postulado corresponde a una métrica o distancia entre puntos donde vale el Teorema de Pitágoras. Una métrica determinaba en el espacio las lineas rectas o geodésicas, es decir que el espacio tenía que ser dotado de una estructura métrica, el espacio usual de la geometría euclídea tiene la distancia pitagórica que aprendimos en bachillerato. Y esto es lo que ocurre en el espacio de Hilbert, <i>el espacio de Hilbert es un espacio de infinitas dimensiones donde se verifica el teorema de Pitágoras. </i>Su construcción no fue realizada inmediatamente, se necesitó que aparecieran problemas matemáticos donde fuera relevante el concepto de espacio hilbertiano, como la ecuación del calor y las series de Fourier o el trabajo de Hilbert en la solución de las ecuaciones integrales. La forma en la cual se introduce la métrica depende del concepto de producto interno que implícitamente lleva la posibilidad de medir ángulos y distancias. El lector recordará que una proposición equivalente al V postulado es que "todo triángulo tiene una suma de ángulos interiores igual a dos rectos". Luego, el producto interno se define para que valga esta proposición o para que valga el Teorema de Pitágoras, usted escoge su favorita, pero desembocamos en lo mismo, en un espacio de Hilbert. </div>
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Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-89051545517325053822018-10-27T18:08:00.000-07:002018-10-28T12:06:27.968-07:00Escrito en Venezuela: Álgebra, Estructuras Algebraicas<div style="text-align: justify;">
Una primera cosa que destaca del texto del Dr. Rivero es lo claro se su exposición, demostraciones muy bien argumentadas, definiciones con muchos ejemplos y los temas muy bien organizados. Si a eso le sumamos una bonita edición de las ecuaciones y fórmulas, con un buen espaciado, tenemos un texto que invita a su lectura.<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFXTU18TIzsjV1RqYuDoavfSPhTVdJgeHNvOfQeZ6Dhvnkwpp9qX7ZsEeFZj-FTxWLTxMkgNTcDxKbOd0ZJ4TOAszZSKgRZy17GaX_56M2l3Q7Oq9lAP4-sBu2p0zs1UpcJUP7w5Z6BEo/s1600/IMG_20181027_181142879%255B1%255D.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1600" data-original-width="1200" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFXTU18TIzsjV1RqYuDoavfSPhTVdJgeHNvOfQeZ6Dhvnkwpp9qX7ZsEeFZj-FTxWLTxMkgNTcDxKbOd0ZJ4TOAszZSKgRZy17GaX_56M2l3Q7Oq9lAP4-sBu2p0zs1UpcJUP7w5Z6BEo/s320/IMG_20181027_181142879%255B1%255D.jpg" width="240" /></a></div>
El libro se adecua a las carreras de matemática y educación matemática y se puede pensar como un texto de un semestre o, a un paso menos exigente, para dos semestres de álgebra básica. El material es estandard, leyes de composición, grupos, anillos y cuerpos son explicados de manera muy clara y se da también una breve introducción al álgebra conmutativa, tema que debe ser profundizado en postgrado siguiendo, por ejemplo, el hermoso libro de Atiyah y MacDonald. Los problemas son adecuados para aplicar las técnicas fundamentales pero otros representan un reto al lector. El lector experto reconocerá algunos de esos problemas ya que aparecen en textos como el de Herstein pero para el que estudie por primera vez el tema esos problemas son una fuente de gran entretenimiento. En el texto aparecen notas históricas muy interesantes, por ejemplo, me enteré de que Argand dio una demostración original y sencilla del Teorema Fundamental del Álgebra y la referencia es un artículo de C. Fefferman en la Monthly. Estoy leyendo sobre la prueba ahora, sin embargo me costo encontrar en la bibliografía del libro la referencia ya que las cosas allí no están en orden alfabético y hay varios errores de transcripción. Eso es una cosa que se debe mejorar del libro, también aparecen algunos errores de tipeo en el texto, todos ellos cosas menores pero que deben ser corregidas para una segunda edición.<br />
El libro lo compre en una feria del libro de la UCAB pero lo he visto en las Librerias del Sur y con seguridad se puede encontrar en la ULA, su precio realmente económico. Pero lo que es mejor es que el autor nos deja a nuestra disposición casí todos sus libros en la excelente Web Saber-ULA <a href="http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/index2.html" target="_blank">http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/index2.html </a><br />
En resumen, el estudiante de matemáticas encuentra en el libro del Dr. Rivero una excelente primera aproximación al mundo del álgebra abstracta y no dudamos recomendar que obtenga una copia del mismo en físico o digital.<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJrHQUcA6n9W4XFz0C51FePjb5rsa65hG8v0lz7LxZtuWuUvf-yayce3s4ciFFMqPrG5ov9FB1U67Tz73rgAR-4kyeggBzkkvyGG5VtCaWWu_FILTLN-xW_vPBOzpiSLGvOiEBM88thVQ/s1600/rivero.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="254" data-original-width="217" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJrHQUcA6n9W4XFz0C51FePjb5rsa65hG8v0lz7LxZtuWuUvf-yayce3s4ciFFMqPrG5ov9FB1U67Tz73rgAR-4kyeggBzkkvyGG5VtCaWWu_FILTLN-xW_vPBOzpiSLGvOiEBM88thVQ/s1600/rivero.jpg" /></a>Tomado de la Web del Profesor:<br />
<div style="text-align: justify;">
Mi
Trabajo. <br />
Licenciado en Matemáticas de la ULA Dpto. de Matemáticas
Facultad de Ciencias 1976. Maestría en Matemáticas U.L.A .
1980.<br />
Ph.D. en Álgebra. Louisiana State University USA en
1987. Profesor de la Facultad de Humanidades Escuela de
Educación de la ULA desde 2002.<br />
He publicado algunos artículos sobre teoría de números,
Álgebra, matemática educativa y también algunos libros de
Texto sobre éstos temas. Tutor de cuatro tesis de Maestría.<br />
Me gusta pintar al óleo y escribir sobre viajes, cuentos,
poesías, valores y la vida de la ciudad. He trabajado
en el Ministerio de Educación, Zona Educativa de
Mérida.<br />
Mi interés principal en los últimos veinte años ha sido el
de mejorar la enseñanza de la matemática en la
educación básica, media y diversificada.
</div>
<div style="text-align: justify;">
La presente foto fue tomada el 3-4-2010 en la casa de Mucurubá. Aquí estoy con mi nieto José Manuel de 20 meses y
detrás está San Francisco de Asís protegiéndonos.</div>
<div style="text-align: center;">
<img align="left" border="0" src="http://www.webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/PICT0397.JPG" height="260" width="193" /> </div>
<div style="text-align: justify;">
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</div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-6121661861825741712018-08-19T14:35:00.000-07:002018-08-19T14:35:33.944-07:00Intangibles en Análisis Real<div style="text-align: justify;">
Un intangible, segun mi diccionario de bolsillo, es algo que no puede ser tocado pero debemos ampliar un poco esta definición para expresar la idea de nuestra entrada de hoy. ¿Podemos tocar algún objeto en matemáticas?, ¿no es la matemática la ciencia de lo intangible? Para nuestra entrada intangible tiene un significado distinto y se lo debemos a Eric Schecter en su <b>Handbook of Analysis and its Foundations</b>, lo aclararemos por medio de ejemplos. Voy con el primer ejemplo, lo lamento pero nuestra discusión es hoy técnica. Sabemos que el espacio $$X=L^{1}[0,1]$$ no es reflexivo. Eso significa que el dual de $$L^{\infty}[0,1]$$ contiene objetos que no pertenecen a <i>X. </i>¿Qué son estos objetos?, ¿podemos dar un ejemplo? Resulta ser que son medidas finitamente aditivas, suena muy bien, ¿acaso conocemos alguna? La respuesta es no. Similar situación ocurre con los conjuntos de la recta real y su medida de Lebesgue. La medida es una noción similar a la de longitud, así la medida del intervalo [0,1] es 1, la medida de un punto es 0, etc. ¿Tendrán todos los conjuntos de la recta una medida pudiendo ser su valor infinito? La respuesta es no, hay conjuntos de la recta real que no tienen longitud. ¿Podemos dar un ejemplo de los mismos, es decir construir alguno específico? La respuesta es de nuevo no, aquí aclaramos que no consideramos el uso del axioma de elección como algo constructivo. Estos objetos, conjuntos sin medida y medidas finitamente aditivas son ejemplos de lo que llamamos <i>intangibles. </i>¿Mas ejemplos de intangibles? En la construcción del universo de los números infinitesimales mediante el análisis no estandar se hace uso del concepto de ultrafiltro, los ultrafiltros se construyen de nuevo usando el lema de Zorn o su equivalente, el terrible axioma de elección, eso lleva de nuevo a la imposibilidad de mostrar el ultrafiltro, de hecho hay muchos ultrafiltros, son como Dios: existe pero no lo podemos ver, es intangible. La situación presentada me recuerda un metaprincipio expuesto por Halmos en alguno de sus libros, creo que en su joya A Hilbert Space Problem Book, allí Halmos establece, si Ud. puede escribir una función entonces esa función es medible. La "demostración" es fácil , si la escribimos ya no es un intangible y por ende debe ser medible, por supuesto bromeamos con esta prueba pero hay algo de cierto en lo que decimos, lo que podemos construir, especificar completamente va a tener buenas propiedades, de alguna manera los intangibles si tienen alguna característica en común es que son objetos diabólicos y que desafían nuestro intuición. ¿Más ejemplos de intangibles?</div>
<ul>
<li>Dos normas en un espacio vectorial que sean completas pero no equivalentes (trate Ud. de construirlas)</li>
<li>Un buen orden de los numeros reales (¿se anima?)</li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
¿Qué hace el buen profesor ante esta situación? Siempre considero fundamental anexar ejemplos a cada concepto con el que me encuentro en clase. Pero en este caso, eso no es posible. Nos queda un consuelo, el prof. Ramón Bruzual me contó esta frase del Prof. Iribarren, un curso de análisis matemático es un buen sitio para perder la virginidad matemática. </div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-84647355548396601552017-10-29T15:56:00.003-07:002017-10-29T16:13:58.608-07:00Belleza Matemática<span class="st"><i>"Bello</i> como el encuentro <i>fortuito</i>, sobre una <i>mesa de disección</i>, de una <i>máquina</i> de coser y un <i>paraguas"</i></span><br />
<span class="st">Conde de Lautréamont </span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span class="st">¿Requiere la apreciación estética de comprensión? Cualquier persona puede ser conmovido por un cuadro o una pieza musical sin ser artista ni crítico de arte, los expertos quizás observen detalles y profundicen en aspectos oscuros al profano pero no se puede negar la profunda impresión y placer que muchas obras de arte causan en la gente común. </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikTyEjAMZl6kEbQLqb9FusJNZwRK7xh2SxsM8T_GDd9C6kvSBBk0xXO5uJS6qRNFH2TPlXQ1H525mIpDxoBGBFHMvaV5IVjdt6NvoEV12DlATO79tpGYxxs-5WUjbXbEim3zQ0JYGytKc/s1600/220px-Hieronymus_Bosch_040.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="256" data-original-width="220" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikTyEjAMZl6kEbQLqb9FusJNZwRK7xh2SxsM8T_GDd9C6kvSBBk0xXO5uJS6qRNFH2TPlXQ1H525mIpDxoBGBFHMvaV5IVjdt6NvoEV12DlATO79tpGYxxs-5WUjbXbEim3zQ0JYGytKc/s1600/220px-Hieronymus_Bosch_040.jpg" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<span class="st"> Detalle del Jardín de las Delicias, Del Bosco</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="st"> Pero en el caso de las matemáticas hay una distancia muy grande entre el experto y una persona cualquiera cuando se trata de apreciar la belleza de nuestra ciencia. Puedo afirmar, sin temor a equivocarme, que cuando decimos que un resultado o demostración matemática es hermoso es porque lo hemos comprendido y apreciamos las sutilezas que contiene, disfrutamos el ingenio del matemático o su profundo entendimiento sobre un tema. Por supuesto, en este mundo dado al tratamiento igualitario, a la venta de la no discriminación se pretende hacer ver que el gran público puede apreciar la belleza matemática viendo el dibujo de un fractal o haciendo imprecisas referencias a la Teoría del Caos. </span></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVwftvp_RJ-iH_1qSM-AvQcAIQjEuGK9knO9ko5WnpEzjTGDhXTsUKaAgWDfBUdQH1gMsmgIkJud62uCdxilkZxLCLq-TJTO9wy3VXeCvcekjF9F6QDB6_ic7_VYyUZ85zO3daL1tirv4/s1600/256px-Julia_set_%2528ice%2529.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="192" data-original-width="256" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVwftvp_RJ-iH_1qSM-AvQcAIQjEuGK9knO9ko5WnpEzjTGDhXTsUKaAgWDfBUdQH1gMsmgIkJud62uCdxilkZxLCLq-TJTO9wy3VXeCvcekjF9F6QDB6_ic7_VYyUZ85zO3daL1tirv4/s1600/256px-Julia_set_%2528ice%2529.png" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
Conjunto de Julia</div>
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Sin embargo, se esquiva el problema de ¿qué es una iteración? , ¿qué es un sistema dinámico?, o la convergencia de una sucesión o su divergencia al infinito. Queda el dibujo del fractal como una muy vaga aproximación a la belleza matemática, vaga, fugaz, lejana...</div>
<div style="text-align: justify;">
¿Qué es la belleza matemática? Voy a dar mi interpretación personal mediante ejemplos. Para mi es bello, hermoso que Cantor se haya dado cuenta que existe el infinito actual y que este se presenta en distintos tamaños. Su demostración de que los números reales son un infinito mayor que el de los números naturales mediante su argumento diagonal impacta y conmueve por su hermosura, pero ¿a quién le llega?. A quien la entienda, si no se ve la idea no hay belleza, porque la idea de la demostración es la que es bella.<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEii6PsZ-hrMAYcdyq-uPGXDC0wjCYKrHlAI9hQccIsDODCcJbDNAxiUPWxEpZ9M4TjSzs00s88ymhPL68NsyS7D2Nrv8jWJJnr1BmIFL8kRBJ5swL-3qpYvDCmmEg-fzxB3hRVmnBSuXxA/s1600/Cantor.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="256" data-original-width="197" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEii6PsZ-hrMAYcdyq-uPGXDC0wjCYKrHlAI9hQccIsDODCcJbDNAxiUPWxEpZ9M4TjSzs00s88ymhPL68NsyS7D2Nrv8jWJJnr1BmIFL8kRBJ5swL-3qpYvDCmmEg-fzxB3hRVmnBSuXxA/s1600/Cantor.png" /></a> </div>
Sucede en matemática lo mismo que en el ajedrez, si yo digo que la partida inmortal de Rubinstein es bellísima es porque la entiendo y veo en la sucesión de sacrificios lógica y creatividad que llevan a un mate imparable, para el profano son movidas y si acaso observa algo es que se hacen de acuerdo a las reglas del ajedrez, nada más. Para el matemático la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos es hermosa, al igual que la demostración de los chinos del Teorema de Pitágoras, donde la aritmética se une a una descomposición del tipo tangram de un cuadrado.<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOhU4ajjYG539lX8lRIXitXtRqmMRzu0RVqKY7n53O5M7yGNJ7ZPJgnT5JKPvQo7dOGfzKEfjYOS3DYbANz-dZNJ2utx3pr_D7KDM5jiN8wE8ty8zl361VBP7zL_mt2YF5p8syd7I_NWw/s1600/%25C3%25ADndice.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="183" data-original-width="183" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOhU4ajjYG539lX8lRIXitXtRqmMRzu0RVqKY7n53O5M7yGNJ7ZPJgnT5JKPvQo7dOGfzKEfjYOS3DYbANz-dZNJ2utx3pr_D7KDM5jiN8wE8ty8zl361VBP7zL_mt2YF5p8syd7I_NWw/s1600/%25C3%25ADndice.png" /></a></div>
Las demostraciones hermosas el matemático Erdös decía que provenían directamente del Libro, una especie de texto místico donde se encontraban solo pruebas hermosas que los matemáticos extraían de allí, una visión platónica de la belleza matemática. ¿Más ejemplos? Veamos una muy conocido, cuando estamos en cuarto año de matemáticas en el bachillerato venezolanos somos expuestos a las progresiones aritméticas y geométricas, tema que es muy importante y en el cual se puede hacer un gran trabajo con los estudiantes. Uno ve la fórmula de la suma de los términos de la sucesión $$1,2,3,\cdots,n$$, que nos dice que la suma es $$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Probablemente ni se haga el intento en clase de demostrar esa fórmula, grave error porque nos perderemos el argumento inmortal del niño Gauss que observó que $$1+n=2+(n-1)=\cdots=1+n$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEja1h2loMuM4GF8xVIrGa5nD9Xsmn_v4Rni2TG3Ie6AqrWVr9KYwlpX5FjQ9iwYp9OzbUMmogL47RBZYocuWeno9MF8BhiNsTk9mybQ766dwB7pEYZriz-RbkHYGv__Imc_uz5-NxyUe5k/s1600/gauss.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="164" data-original-width="306" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEja1h2loMuM4GF8xVIrGa5nD9Xsmn_v4Rni2TG3Ie6AqrWVr9KYwlpX5FjQ9iwYp9OzbUMmogL47RBZYocuWeno9MF8BhiNsTk9mybQ766dwB7pEYZriz-RbkHYGv__Imc_uz5-NxyUe5k/s1600/gauss.png" /></a></div>
Descubrimiento que hizo en la escuela primaria cuando, como castigo por su mal comportamiento, su maestro les mando a calcular a su clase la suma de los primeros cien números naturales (dibujo arriba).<br />
Un ejemplo más, tomemos la sucesión de los primos impares $$3,5,7,11,13,\cdots$$. Es claro, por el algoritmo de Euclides que cualquier primo impar es de una y sólo una de las siguientes formas $$4n+1\,\text{o}\,4n+3 $$<br />
<div style="text-align: justify;">
Veamos ahora lo siguiente $$5=1^2+2^2,13=2^2+3^2,17=1^2+4^2,\cdots$$, esto sugiere una bella hipótesis <i>los primos de la forma 4n+1 son suma de dos cuadrados, </i>mientras que los de la forma 4<i>n+</i>3 no lo son. Esa observación, a partir de una evidencia empírica, se asemeja a los descubrimientos de las ciencias naturales. Es además notable porque permite discriminar los primos en dos clases disjuntas completamente caracterizadas. Hay muchas demostraciones notables de este hecho y en una proxima entrega de nuestro blog daré una de ellas, una que es tomada del Libro.</div>
<div style="text-align: justify;">
Una advertencia al lector, no estoy negando la posibilidad de trasmitir al lego la belleza matemática, esa no es mi intención. De hecho los grandes divulgadores de la matemática lo hacen, los Gardner, los Miguel De Guzmán, los James R. Newman han hecho el esfuerzo junto con un lector <i>cómplice </i>para que se comprendan ideas y relaciones, y allí está la belleza matemática. </div>
<div style="text-align: justify;">
<i> </i></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span class="st"></span><span class="st"><i></i></span>Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-90698313996500972342017-08-31T09:38:00.000-07:002017-09-05T06:21:36.855-07:00Inducción y Elección <style type="text/css">
/* Layout-provided Styles */
div.standard {
text-align: left;
}
ol.enumerate {
margin-top: 0.7ex;
margin-bottom: 0.7ex;
margin-left: 3ex;
text-align: left;
}
</style>
<br />
<div class="standard" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-30">Muchas veces divagamos sobre la naturaleza del infinito en matemáticas, un concepto escabroso y difícil de entender. Le debemos al genio del sacerdote Bolzano el concepto de conjunto infinito: un conjunto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><i><mi>A</mi></i>
</mrow></math> es infinito si podemos encontrar un subconjunto <i>propio</i> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
</mrow></math>$$B\subset A$$ y una función $$f:B\longrightarrow A$$ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi></mi>
</mrow>
</mrow></math> biyectiva. Por ejemplo, el conjunto de los naturales <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mstyle mathvariant="bold"><mi>N</mi>
</mstyle>
</mrow></math> de acuerdo a Bolzano es infinito ya que <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow><mi>f</mi><mo>:</mo><mi>P</mi><mo> → </mo>
<mstyle mathvariant="bold"><mi>N</mi>
</mstyle>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow><mi>f</mi><mo fence="true" form="prefix" stretchy="true" symmetric="true">(</mo><mi>n</mi><mo fence="true" form="postfix" stretchy="true" symmetric="true">)</mo><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi>
</mrow>
<mrow><mn>2</mn>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow></math> es una biyección, aquí <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><mi>P</mi>
</mrow></math> es el conjunto de los números pares, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>=</mo><mo fence="true" form="prefix" stretchy="true" symmetric="true">{</mo>
<mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mn>6</mn>
<mi>⋯
</mi>
</mrow><mo fence="true" form="postfix" stretchy="true" symmetric="true">}</mo>
</mrow>
</mrow></math> . Este hecho, aparente paradójico, de que un conjunto se pueda poner en correspondencia biunívoca con una parte propia de el mismo fue lo que hizo que Galileo alertara del peligro del infinito. Pero Bolzano fue más perspicaz y aprovecho esta característica para definir los conjuntos infinitos. Todos recordamos la impresión que nos causo de niños toparnos con un conjunto como el de los números naturales que no tenía fin, sin duda el primer conjunto infinito con el que tratamos. Pero, ¿qué son los números naturales?. Hacia finales del siglo XIX y principios del siglo XX, David Hilbert arrojó la metafísica fuera de las matemáticas: los objetos matemáticos quedan determinados por <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">los</span> axiomas, esto es los axiomas los caracterizan. Si usted quiere hablar del juego del ajedrez puede estudiar su historia y los elementos sicológicos que impulsan a los jugadores a jugar, puede descubrir el simbolismo medieval que ocultan las distintas piezas pero eso no es el ajedrez. Para definir el juego de ajedrez, usted debe dar sus reglas y punto. Por ejemplo, el rey puede mover un solo paso en cualquier dirección y el objeto del juego es capturar el rey adversario. Jugamos la partida en un tablero con 8 filas y 8 columnas, donde se alternan los colores blanco y negro, entre otras reglas. No hay filosofía aquí, solo definiciones <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">y propiedades</span> que determinan lo que llamamos ajedrez. Siguiendo a Hilbert, Peano formuló un conjunto de axiomas que el pensaba capturaban el concepto de número natural, estos son los axiomas </a></span></div>
<div class="standard" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">
</span><style type="text/css">
/* Layout-provided Styles */
ol.enumerate {
margin-top: 0.7ex;
margin-bottom: 0.7ex;
margin-left: 3ex;
text-align: left;
}
</style>
<br />
<ol class="enumerate"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-202">
<li class="enumerate_item">0 es un número natural</li>
<li class="enumerate_item">Cualquier número natural <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><mi>n</mi>
</mrow></math> tiene un sucesor denominado <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mi>s</mi><mo fence="true" form="prefix" stretchy="true" symmetric="true">(</mo><mi>n</mi><mo fence="true" form="postfix" stretchy="true" symmetric="true">)</mo>
</mrow>
</mrow></math></li>
<li class="enumerate_item">Números distintos tienen sucesores distintos</li>
<li class="enumerate_item">0 no es el sucesor de natural alguno</li>
<li class="enumerate_item">Si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><mi>A</mi>
</mrow></math> es un conjunto de números naturales que verifica <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mn>0</mn><mo> ∈ </mo><mi>A</mi>
</mrow>
</mrow></math> y si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo><mi>A</mi>
</mrow>
</mrow></math> entonces <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mi>s</mi><mo fence="true" form="prefix" stretchy="true" symmetric="true">(</mo><mi>n</mi><mo fence="true" form="postfix" stretchy="true" symmetric="true">)</mo><mo> ∈ </mo><mi>A</mi>
</mrow>
</mrow></math> entonces <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><mi>A</mi>
</mrow></math> es el conjunto de los números naturales </li>
</a></span></ol>
<ol class="enumerate"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-202">
</a></span></ol>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-202">
</a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Si usted quiere darle alguna interpretación a
los axiomas piense que el axioma 1. garantiza que hay al menos un número
natural, en este caso el 0, también puede pensar, en relación al axioma
2. que el sucesor está determinado por la función <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mi>s</mi><mo fence="true" form="prefix" stretchy="true" symmetric="true">(</mo><mi>n</mi><mo fence="true" form="postfix" stretchy="true" symmetric="true">)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo>
</mrow>
</mrow></math> así 1 es el sucesor de 0, 2 es el sucesor de 1, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mi>⋯
</mi>
</mrow></math>. El axioma 4. indica que 0 es el primer número natural.
El axioma 5 es más complicado y es uno de los objetos de esta nota. Es
el celebre principio de inducción matemática, una herramienta básica en
la demostración de diversas propiedades matemáticas. Su historia es muy
interesante y su uso como técnica matemática está unido a los nombres de
Pascal y Fermat, este último lo llamaba “pruebas mediante el descenso
infinito”. Es muy interesante comprobar que el principio de inducción
matemática equivale a la propiedad siguiente de los números naturales, <i>todo subconjunto de los números naturales tiene un menor elemento. </i>Así
para demostrar alguna propiedad de los naturales, Fermat argumentaba
que de no cumplirse se podía construir una sucesión infinita de
naturales cada vez menores, lo cual es imposible. Como siempre sucede en
historia de las matemáticas, Fermat y Pascal tienen el antecedente de
Maurolico, quien ya demostraba proposiciones por medio de inducción
matemática y que quizas deba ser considerado el padre de la misma.</span></div>
<div class="standard" style="text-align: center;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUX_w0tidKmLWmdZrbanLuUbjgwl9YUF6GFgOGeQyxVnofJxfMrivyVFXLyLVju7_t13nUTx4y0MSpzm-KzqK5nu2moD63Vs0uKvGFPa_oKFMm9mV6Qr5lpX6EhTAYuwp4qVd9hk9ffRg/s1600/255px-MAUROLICO_FRANCESCO2.JPG" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="291" data-original-width="255" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUX_w0tidKmLWmdZrbanLuUbjgwl9YUF6GFgOGeQyxVnofJxfMrivyVFXLyLVju7_t13nUTx4y0MSpzm-KzqK5nu2moD63Vs0uKvGFPa_oKFMm9mV6Qr5lpX6EhTAYuwp4qVd9hk9ffRg/s1600/255px-MAUROLICO_FRANCESCO2.JPG" /></a> </span></div>
<div class="standard" style="text-align: center;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-103"> Francesco Maurolico(16 de Septiembre 1494 - 21/22 de Julio 1575)</a></span> </div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-103">
</a></span></div>
<div class="standard" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-104">La
inducción matemática es poco comprendida por los estudiantes de
bachillerato y universitarios, usualmente se aprende como un algoritmo:
probamos la proposición estudiada para 0, y suponemos cierta la misma
para <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><mi>k</mi>
</mrow></math> y mediante trucos algebraicos o de análisis la demostramos para <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
</mrow>
</mrow></math>. Pero lo que está detras del método se entiende poco,
recuerdo que Pi Calleja veía la inducción matemática como esas pilas de
domino que colocamos unas tras de otra y que al caer la primera, hay un
efecto en cadena y caen las demás. Yo les voy a contar una historia que
invente para explicar de que trata la inducción matemática, como opera.
Hay una vecindad que llamaremos la <i>vecindad chismosa</i>, de hecho
en casí todos los barrios, edificios y vecindarios abunda el cotilleo y
el murmullo. Pero los de la vecindad chismosa son realmente fanáticos
del chisme, tan fanáticos que lo han regulado. Veamos de que manera.</a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-104">
</a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimH8u-IZnKtffmKYWmuvQZDP1fpXe7y_xYcd9QoUjgpQM9g8fR05tqLYdBTXxLcS1FXtql0qRYWPT5ERvc1ykm4iXAg-s9wK58P7k8HpW8QAjkTng70VhN2_OJYmhPV_VR0NX0PPFp0ss/s1600/induccionpng.PNG" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="417" data-original-width="566" height="235" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimH8u-IZnKtffmKYWmuvQZDP1fpXe7y_xYcd9QoUjgpQM9g8fR05tqLYdBTXxLcS1FXtql0qRYWPT5ERvc1ykm4iXAg-s9wK58P7k8HpW8QAjkTng70VhN2_OJYmhPV_VR0NX0PPFp0ss/s320/induccionpng.PNG" width="320" /></a></span></div>
<div class="standard" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-105"><br />
</a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-105">
</a></span></div>
<div class="standard" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-106">El dibujo muestra las infinitas casas de la vecindad chismosa numeradas como 0,1,2,3,<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mi>⋯
</mi><mn>.</mn>
</mrow>
</mrow></math> Los puntos suspensivos después de las casas significa
que las casas continuan ad infinitum. La regla de la propagación del
chisme que se aplica en nuestra vecindad chismosa es muy sencilla. Si
los habitantes de la casa numerada como <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><mi>n</mi>
</mrow></math> reciben un chisme deben, después de oír y memorizar sus
sustanciosos y sabrosos detalles, correr a la casa del vecino numerada
como <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
</mrow>
</mrow></math> y zamparle la historia. Por ejemplo, si la gente de la
casa 25 recibe una noticia sin desperdicio, debe salir a la casa 26 y
comentarles lo ocurrido. Le pregunto a usted amigo lector, ¿qué ocurre
si alguién le cuenta un chisme a los habitantes de la casa 0? ¿Cuantas
casas de nuestra vecindad van a conocer el cuento?, por otro lado ¿qué
pasa si el primero en oír el chisme son los habitantes de la casa 13?,
¿quienes se enteran en ese caso?. Es claro que si los dueños de la casa 0
oyen un chisme, al finalizar el mismo y siguiendo las reglas de este
extraño condominio, deben ir rapidamente a la casa 1 y contarles lo que
pasa, los de la casa 1, a su vez, iran a la casa 2, y así sucesivamente,
no importa que hayan infinitas casas, eventualmente cualquier persona
que viva en una de ellas se enterará de la historia. El segundo caso (el
primero en oír el cuento vive en la casa 13) ocurre muchas veces en las
aplicaciones de la inducción, en este caso los que se enteran del
chisme son los de las casas 13, 14, 15,<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mi>⋯
</mi><mn>.</mn>
</mrow>
</mrow></math> , en las demostraciones matemáticas por inducción muchas veces no se puede empezar rutinariamente desde <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn>
</mrow>
</mrow></math> y la proposición estudiada es valida a partir de un cierto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<msub>
<mrow><mi>N</mi>
</mrow>
<mrow><mn>0</mn>
</mrow>
</msub><mn>.</mn>
</mrow>
</mrow></math> La inducción matemática es adecuada para muchas
demostraciones de afirmaciones sobre un conjunto numerable pero ¿qué
pasa con lo no numerable?, ¿se pede probar en estos conjuntos ciertas
proposiciones mediante algo análogo a la inducción?. Es un hecho
extraordinario mostrado por Cantor que los reales son un conjunto no
numerable, ¿acaso podemos demostrar afirmaciones para conjuntos no
numerables siguiendo un proceso inductivo?. Es claro que en inducción
matemática la noción clave es la noción de orden, de hecho ya señalamos
que el principio de inducción en los naturales es equivalente a que
cualquier subconjunto de números naturales tenga un menor elemento.
Recordamos que una relación <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><mo><</mo>
</mrow></math> de orden en el conjunto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><mi>A</mi>
</mrow></math> es una relación binaria definida en <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><mi>A</mi>
</mrow></math> que es transitiva y antisimétrica, esto es
</a></span><br />
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-106">$$a<b,\,b<c\implies a<c, \textbf{transitiva}$$</a></span></div>
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-106">$$a<b\implies b\nless a,\, \textbf{antisimetría}$$</a></span></div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-106">
</a></span><br />
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-106"><br /></a></span></div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-106">
Un buen orden es un orden en el que todo subconjunto tiene un menor elemento. Por ejemplo, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mstyle mathvariant="bold"><mi>N</mi>
</mstyle>
</mrow></math> es un conjunto bien ordenado pero <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mstyle mathvariant="bold"><mi>R</mi>
</mstyle>
</mrow></math> con el orden usual no lo es. Una pregunta natural es,
¿se puede definir sobre cualquier conjunto un buen orden? La respuesta
es sí, como mostro tiempo atrás Zermelo. Esto permite, de manera análoga
a la inducción sobre los naturales, hacer inducción en conjuntos con
cardinalidades mayores desarollando la teoría de ordinales y lo que se
llama la inducción transfinita. Todo es consecuencia de un principio o
axioma de aparente sencillez: <i>dada cualquier familia de conjuntos se
puede formar un nuevo conjunto que contiene un elemento de cada uno de
los conjuntos pertenecientes a la familia considerada. </i>Es lo que se llama el axioma de <i>elección </i>cuyas consecuencias son muy importantes, por ejemplo se usa para demostrar que existe una base en cualquier espacio vectorial.</a></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-109"> De hecho, la mayor parte del tiempo no usamos inducción transfinita para demostrar estas cosas sino usamos <i>el Lema de Zorn</i>,
una versión muy práctica del axioma de elección que evita tener que
digerir el uso de ordinales y procesos transfinitos. Creo que es mucho
mejor así, esa sucesión de ordinales cada vez más grandes es una imagen
tenebrosa. </a></span></div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-109">
</a></span>Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-85952114294639884322017-06-27T09:30:00.001-07:002017-06-27T10:50:19.233-07:00Libros de matemática que llevaría a una isla desierta<div style="text-align: justify;">
Mi pequeño apartamento parece un mar de libros que rodean la isla donde habito. Así que rara vez me planteo la pregunta que libros me llevaría a una isla desierta, sin embargo como se de la necesidad de los jóvenes por orientación sobre cuales libros se deben leer, voy a tratar de establecer una respuesta a esa inquietante pregunta, si por accidente me quedo varado en una isla caribeña y sólo llevaba en mi equipaje 10 libros, ¿cuales escogería?. ¿Cuál es la bibliografía fundamental para un estudiante de matemática?. ¿Qué libros no deben faltar en nuestra biblioteca?. El asunto es de difícil solución ya que depende de los gustos e inclinaciones de cada lector, incluso depende en que área de la matemática este especializado y cuando estudio. Pero bueno tratemos de orientar a los jóvenes estudiantes, voy a hacer el esfuerzo y empecemos con el Cálculo Diferencial. Aquí la elección es un extraordinario libro para el cálculo de una variable libro: Calculus de M. Spivak. Se consigue en español publicado por Reverte, fue escrito con gran cariño lo que se refleja en sus páginas. Extraordinarios problemas, los de dos * son un reto. Yo tengo la edición en dos tomos aunque existe una en un solo volumen. A los estudiantes les recomiendo buscarlo en físico, es un verdadero clásico</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-jC2ecFWbJ6r-Jx3sYJ9TO8AKSbYS975dd2R2nhGxcahlAwevcPZkGojneEg3noor-UGx3zgepdVSktuccCj0g3HFx3NdLKXxEdvLU5gKg6i33fKTjaCgtTb3IC_Q3wZAOcydotyvWbI/s1600/spivak.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-jC2ecFWbJ6r-Jx3sYJ9TO8AKSbYS975dd2R2nhGxcahlAwevcPZkGojneEg3noor-UGx3zgepdVSktuccCj0g3HFx3NdLKXxEdvLU5gKg6i33fKTjaCgtTb3IC_Q3wZAOcydotyvWbI/s1600/spivak.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
El álgebra abstracta tiene en el libro de Herstein una gran elección pero que es disputada por los excelentes textos de Fraleigh o Birkoff-McLane. Los franceses también tienen sus libros como el Godement o el Quensaynne, estos libros son muy formales y no los recomendaría para su estancia en la isla. Así, me quedo con el Herstein que considero un libro muy entretenido y riguroso. Prefiero la versión en inglés que la en castellano pero esa es la que tengo y que me puedo llevar. Además, como bono sus problemas son muy buenos. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1NHtIN1agzwUgkH54FocJyLd070lt2bpFlUQ_ZFdyotIqngZM09K3yLKXnWuPUP1Nfo9h9NurZ2J7Nrk4aWHKtH6nu-UW0YxzlatZG_GO8DV8WrTKOpure5VVkOgNzKDOMMEj78YQK08/s1600/herstein.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="235" data-original-width="180" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1NHtIN1agzwUgkH54FocJyLd070lt2bpFlUQ_ZFdyotIqngZM09K3yLKXnWuPUP1Nfo9h9NurZ2J7Nrk4aWHKtH6nu-UW0YxzlatZG_GO8DV8WrTKOpure5VVkOgNzKDOMMEj78YQK08/s1600/herstein.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
¿Son todos mis libros escritos por matemáticos extranjeros? Pues no, una notable excepción es el libro del profesor Iribarren sobre Topología de Espacios Métricos. Es mi opinión que es el mejor libro de texto escrito por un matemático venezolano. Con este libro el estudiante puede hacer la transición del Spivak al campo del análisis matemático, de hecho al final del libro nos lanza a una introducción al estudio de los espacios de Banach. Muy pero muy bien escrito por un autor con una brillante carrera académica, en mi entrada sobre los profesores eméritos de las universidades venezolanas hablo del profesor Iribarren y su trabajo por la academia venezolana. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhygqlgaxyFM4kfScM15wogekmOVPCCsKwFhO2Sso4EW1q7o_swlnuLawgKr0fIbxbqah5K5DIbuosXULVRG1dOtDVTUH6gYLlRhoVachacWcF8TzVHoWefGLJ40AoSqXFZhKVQuZWqcdo/s1600/Iribarren.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="213" data-original-width="160" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhygqlgaxyFM4kfScM15wogekmOVPCCsKwFhO2Sso4EW1q7o_swlnuLawgKr0fIbxbqah5K5DIbuosXULVRG1dOtDVTUH6gYLlRhoVachacWcF8TzVHoWefGLJ40AoSqXFZhKVQuZWqcdo/s1600/Iribarren.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
El libro presenta la estructura matemática más importante para el
análisis moderno: el espacio métrico. Fue Frechet quien , en 1906,
axiomatizó esta estructura que aparece detrás de los espacios de Banach,
de Hilbert , espacios de distribuciones, etc. El libro del Profesor
Iribarren presenta los resultados fundamentales de la misma en un estilo
claro. Pareciera que no sobra ni falta nada cuando leemos la exposición
económica de definiciones, teoremas y demostraciones. Los problemas
están magistralmente escogidos, extienden en algunos casos al texto pero
siempre son atractivos invitando al lector a su realización. Por suerte para el joven estudiante el libro se encuentra en la web en pdf, si busca lo va a encontrar y le garantizo que el autor no tiene problema en que usted logre una copia de esa forma.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
A veces los libros que mas nos gustan son sobre un tema básico y viejo como es la geometría, de Los Elementos de Euclides para acá hay mucho que escoger pero yo tengo predilección por un librito de la gran editorial Mir, Moscu: el de Pogorelov.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPnZ_LO0uhXqIrz8ZIfw1-IWmk0py6zVX9-K63hihsc97u36Q7cZvrYDwmVuYs7iHaeecQQlYlV9WxD0x5HGpq4vMbhVJ10ytMSErczlqVW5257NeJ9YA4W4FWI9i6LtLDF3EA2GswhN4/s1600/Aleksei+Vasilevich+Pogorelov.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="214" data-original-width="160" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPnZ_LO0uhXqIrz8ZIfw1-IWmk0py6zVX9-K63hihsc97u36Q7cZvrYDwmVuYs7iHaeecQQlYlV9WxD0x5HGpq4vMbhVJ10ytMSErczlqVW5257NeJ9YA4W4FWI9i6LtLDF3EA2GswhN4/s1600/Aleksei+Vasilevich+Pogorelov.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span class="irc_su" dir="ltr" style="text-align: left;">Aleksei Vasilevich Pogorelov</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="irc_su" dir="ltr" style="text-align: left;">Excelente tratado, muy claro, con notas históricas, buenos problemas y ejercicios que miden la compresión del texto. De nuevo, el libro está en la web y se puede bajar en pdf, yo prefiero la copia física del texto ya que pienso que </span><span class="irc_su" dir="ltr" style="text-align: left;">los libros son esos amigos que están siempre presentes en silencio hasta que le solicitamos que hablen, el que guardo en mi biblioteca es una edición vieja de carátula dura que aquí les muestro </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjucZPUkF1H3iQa8zVdldJobNTeDaFU0nPL0HsfLSEqJudryoJXp3WPFbQptSHeIK9-1VDu3C-p6_MKnJVZUSw0-IMDfIXSWAqlvNN_0csYCllRvOkH3eXfRGOkhMiP0WT-JKddSFYJwcQ/s1600/pogorelov.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="960" data-original-width="704" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjucZPUkF1H3iQa8zVdldJobNTeDaFU0nPL0HsfLSEqJudryoJXp3WPFbQptSHeIK9-1VDu3C-p6_MKnJVZUSw0-IMDfIXSWAqlvNN_0csYCllRvOkH3eXfRGOkhMiP0WT-JKddSFYJwcQ/s320/pogorelov.jpg" width="234" /></a></div>
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<span class="irc_su" dir="ltr" style="text-align: left;">Recuerdo que Spivak en su Calculus decía que hay pocos textos de Ecuaciones Diferenciales que merecen la pena de ser leídos. Similar opinión tiene Gian-Carlo Rota que escribio un libro sobre el tema con Garret Birkoff, en mi opinión excelente pero que el autor destroza en <a href="http://www.ega-math.narod.ru/Tasks/GCRota.htm" target="_blank">http://www.ega-math.narod.ru/Tasks/GCRota.htm</a>. Spivak recomendada un libro de Hurewicz muy bueno pero yo prefiero el de Hirsh-Smale, tremendo libro. No solo tiene ecuaciones diferenciales, trata los sistemas dinámicos de tanta importancia actualmente y hace un estudio del álgebra lineal en función de su aplicación a las ecuaciones diferenciales. ¿Aplicaciones? Trae aplicaciones a la física como una discusión de la mecánica clásica muy breve pero muy buena y también aplica los resultados a la ecología, un tema de gran actualidad. </span></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiYP0waY65rBZ5nf8yvMuWHaTs3-bxoSmkrMl626HDiT5UKTTopgklc1JREYDiWrQgPIR4B8gIx-nUDGflu5jefgR3nq85R38c3Xa8vUOBx99Pk4sbW120qEw6LyrvYXOVgZczdIR8dYU/s1600/Hirsh+smale.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="960" data-original-width="666" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiYP0waY65rBZ5nf8yvMuWHaTs3-bxoSmkrMl626HDiT5UKTTopgklc1JREYDiWrQgPIR4B8gIx-nUDGflu5jefgR3nq85R38c3Xa8vUOBx99Pk4sbW120qEw6LyrvYXOVgZczdIR8dYU/s320/Hirsh+smale.jpg" width="222" /></a></div>
Los problemas son la base y el alimento de la matemática, no hay necesidad de teorías matemáticas sin problemas para aplicarlas. Por ello,un libro que me parece muy importante para los jóvenes que no puede ser considerado como libro de texto es <i>Como plantear y resolver problemas </i>de Polya (<i>How to solve it</i> en inglés). Allí se encuentra el método de Polya para resolver problemas matemáticos:<br />
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<li>Comprenda el problema: ¿se puede verificar que los datos determinan la solución? Haga un dibujo, introduzca una notación adecuada...</li>
<li>Haga un plan para la solución, verifique la conexión entre sus pasos,...</li>
<li>Ejecute el plan para obtener la solución</li>
<li>Haga una visión retrospectiva, busque generalizar el problema, ¿lo puede resolver de manera inmediata?...</li>
</ol>
El libro me lo recomendó un compañero de estudios cuando empezaba la universidad, yo se lo agradezco infinitamente, diversos problemas son presentados para ver el método en acción, debo decir que adquirir maestría en el método de Polya requiere esfuerzo y muchos problemas para resolver! Sin duda, una pequeña joya es este libro.<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxZkBbvWcf1yDSg9zkpz3VByE4EATCRpYYc0loJ1OYbl1E9vz__i4KQgiSqacCXlTfRXH6XMk0HTIYp8jWT6RDCKoJhWIiAd6HAi1iIQOESENpkGMt49OppfebMbwx8VkwWKc3aCwNLdQ/s1600/polya_howtosolveit.jpeg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1131" data-original-width="766" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxZkBbvWcf1yDSg9zkpz3VByE4EATCRpYYc0loJ1OYbl1E9vz__i4KQgiSqacCXlTfRXH6XMk0HTIYp8jWT6RDCKoJhWIiAd6HAi1iIQOESENpkGMt49OppfebMbwx8VkwWKc3aCwNLdQ/s320/polya_howtosolveit.jpeg" width="216" /></a></div>
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<span class="irc_su" dir="ltr" style="text-align: left;">Más sobre el libro aquí <a href="https://revistasuma.es/IMG/pdf/22/103-107.pdf" target="_blank">https://revistasuma.es/IMG/pdf/22/103-107.pdf</a>. </span></div>
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<span class="irc_su" dir="ltr" style="text-align: left;">Otro libro extraordinario es el libro de Mishio Kuga,<i> Galois Dream, Group theory and Differential Equations. </i>El libro considera la posibilidad de tomar estudiantes primer año y lanzarlos de cabeza a la investigación matemática. Un libro altamente no lineal, elementos de variable compleja, topología algebraica, teoría de grupos y ecuaciones diferenciales se entrelazan para resolver una pregunta: ¿es soluble una cierta ecuación diferencial por cuadraturas?. Es una pregunta análoga a la que se planteó el joven Galois para las ecuaciones polinómicas, ¿cuando la ecuación es soluble por medio de expresiones radicales? El libro nos lleva a modo de lecciones semanales a resolver este problema para cierto tipo de ecuaciones. Dibujos animados acompañan el texto, chistes y ningún prerrequisito para el lector, ¿puede pedir usted más?. Recuerdo que Halmos decía que nada era más descorazonador que tener que ir a los requisitos de los prerrequisitos...En librerías venezolanas no lo va a encontrar, busque en la web pero pronto lo podrá leer en español gracias a una traducción hecha por un grupo de profesores UNA. </span></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRNdH6gQktcN23nNDedSAj4rJcjAbTYqCYMycxhp8KTdkYJvcAItCriBiPJcCuNAl1GM5eT3fkBmycKBNOqj2tqIm0SG2QR7TA0v1oeaz7unId-giBAH-_GDicj9JCNHXp8U-WtoMs6T4/s1600/galoiskuga.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="499" data-original-width="350" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRNdH6gQktcN23nNDedSAj4rJcjAbTYqCYMycxhp8KTdkYJvcAItCriBiPJcCuNAl1GM5eT3fkBmycKBNOqj2tqIm0SG2QR7TA0v1oeaz7unId-giBAH-_GDicj9JCNHXp8U-WtoMs6T4/s320/galoiskuga.jpg" width="224" /></a></div>
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<span class="irc_su" dir="ltr" style="text-align: left;">Un tema importante en la formación del estudiante de matemáticas o de educación matemáticas es el de la Probabilidad, en mi opinión es un tema muy difícil y donde los libros tienden a ser decepcionantes. Una hermosa excepción es el libro de Kai Lai Chung para estudiantes de pregrado <i>Elementary Probability with Stochastic Process. </i></span><br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwe2wSGbVQTp9nOsRVX930zmO35i_S3F28pboAGKucwmyiyXM7-AJgDsN4NZWsW7mq-ZQBFQ4sTsf3UvKOcniTRSBKa48z3csTOKIYcBr2hiGJqncsArRJ2S8VhEDjgmvhVKlUMJNJgbU/s1600/chung.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="174" data-original-width="174" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwe2wSGbVQTp9nOsRVX930zmO35i_S3F28pboAGKucwmyiyXM7-AJgDsN4NZWsW7mq-ZQBFQ4sTsf3UvKOcniTRSBKa48z3csTOKIYcBr2hiGJqncsArRJ2S8VhEDjgmvhVKlUMJNJgbU/s1600/chung.jpg" /></a></div>
Un tratamiento equilibrado que no es formalmente pesado pero tampoco tiene la flaqueza en los fundamentos de otros libros del tema. El libro transpira el verdadero espíritu de la probabilidades y los problemas son muy bonitos. Trata bellamente el tema de las paradojas que se producen en los cálculos de las probabilidades cuando no determinamos cuidadosamente el espacio muestral y al final trata el tema importante de los procesos estocásticos. Un libro muy bien escrito, fruto de un largo tiempo de trabajo con la investigación y enseñanza del tema. </div>
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¿Puede faltar la historia de la matemática en mis libros para mi isla solitaria? No. Aquí no voy a escoger un libro típico de recuento global de lo que ha pasado en 4 mil años de desarrollos matemáticos y personajes fascinantes. Voy a recomendar un libro que mezcla la historia, la filosofía y los desarrollos matemáticos. Se trata del libro de Jesús Mosterín <i>Los Lógicos. </i>En este libro encontramos las biografías de Russell, Gödel, Cantor,... pero enmarcadas en el contexto de las matemáticas de su tiempo y en los problemas de los fundamentos de las matemáticas que enfrentaron. Pero esto no es todo, hay en cada lógico una exposición rigurosa de los temas más importantes que trataron en el ámbito de la lógica y los fundamentos matemáticos, eso me parece muy importante: nos encontramos las historias, anécdotas y vida de estos extraordinarios hombres pero también con el hecho matemático por lo que son recordados. Un libro muy bueno que sin duda requirió una amplia investigación del autor. <br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8p_oO2bRiW9-_LTqgX2YWdVwru9zBmxzQpdO7Tg0J26Aumsm8Tal0xuJHhsy6lxSUt2Yr-564IjQHmq64ykmXa2RzBtBEIj-FCu2nj342a4iLNpsQie-ra31FLR8sASveZG1sxxPD33s/s1600/mosterin.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="235" data-original-width="214" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8p_oO2bRiW9-_LTqgX2YWdVwru9zBmxzQpdO7Tg0J26Aumsm8Tal0xuJHhsy6lxSUt2Yr-564IjQHmq64ykmXa2RzBtBEIj-FCu2nj342a4iLNpsQie-ra31FLR8sASveZG1sxxPD33s/s1600/mosterin.jpg" /></a></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfV9QddgnSQoa77xCNTOVZeqQHCWx-gq44nbgdvzTtLzswEg9biCCflHxfP3HG2v1apBnE4Jq4Tgy7pmmqlqo8lnW8vGfvQvdgFiOJQRO_tGlVwVTLXnBokclpCgeg0p4QBLQxbhBDRv8/s1600/logicos.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="257" data-original-width="175" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfV9QddgnSQoa77xCNTOVZeqQHCWx-gq44nbgdvzTtLzswEg9biCCflHxfP3HG2v1apBnE4Jq4Tgy7pmmqlqo8lnW8vGfvQvdgFiOJQRO_tGlVwVTLXnBokclpCgeg0p4QBLQxbhBDRv8/s1600/logicos.jpg" /></a></div>
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<span class="irc_su" dir="ltr" style="text-align: left;"><i> </i>Seguro que está aterrado, la lista termina y ¡quedan tantos buenos libros afuera! Tratemos de encontrar uan solución al problema, llevemos una enciclopedia de las matemáticas. Cualquier enciclopedia es un libro que aspira ser todos los libros, es una versión útil del libro de arena de Jorge Luís Borges, en matemáticas las hay muy buenas como la del MIT pero está comprende varios volúmenes y no puede ser llevada a nuestra isla a menos que debamos desechar el resto de nuestra selección. Así que me voy a inclinar por ser muy reciente y de un tomo único con The Princeton Companion to Mathematics editada por el medallista Fields, Timothy Grovers. </span><br />
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<span class="irc_su" dir="ltr" style="text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgg1-7cZ1gtc-P6ZbXBdV6gnGn6KzEhW3It7QkX_kYRMhb-nSxpD_Ux05lyyeqQkJXkUJN-t9XJY6nwEWMuS5aXQTqND-95I4R-uTAkRVcq1ESZ3pdM8a14d1JfIbQtVj3ahUIJR6caUzg/s1600/pcm1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="333" data-original-width="500" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgg1-7cZ1gtc-P6ZbXBdV6gnGn6KzEhW3It7QkX_kYRMhb-nSxpD_Ux05lyyeqQkJXkUJN-t9XJY6nwEWMuS5aXQTqND-95I4R-uTAkRVcq1ESZ3pdM8a14d1JfIbQtVj3ahUIJR6caUzg/s320/pcm1.jpg" width="320" /></a></span></div>
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<span class="irc_su" dir="ltr" style="text-align: left;">Excelente visión panorámica de la matemática contemporánea dividida de manera muy original en historia, temas, teoremas, teorías, biografías, impacto de la matemática y futuros desarrollos. Es un libro muy bueno y un consuelo al pensar en todo lo que dejamos en la biblioteca de la casa. </span></div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-81618397480340857342017-06-27T05:56:00.002-07:002017-08-31T09:38:23.967-07:00Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-82440635153325160342017-05-28T07:41:00.000-07:002017-06-04T18:09:21.774-07:00Escrito en Venezuela Olimpiadas Matemáticas: El Arte de Resolver Problemas<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGQtZ1tPl_pdve0tGlP_xQQwQyvKRNTRiE31fgGCeQbAjJ-5sSPBiXIEK3X_2-Xi-bPqq0DSnS2VULdY4rKGJLcohYm6yJU5keYQ_QmlHrs9BH0brHQrg0saw_jvsRu2TXaCxA-qsL_vU/s1600/libro.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="960" data-original-width="720" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGQtZ1tPl_pdve0tGlP_xQQwQyvKRNTRiE31fgGCeQbAjJ-5sSPBiXIEK3X_2-Xi-bPqq0DSnS2VULdY4rKGJLcohYm6yJU5keYQ_QmlHrs9BH0brHQrg0saw_jvsRu2TXaCxA-qsL_vU/s320/libro.jpg" width="240" /></a></div>
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Paul Halmos, en un bellísimo artículo titulado <i>The Heart of Mathematics, </i>se pregunta ¿en que consiste la matemática?, ¿en Axiomas? (como el postulado de las paralelas), ¿en teoremas? (como el Teorema Fundamental del Cálculo), ¿en definiciones? (como el concepto de límite), ¿en demostraciones? (como la del Teorema de Gödel de Incompletitud?. Halmos dice que la matemática no puede existir sin estos ingredientes pero lo esencial <b>son los problemas y su solución. </b>Piense, por ejemplo, en el problema de encontrar una fórmula para resolver, mediante radicales y operaciones algebraicas, la ecuación de quinto grado. Eso llevó a Galois a tener que realizar definiciones, teoremas, demostraciones...El álgebra moderna nace allí, el problema la genera. Es claro entonces que si debemos inculcar en nuestros alumnos hábitos, estrategias de aprendizaje y actitudes en un tema tan importante como la matemática los problemas debiesen ocupar un lugar central en nuestras clases. Y ¿acaso no lo hacen?. ¿No enviamos tareas, evaluamos con exámenes y quizes, mandamos secciones enteras de los libros con problemas? Ejercicios amigo lector, con ellos es que usualmente trabajamos y en eso se centra el trabajo con los alumnos, problemas no. Un problema es interesante, te atrapa y no te deja hasta que lo resuelves. Los problemas son bonitos y nos enseñan, nos retan. Los ejercicios son lo básico, la comprobación rutinaria que entendimos las reglas, son importantes y sin saber como hacerlos dificilmente podemos exigir más. Los ejercicios son como caminar y los problemas son como una carrera, que puede ser de 100 m o una marathon de 42 Km. </div>
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Por esto, consideramos que el libro reseñado es un aporte muy valioso a la educación matemática en Venezuela. Tanto el profesor como los estudiantes de bachillerato encontraran diversión y técnicas en los problemas que se proponen. El profesor Nieto empieza su libro donde se debe comenzar, si se trata de resolver problemas ¿cómo lo hacemos de manera sistemática?. Eso es un enfoque importante, la inspiración y las ideas brillantes sin duda son necesarias pero muchas veces son fruto de un esfuerzo dirigido. El Prof. Nieto discute las ideas de Polya y las amplía de manera importante con las reflexiones de Schoenfeld. Siempre pense como dice Nieto que muchas veces es difícil para el joven que no tiene hábitos de pensamiento sistemáticos digerir a Polya. Luego, el profesor puede usar las ideas de Schoenfeld de manera provechosa para allanar el camino de sus estudiantes. Después nos encontramos con ejemplos! Excelente, las ideas heurísticas se ilustran con una serie de problemas sencillos, se trata que los estudiantes y el profesor reflexionen de una manera ordenada cuando se enfrentan con un problema. Kotov, en su libro de ajedrez <i>Piense como un Gran Maestro, </i>señala que incluso los mejores jugadores hacen una busqueda desordenada de la mejor jugada y que a veces después de reflexionar por media hora juegan, sin pensar, ¡la última jugada que se les ocurrio! Sin duda encontrar la mejor jugada o estrategia en el ajedrez es resolver un problema. </div>
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Lo que sigue, en el libro del Prof. Nieto, es un montón de diversión en forma de problemas y muy importantes conocimientos matemáticos para resolverlos. Debo señalar que los principios y teoremas que se exponen son pocos pero fundamentales, vemos allí el principio de inducción o el del palomar o el Teorema Fundamental de la Aritmética por ejemplo. Es el uso adecuado de estos conocimientos lo que brinda armas formidables al alumno para resolver problemas. Las áreas de la matemática en la que se trabaja tienen sabor olímpico: aritmética, combinatoria, desigualdades, álgebra y geometría. El libro apoya de manera excelente a cualquier joven o profesor que quiera enfrentar las pruebas de selección para las olimpiadas matemáticas, el autor es un reconocido coach en estas actividades y ha hecho un gran trabajo en Venezuela en esta área. Pero, cualquier profesor se puede beneficiar de la lectura del libro para incluir diariamente en su trabajo de aula problemas. Igualmente, cualquier joven de bachillerato que le guste el reto académico encontrará en el libro la posibilidad de pensar y buscar caminos que lleven a la solución de mas de 150 problemas. Creo que cualquier profesor de bachillerato <i>debiese </i>tener una copia del libro en su biblioteca. Una última palabra, me he centrado en hablar de profesores y estudiantes de bachillerato pero cualquier matemático encontrará problemas divertidos y duros en el libro, lo se por experiencia propia. </div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCd-8q_NWouZB3mEKfRtAKOp3i8fakKLTBEQecltiVZD5ROdrv6LKOedB66dDItQdVlt0KiXceOb0RMPHJSvRhx-gYU-mHZow1kARK1Z06BlMdRK59Voox6MbfbZs9w2xphGLkPYVJJlU/s1600/nietoconestudiantes.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="640" data-original-width="960" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCd-8q_NWouZB3mEKfRtAKOp3i8fakKLTBEQecltiVZD5ROdrv6LKOedB66dDItQdVlt0KiXceOb0RMPHJSvRhx-gYU-mHZow1kARK1Z06BlMdRK59Voox6MbfbZs9w2xphGLkPYVJJlU/s320/nietoconestudiantes.jpg" width="320" /></a></div>
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El Profesor José Heber Nieto nació en 1949 en Uruguay y se graduó en la Universidad de Buenos Aires en Ciencias Matemáticas. Fundador de los estudios de Matemática y Computación en la universidad del Zulia, de la cual es Doctor Honoris Causa. Ha realizado un fructifero trabajo con los jovenes venezolanos y su preparación para la Olimpiada Matemática tanto internacional como las regionales y nacionales. </div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-43239865653129615462017-05-05T12:14:00.003-07:002017-05-10T09:02:16.476-07:00Pitágoras y Einstein<div style="text-align: justify;">
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWCG9iKHzQcSnTlvWld7N1g3hd_TgMPjfNTTaye89btFlbN4-_pCAI099a5UwjwKspLYD6mCcFBzY4ijPhdyKSBEQ_tt66ZXhY2nsLm0V0QYe4APUx6I4UM1U29wbW1fDfNeyeCGsXxNo/s1600/Einstein_laughing.jpeg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWCG9iKHzQcSnTlvWld7N1g3hd_TgMPjfNTTaye89btFlbN4-_pCAI099a5UwjwKspLYD6mCcFBzY4ijPhdyKSBEQ_tt66ZXhY2nsLm0V0QYe4APUx6I4UM1U29wbW1fDfNeyeCGsXxNo/s320/Einstein_laughing.jpeg" width="320" /></a></div>
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Para Pitágoras la matemática era lo que se podía conocer y está en el mundo que nos rodea, lo que lo hace también, posible sujeto de estudio. La música de las esferas se refería a que la música era matemática, así como la traslación de los objetos celestes. Todo era número, pero ¿qué clase de números?. Por supuesto estaban los naturales $$1, 2, 3, \cdots $$ y estaban las relaciones de proporción entre esos números, lo que ahora entendemos como el conjunto de los racionales, los números de la forma $$ {\frac{p}{q}}$$ con <i>p,q</i> naturales y <i>q</i> no 0. Por supuesto, la notación que usamos es moderna y el lenguaje de los griegos era geométrico. En la música cuando usamos un instrumento de cuerda, los sonidos armónicos son ciertas proporciones entre la longitud de la cuerda y el corte que hacemos al pisar un traste. También ciertas combinaciones de lo anterior producen sonidos agradables al oído. La armonía es matemática. Sin embargo, un hecho muy sencillo derivado del Teorema de Pitágoras hizo reflexionar a los griegos sobre la necesidad de ampliar el concepto de proporcionalidad, lo cual fue hecho por <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Eudoxo_de_Cnido" target="_blank"> Eudoxo .</a></div>
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¿Qué fue lo que rompió la armonía pitágorica?. El descubrimiento que la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no guardaba una proporción racional con el cateto, esto equivale a decir que la ecuación $$ {\sqrt{2}=\frac{p}{q}}$$ con <i>p,q</i> naturales es imposible. Hay muchas demostraciones de esta imposibilidad, al parecer la primera se le atribuye a <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/H%C3%ADpaso_de_Metaponto" target="_blank">Hipaso</a>. La que vamos a dar es <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tom_M._Apostol" target="_blank">Tom M. Apostol,</a> excelente matemático estadounidense cuyos libros de Cálculo son muy conocidos entre los estudiantes. La escogemos por su espíritu griego, la pudo dar Euclides pero es del año 2000.</div>
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Supongamos lo contrario, es decir podemos encontrar <i>p,q </i>tales que $$p²=2q²$$ entonces existe una pareja <i>p,q que es la más pequeña y que verifica la relación. </i>Veamos el dibujo siguiente </div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoTuSYK7MF0lMgt46BH414NZyuVkbUrPH2TxLeu78GJKe7RLQvdWkKcEDxLWbvi48YDC4XmG334G2Kp5pgKMYhQIWOIuBWoIKKyp5ulBSaiyJVSFoiYW_ecfa_omnKJtFZdYsrUSqOUFo/s1600/apostol.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="220" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoTuSYK7MF0lMgt46BH414NZyuVkbUrPH2TxLeu78GJKe7RLQvdWkKcEDxLWbvi48YDC4XmG334G2Kp5pgKMYhQIWOIuBWoIKKyp5ulBSaiyJVSFoiYW_ecfa_omnKJtFZdYsrUSqOUFo/s320/apostol.png" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
donde la longitud del segmento AB es igual a la del BC y es <i>q, </i>la longitud del segmento AC es <i>p. </i>Es claro, si trazamos un segmento que una A con E, que las longitudes de los segmentos DE y EB son iguales. Pero la longitud de CD es igual a la de DE y es <i>p-q que es entero, luego el triángulo CDE tiene catetos e hipotenusa con longitudes formadas por enteros. </i>Dejamos al lector que verifique que estas longitudes son menores que <i>p,q. </i>Un absurdo ya que habíamos supuesto que nuestra escogencia de <i>p,q </i>era la menor posible. </div>
<div style="text-align: justify;">
Luego, el teorema de Pitágoras obligó a los matemáticos a ampliar sus ideas numéricas, ampliación que desembocó en el concepto de número real. </div>
<div style="text-align: justify;">
¿Qué tiene que ver Einstein con esta historia? </div>
<div style="text-align: justify;">
Ortega y Gasset le dijo una vez a Einstein durante una conferencia que su teoría era una geometrización de la Física, que al final todo era matemática, por la cara que puso Einstein no le gustó el comentario del filosofo español. Podemos pensar que la mecánica cuántica con sus espectros discretos y energía en paquetes es una vuelta al número entero, a la proporción, es desde el punto de vista físico una revuelta contra muchas ideas pero también es, del punto de vista matemático, un ataque a las ideas de continuidad que surgen del cálculo de Newton y Leibniz. Un experimento mental muy sencillo revela la importancia del Teorema de Pitágoras en la teoría de la relatividad especial de Einstein. Imagine que usted va en un tren a una velocidad <i>v</i> y dispara un rayo de luz al techo del tren. El tiempo que le toma al rayo llegar al techo es $$ t=\frac{d}{c}$$ Donde <i>c</i> es la velocidad de la luz y <i>d</i> la distancia de su linterna al techo del tren. Ahora, para un observador situado en el andén del tren que observa su experimento, la situación es ligeramente diferente. El verá su rayo de luz, no perpendicularmente sobre el techo sino inclinado como indica el dibujo siguiente</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaYNxRTRCwAeVEooFJHB1VnjGw8yNn1rH-BToUO_WG-_WEmk6fJ_-Nve-7tuSm4d23WvkdxfE1F9xlJa8c1aD7Ng4vYtwXXxkZFmXb0tWNmdwMCG2UfAbdAMvOvQP2W-_6YTVIEQHK_mc/s1600/Einstein.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="250" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaYNxRTRCwAeVEooFJHB1VnjGw8yNn1rH-BToUO_WG-_WEmk6fJ_-Nve-7tuSm4d23WvkdxfE1F9xlJa8c1aD7Ng4vYtwXXxkZFmXb0tWNmdwMCG2UfAbdAMvOvQP2W-_6YTVIEQHK_mc/s320/Einstein.png" width="320" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
En el dibujo, <i>t' es el tiempo que mide el observador que está en reposo en el andén para que el rayo se tope con el techo. Es claro que $$t'>t$$</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Es decir, <u>el tiempo que mide un observador dentro del tren para que el rayo llegue al techo es menor que el tiempo que mide un observador que está en reposo respecto al andén<i> .</i></u> De hecho, el Teorema de Pitágoras da la relación exacta, invitamos al lector a encontrarla usando nuestro dibujo, $$t'=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v²}{c²}}}$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Esta situación se debe a una ley de la naturaleza que no deja de sorprendernos: <i>la velocidad de la luz es un invariante en los sistemas inerciales. Es decir, que si me acerco a una fuente de luz a una cierta velocidad v y mido la velocidad de la luz esta es c, pero si ahora me alejo a la misma velocidad v de nuevo voy a medir c. </i>El cuidadoso experimento de Michelson y Morley demostró este comportamiento de la luz, pero el mismo ya estaba en las ecuaciones del genio escoces Maxwell. Pitágoras y Einstein, son cercanos, los une el deseo del hombre por comprender. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-50975658737804704962017-02-27T10:05:00.004-08:002017-02-27T12:19:13.433-08:00Hablemos de lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZBtz828AzteKqP3gamLmuTe_YwyJxWg1E1jzBthAjsK39DF8QXVRz682Jwc10kFQyKDtJmkcDyD5bHAsDizY8u4oBD36zZNVSWfMDYWQn1N_TeyWc1bnHiTzAsp78MshfFluJ6JXgXwo/s1600/Robinson.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZBtz828AzteKqP3gamLmuTe_YwyJxWg1E1jzBthAjsK39DF8QXVRz682Jwc10kFQyKDtJmkcDyD5bHAsDizY8u4oBD36zZNVSWfMDYWQn1N_TeyWc1bnHiTzAsp78MshfFluJ6JXgXwo/s1600/Robinson.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
Abraham Robinson(1918-1974)</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Al principio fueron los infinitesimales y luego el cálculo, de hecho Cavalieri usó los infinitesimales, antes que Leibniz y Newton, anticipando el cálculo integral. Cavalieri pensaba que un área estaba compuesta por elementos infinitesimales de longitud, de forma que si teníamos dos áreas y una familia de rectas paralelas que interceptaban las dos áreas en segmentos de igual longitud, entonces las dos áreas eran iguales. Similar principio regía para los volúmenes y puede ser explicado con las dos siguientes pilas de monedas de igual volúmen</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaeM88c6tPc7Y8hDbs9eeg0tdQwGdv2tONtiYC4JmMfkUH8w6EurBjoqXNjOAN2afLPB8-DN_3NUZr39qdMa7AWfUTa965mMK9xgpEqHvR7MjwOH-1p28a3KgnztZLevZVYgwE8G5r6nU/s1600/Cavalieri%2527s_Principle_in_Coins.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaeM88c6tPc7Y8hDbs9eeg0tdQwGdv2tONtiYC4JmMfkUH8w6EurBjoqXNjOAN2afLPB8-DN_3NUZr39qdMa7AWfUTa965mMK9xgpEqHvR7MjwOH-1p28a3KgnztZLevZVYgwE8G5r6nU/s1600/Cavalieri%2527s_Principle_in_Coins.JPG" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Observe que una familia de planos paralelos a la mesa donde están las pilas de monedas cortan cada pila en un círculo de igual área, en este caso el área de la moneda. Luego, Cavalieri afirma que ambas pilas tienen igual volumen que es la suma de los elementos infinitesimales de volumen. También, en el trabajo de Fermat, anterior al de Newton y Leibniz, aparece un proceso que él denomina "adigualar" y que sirve para determinar los máximos y mínimos de una función, en ese proceso Fermat suma a la variable una cantidad <i>e </i>que se comporta como una cantidad infinitesimal. Newton reconoció la influencia del trabajo del genio gascón en su descubrimiento del cálculo. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Hemos hablado informalmente de los infinitesimales, veamos que los caracteriza. <i style="text-decoration: underline;">Un infinitesimal </i> <i>dx</i> <i style="text-decoration: underline;"> es un número mayor que 0 pero menor que cualquier número real positivo.</i> Es claro que los infinitesimales <i>no son números ordinarios y que existen fuera de los reales. </i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Por supuesto, en esta corta historia no pueden dejar de parecer Newton y Leibniz, creadores del cálculo diferencial e integral. Quizás Newton tuvo más reservas en el uso de los infinitesimales debido a que un infinitesimal <i>dx</i> no verifica la propiedad arquimediana, es decir si sumamos $$dx+dx+\cdots+dx$$ siempre obtenemos un infinitesimal y eso no le gustó a Newton. A lo mejor a Newton no le gustó la crítica del Arzobispo Berkeley, una crítica recogida en el librito "El Analista" que incluía en su título "dirigido a un infiel matemático"</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSBVu1xGXpGKdkooy05kvirQy8g6sZt2CXG7HY57vMifO92KMJMOte3DlVgJsWqGDH7L52ZpDnZdSDspYEqOuPMrW2YWES_0GY4oS1aKuE5-YtpkGlpRb-j5NoTUnH5ld9KNbPpkEGyeo/s1600/5630402-M.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSBVu1xGXpGKdkooy05kvirQy8g6sZt2CXG7HY57vMifO92KMJMOte3DlVgJsWqGDH7L52ZpDnZdSDspYEqOuPMrW2YWES_0GY4oS1aKuE5-YtpkGlpRb-j5NoTUnH5ld9KNbPpkEGyeo/s1600/5630402-M.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
La crítica de Berkeley se basa en la manera como usaban los infinitesimales <i>dx</i> los analistas. Veamos un ejemplo, si queremos calcular la derivada o fluxión( término de Newton) de $$f(x)=x²$$ entonces formamos el cociente </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\frac{(x+dx)²-x²}{dx}$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
donde dividimos por el infinitesimal <i>dx</i> ya que este es pequeñísimo <i>pero no es </i>0. Si hacemos el álgebra obtenemos $$2x+dx$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Y ahora, concluimos que la derivada es $$2x$$ ya que despreciamos la cantidad <i>dx</i> respecto a 2<i>x, es decir en el proceso el infinitesimal no es 0 cuando me interesa y es 0 al finalizar el cómputo. </i>Berkeley llamó a los infinitesimales "fantasmas de cantidades desaparecidas", una frase ingeniosa e irónica que seguro a una persona como Newton, muy susceptible a la crítica, no le debió caer bien. Leibniz no tuvo tantos reparos a la hora de trabajar con los infinitesimales, de hecho su notación de la derivada $$\frac{dy}{dx}$$nos recuerda que la derivada es, de acuerdo a Leibniz, el cociente de dos cantidades infinitesimales y que dicho cociente, en el caso que exista, nos da un número real. Leibniz veía los infinitesimales como $$dx=\frac{1}{N}$$donde <i>N es un entero infinitamente grande</i>. Por supuesto, nada hemos avanzado hasta que aclaremos que son estos enteros gigantescos, cosa de la cual Leibniz estaba al tanto. Newton y Leibniz sabían que los infinitamente pequeños y los infinitamente grandes carecían de una base sólida. Pero ni ellos ni los analistas que le siguieron como los Bernoulli, Euler, L' Hospital entre otros se iban a detener en su uso ya que el cálculo estaba resolviendo los problemas de la física en un mundo que avanzaba hacia la revolución industrial. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Cauchy es una figura intermedia en la historia de los infinitesimales ya que Cauchy los usa pero también introduce la definición moderna de límite que manda los infinitesimales a un momentáneo retiro, aunque muchos ingenieros y físicos siguieron usándolos. Como sabemos es el trabajo de Cauchy, Bolzano y Weierstrass introducir la dupla $$\epsilon - \delta$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Una dupla que causa dolores de cabeza a nuestros estudiantes y que empieza el proceso que llamamos "aritmetización del análisis", un proceso de tremendo rigor lógico que concluye con la construcción de los números reales (Dedekind, Cantor, Weierstrass, Hilbert) y que define de manera rigurosa las ideas de integral (Riemann), derivada (Cauchy), función analítica (Weierstrass) y por supuesto las ideas de límite y continuidad (Bolzano, Cauchy). En este proceso, los héroes de la revolución que originó el cálculo, los infinitesimales, fueron apartados como sospechosos. Resurgieron en 1960 y en los años posteriores mediante el trabajo de una gran cantidad de matemáticos pero fundamentalmente por medio de las ideas del lógico Abraham Robinson. ¿Cuál es la idea? Queremos construir un conjunto, que llamaremos los números hiperreales, denotado por </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$^{\ast }\mathbb{R}$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
tal que $$\mathbb{R}\subset ^{\ast }\mathbb{R}$$ y tal que sea un cuerpo totalmente ordenado y que contenga los infinitesimales y elementos infinitamente grandes. La noción clave para hacer la construcción es la de <i>ultrafiltro. </i>Un ultrafiltro <i>U </i>en los números naturales es un conjunto de partes de los números naturales que, dados <i>A,B </i>subconjuntos de las naturales, verifica: $$\emptyset \notin U$$ $$A,B\in U \iff A\cap B\in U$$ $$A\cup B\in U\iff A\, \text{o}\, B\in U$$ $$A\in U \iff A^c \notin U$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Nos van a interesar los ultrafiltros que contienen a todos los conjuntos cuyo complemento es finito. Estos ultrafiltros los denominaremos de Frechet. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Por ejemplo, si el conjunto de todos los números pares no está en el ultrafiltro <i>U</i> entonces el conjunto de todos los números impares debe estar. También debe ser claro que los elementos del ultrafiltro deben ser conjuntos infinitos. Los ultrafiltros sirven para la construcción de la siguiente manera: consideremos el conjunto <i>S </i>de todas las sucesiones de números reales, identificamos dos sucesiones $$(a_n)\equiv (b_n) \iff a_n=b_n \, \text {para un conjunto de índices}\, I\in U $$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Las sucesiones que son constantes en un conjunto de índices <i>J</i> que esté en el ultrafiltro se identifican con los números reales y ahora viene lo bonito, las sucesiones que se identifican con una sucesión $$a_n>0,\,\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$$ van a ser ¡nuestros infinitesimales!. Por otro lado, las sucesiones que se identifican con una sucesión $$b_n,\, \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\infty$$ son consideradas como nuestros elementos infinitamente grandes. Tenemos entonces que $$^{\ast }\mathbb{R}=S/\equiv$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Este conjunto de clases de equivalencia o conjunto cociente se le dota de una suma y multiplicación naturales, dadas por la suma y multiplicación de sucesiones, es fácil demostrar que las operaciones están bien definidas y no es difícil ver que es un cuerpo. El orden se puede definir de nuevo usando el ultrafiltro y resulta ser un orden total. De hecho, en esas demostraciones se ve la importancia de trabajar con un ultrafiltro. Así hemos construido el conjunto deseado con las operaciones requeridas para que sea un cuerpo y un orden total. El conjunto no es arquimediano y tampoco es completo, pero si tiene un orden total. Los números hiperreales contienen a los reales usuales y a los infinitesimales, su estudio constituye el análisis no estándar. Por ejemplo, una función es continua en <i>a </i>si y solo si $$f(a+dx)-f(a) \, \text{es un infinitesimal para cualquier infinitesimal}\, dx$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Una pregunta importante es ¿existen los ultrafiltros?. ¿Existen los ultrafiltros de Frechet?. Es claro que, si fijamos un natural <i>p, </i>el siguiente conjunto <i>U</i> es un ultrafiltro $$A\in U \iff p\in A\subset \mathbb{N}$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Estos ultrafiltros son los llamados ultrafiltros triviales. Los ultrafiltros de Frechet se construyen mediante el axioma de elección, al parecer no hay otra posibilidad, ¿no le gusta el axioma de elección?. Entonces diga parafraseando a Berkeley, el análisis no estandar es el fantasma del análisis usual. </div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-41018277758118787482017-01-07T06:47:00.002-08:002017-01-07T08:19:26.355-08:00De Euclides a Furstenberg: ¿cuantos primos hay?<div style="text-align: justify;">
Los números primos son aquellos números enteros que sólo admiten divisores triviales: <i>p</i> es primo si y sólo si sus únicos divisores son 1,-1,<i>p</i> y -<i>p. </i>Por ejemplo, 3 es primo lo mismo que 5, 7, 11 y 13 pero 8 no es primo ya que 2 divide a 8. El teorema fundamental de la aritmética nos dice que los números primos son los bloques con los cuales construimos todos los números ya que si <i>n</i> es cualquier entero entonces <i>n</i> se descompone como producto de números primos. De hecho la descomposición es esencialmente única y sólo cambia en el orden de aparición de los primos considerados. Por ejemplo, 24=2x3x2x2=3x2x2x2 etc, pero la descomposición es única. Una pregunta, que respondió Euclides hace unos 2300 años, es si existen o no infinitos primos, la respuesta es sí. Veamos su idea, supongamos que exista un primo <i>K que es el mayor primo que existe. </i>Es decir, la lista<br />
$$2,3,5,\cdots ,P$$<br />
agota todos los números primos. Euclides construye el siguiente entero<br />
$$N=2\times 3\times \cdots\times K+1,$$<br />
es claro que <i>N </i>es mayor que <i>P</i> y que por ende <i>N</i> no es primo, luego debe ser divisible por algún primo de nuestra lista, pero al dividir <i>K</i> por cualquier primo de la lista el resto de la división es 1, una contradicción.<br />
Eso es el trabajo de Euclides, veamos 2300 años después la idea de un matemático judío que como tantos otros salvo su vida por haber huído a tiempo su familia de las atrocidades de Hitler y sus nazis. Vamos a exponer la idea de Hillel Furstenberg para demostrar que hay infinitos primos. Su idea se basa en usar una rama de la matemática que no conocían los griegos contemporáneos a Euclides. En una nota breve, cuyo enlace lo encuentra al final de esta publicación, está la demostración detallada de Furstenberg, aquí sólo daré el esquema de su prueba. Furstenberg considera la topología en los enteros que tiene como base las progresiones aritméticas <i>S</i>(<i>a,b</i>), que son las sucesiones <i>an</i>+<i>b</i> con <i>a,b</i> enteros y <i>a </i>> 0, es decir los abiertos consisten en el conjunto vacío o en uniones arbitrarias de progresiones aritméticas. Por ejemplo el conjunto de los enteros es abierto ya que se puede escribir como <i>S</i>(1,0). Se puede demostrar que cualquier progresión aritmética es abierto( esto es trivial) y que es un conjunto cerrado. También debe ser claro para el lector que cualquier conjunto abierto, no vacío, debe contener un conjunto infinito, en particular el conjunto<br />
$$\mathbb Z-\left\{1,-1\right\}=\bigcup_{p\in P}S(p,0)$$<br />
no puede ser cerrado, aquí <i>P</i> denota el conjunto de todos los primos. Como unión finita de cerrados es cerrado, no pueden existir finitos primos. Una belleza de demostración.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRdOTEfTT39dM2qfNeFfksfhoSmLt-3Ga4VrTtoM3eNZAeZ_kAgB37h0AEJpym4h3TWnSz9hRkbZvLxxZr_w6yUC1XMUUwoD0UrdwnN8fRMF364Cp2dk4vNmyr26_kVndA_duIc-a-eY4/s1600/Harry_Furstenberg.jpeg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="223" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRdOTEfTT39dM2qfNeFfksfhoSmLt-3Ga4VrTtoM3eNZAeZ_kAgB37h0AEJpym4h3TWnSz9hRkbZvLxxZr_w6yUC1XMUUwoD0UrdwnN8fRMF364Cp2dk4vNmyr26_kVndA_duIc-a-eY4/s320/Harry_Furstenberg.jpeg" width="320" /></a></div>
<div class="standard" style="text-align: center;">
<a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-413">Hillel Furnstenberg(1935-) </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<!--?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?-->
<a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-413">
</a><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-414"></a></div>
<div class="standard">
<a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-413"></a>Matemático estadounidense-israelí. Nacido en Alemania, su familia emigra a EEUU en 1939, año que inició la segunda guerra mundial. Su aŕea fundamental de trabajo es la teoría ergódica que ha usado para obtener importantes resultados en combinatoria, probabilidades y grupos de Lie.<br />
Nota con la demostración detallada de Furstenberg: <a href="https://drive.google.com/open?id=0B1IM6Izr-FQWbm1QZXc2ZDRHSnc">https://drive.google.com/open?id=0B1IM6Izr-FQWbm1QZXc2ZDRHSnc</a></div>
<br />
<!--?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?-->
<a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-368"></a><br />
<!--?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?-->
<a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-297"></a><!--?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?-->
<a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-174"></a></div>
<a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-138"></a>Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-13551707074375194962016-10-31T20:54:00.000-07:002016-11-01T07:23:42.905-07:00La curva de Hilbert<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijUzc5u65GKtsY0mJf7Y4zc8O1007Xlrss7eq32gIkQitchXp5Mw0DFDUiFylQ-MJa2aX-Og_050Ewl0leL3ShojQZ5NAJunT8Z2ytQ5ro6LEhYkwkgWADeLUp-cb9XGWzweThzICwkd0/s1600/david-hilbert-3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijUzc5u65GKtsY0mJf7Y4zc8O1007Xlrss7eq32gIkQitchXp5Mw0DFDUiFylQ-MJa2aX-Og_050Ewl0leL3ShojQZ5NAJunT8Z2ytQ5ro6LEhYkwkgWADeLUp-cb9XGWzweThzICwkd0/s320/david-hilbert-3.jpg" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
David Hilbert sin su sombrero Panamá</div>
Al aceptar las implicaciones lógicas de lo que no podemos ver, los matemáticos dieron un salto mortal con tres giros hacia la abstracción matemática. Los espacios de infinitas dimensiones, las curvas que no tienen derivadas y la botella de Klein son ejemplos de construcciones matemáticas que desafían nuestro pensamiento sensorial y geométrico pero que son incuestionables desde la frialdad de la lógica y el pensamiento matemático. </div>
<div style="text-align: justify;">
¿Qué es una curva? Todos creemos entender intuitivamente ese concepto y pensamos que una elipse es una curva y que una recta tambien es una curva. La elipse es una curva acotada y cerrada, mientras que la recta no es ninguna de las dos cosas. Todos sabemos que la cicloide es una curva, lo mismo que la circunferencia. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_gquHw0vVMXJgeotLE80wEnortbr0rVojsCJCHJOsnLD7QC1B3sqoqJYwHX-sRsaDSWftVjkqconE0f5ANAi9bbnj0Eks0Rkw_YhZTzXbCcYeNPhPhtELX2KpK1D72x_pGFuCpZNeS2E/s1600/recta.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="264" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_gquHw0vVMXJgeotLE80wEnortbr0rVojsCJCHJOsnLD7QC1B3sqoqJYwHX-sRsaDSWftVjkqconE0f5ANAi9bbnj0Eks0Rkw_YhZTzXbCcYeNPhPhtELX2KpK1D72x_pGFuCpZNeS2E/s320/recta.JPG" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
Pero la matemática requiere definiciones, así que diremos que una curva acotada es la imagen del intervalo [<i>a,b</i>] en el plano euclídeo mediante una función continua <i>f. </i>Por ejemplo <i>f</i>(<i>t</i>)=(3cos(<i>t</i>),4sen(<i>t</i>)) nos da una elipse si tomamos el intervalo [0,2*pi], aquí pi=3,1415926...Uno puede pensar que la función lo que hace es deformar el segmento [<i>a,b</i>] y eso origina la curva. </div>
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Pero, ¿es un cuadrado una curva?. Me refiero ojo, no al borde del cuadrado sino al borde con su interior como muestra el dibujo. <i></i><br />
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<i> </i>Uno piensa intuitivamente que no, ya que el cuadrado es algo <i>bidimensional</i> y una curva es algo <i>unidimensional. </i>Pero la lógica es de hierro y sus conclusiones irrebatibles, debemos trabajar con la definición de curva que hemos dado y ver si podemos encontrar alguna función continua que mande el intervalo [0,1] en el cuadrado [0,1]x[0,1]. Peano y Hilbert, alredededor de 1890, mostraron que a pesar de nuestra intuición tal construcción es <i>logicamente</i> posible. Veamos como lo hacemos. La idea es construir una sucesión de funciones convergente a la curva monstruosa. Lo primero es dividir el cuadrado en cuatro cuadrados y definir la curva de la izquierda del dibujo abajo. Esa curva se logra de manera sencilla dividiendo el intervalo [0,1] en cuatro intervalos [0,1/4), [1/4,1/2), [1/2,3/4) y [3,4,1] y mandando cada uno de los intervalos en uno de los segmentos que forman la curva, de forma que la transicion de un cuadrado a otro se haga manera de continua.<br />
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El intervalo [0,1/4) se manda en el pedazo de curva que queda en el cuadrado 1, el intervalo [1/4,1/2) va al pedazo de curva en el cuadrado 2, y así sucesivamente...La transición de un cuadrado a otro se hace de manera continua. En el medio vemos el dibujo de la segunda etapa de construcción de Hilbert-Peano. Dividimos el cuadrado en 16 cuadrados y lo mismo hacemos con el segmento [0,1] que es dividido en 16 intervalos. Cada intervalo de la división va al cuadrado que le corresponde, el primer intervalo [0,1/16) va a la curva en el cuadrado 1, el intervalo [1/16,1/8) va al cuadrado 2, siempre pasando de un cuadrado <i>n </i>al cuadrado <i>n+</i>1 de manera continua. En la tercera etapa el cuadrado se divide en 64 partes, al igual que el intervalo y hacemos lo que vemos en el dibujo a la derecha. En paso <i>k </i>vamos a tener<i> </i>un total de cuadrados igual a <img alt="" src="data:image/png;base64,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<div style="text-align: justify;">
e igual número de intervalos. En cada caso, en el paso <i>k</i> tenemos una curva<br />
<div style="text-align: center;">
<img alt="" src="data:image/png;base64,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" /> </div>
<div style="text-align: justify;">
que es continua. Por teoremas básicos de análisis se puede probar que la sucesión de curvas construidas converge uniformemente a una curva que llamaremos <i>H </i>que es continua. Tal curva al tener un rango denso debe llenar el cuadrado por otro teorema básico del análisis que dice que el rango de esa curva debe ser compacto y al ser denso en el cuadrado, debe ser el cuadrado completo. Luego la curva <i>H manda el intervalo </i>[0,1]<i> en el cuadrado </i>[0,1]x[0,1], un resultado notable. Una pregunta natural es si <i>H </i>tiene puntos múltiples o si por el contrario es uno a uno. Un resultado profundo de topología indica que <i>H</i> no puede ser uno a uno ya que el Teorema de la Dimensión sería violado, ya que dicho teorema establece que los homeomorfismos preservan la dimensión pero ahondar en esa idea es asunto para otra nota.<br />
Recomendamos al lector interesado en estas ideas el hermoso artículo "El Infinito" de Hans Hahn publicado en la recopilación <i>Matemáticas en el Mundo Moderno</i>, Editor Morris Kline, Scientific American de 1971, el traductor fue Miguel De Guzmán. Creo que el artículo se encuentra también el El Mundo de las Matemáticas,Sigma editada por James R. Newman. </div>
<br /></div>
<br />Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-57020677879208078912016-09-16T09:03:00.000-07:002017-01-07T09:40:44.336-08:00<h2>
La importancia de ser <i>p-ádico</i></h2>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="standard">
<a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-1250">"Las matemáticas podrían definirse como aquello en lo que nunca sabemos de lo que estamos hablando, ni si lo que decimos es verdad" </a></div>
<div class="standard">
Bertrand Russell </div>
<div class="standard">
<br /></div>
<!--?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?-->
<a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-1250">
</a><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-1251"></a><br />
<div class="standard">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-1250"></a><a href="https://www.blogger.com/null" id="magicparlabel-1251">Uno de los más importantes avances en el análisis matemático del siglo XX fue la introducción de la idea de Espacio Métrico en los años 20 debida al matemático francés Maurice Frechet. En realidad, como el propio Frechet apuntó y escribió en varias obras, fue la idea de Espacio Abstracto lo que surgió en aquella época debido a los trabajos de Banach, Hilbert, Hausdorff, entre otros. Podemos pensar en una liberación de la geometría o mejor en la posibilidad de crear distintas geometrías basadas en distintos conceptos de proximidad, donde la proximidad entre los puntos x,y de un espacio X se mide mediante una función d(x,y), llamada métrica o distancia, que verifica ciertos axiomas (reglas de juego):</a></span></div>
</div>
</div>
<div>
<ol>
<li><span style="line-height: 17.399999618530273px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><i>d</i>(<i>x,y</i>) es siempre positiva</span></span></li>
<li><span style="line-height: 17.399999618530273px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><i>d</i>(<i>x,y</i>)=<i>d</i>(<i>y,x) </i>para cualquier par <i>x,y </i>en <i>X</i></span></span></li>
<li><span style="line-height: 17.399999618530273px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><i>d</i>(<i>x,y</i>)=0 si y sólo si <i>x=y</i></span></span></li>
<li><span style="line-height: 17.399999618530273px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><i>d</i>(<i>x,y) </i>es siempre menor o igual que <i>d</i>(<i>x,z</i>)+<i>d</i>(<i>z,y</i>) para cualesquiera <i>x,y,z</i> en <i>X</i></span></span></li>
</ol>
<div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 17.399999618530273px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Axioma 1 indica lo que sabemos, la distancia entre dos puntos es un número real positivo. El Axioma 2 es muy claro también, la distancia del punto <i>x </i>al <i>y</i> es la misma que la distancia del <i>y</i> al <i>x. </i>Axioma 3 nos dice que si mido la distancia entre un punto y si mismo obtengo 0 y que sólo de esta manera una distancia puede ser 0 y la última regla, el Axioma 4 merece un dibujo </span></span></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrDZqs3twXeZTiVcFGRUrDoPdKZgGmQxDwILe3JQmcvFbHk03YAuTUWHrC_EE6JGKfH8kF8QpPADdBFyZ21Bf07mOcIWamfDw81j_433OMi_AX9r_3e4kCYMLvq94rwY9QiC_jiTo8mZc/s1600/blogtriang.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="205" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrDZqs3twXeZTiVcFGRUrDoPdKZgGmQxDwILe3JQmcvFbHk03YAuTUWHrC_EE6JGKfH8kF8QpPADdBFyZ21Bf07mOcIWamfDw81j_433OMi_AX9r_3e4kCYMLvq94rwY9QiC_jiTo8mZc/s320/blogtriang.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; line-height: 17.399999618530273px;">el Axioma 4 nos recuerda que en triángulo cualquiera un lado tiene longitud menor o igual a la suma de las longitudes de los otros lados. La gran flexibilidad de estas ideas es que, primero que todo, distintas distancias se pueden introducir sobre un mismo conjunto <i>X</i> y que la elección de una de ellas depende del problema considerado y en segundo lugar la noción de distancia se puede introducir en conjuntos cualesquiera. Por ejemplo, considere un tablero de ajedrez, definimos la distancia entre dos casillas como en menor número de saltos de un caballo para ir de una a la otra. Invitamos al lector a demostrar que esto es una distancia en el espacio de los 64 escaques. </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; line-height: 17.399999618530273px;">Los números <i>p-ádicos </i>fueron introducidos por Kurt Hensel en 1897 modificando la idea de distancia entre los números enteros. </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjknaFrMGkIo7Yykz_ibdaByMbFzHgGx7tjNF39ZP0cUa0hSQWdqnQSKvtY69BJnXXvhvTrMM_-_YYnraztVEoJFwqC5a3Hr8GRciS3eSRdDKIW1-GWiN2rCeBT-CfV6PjOPKyk1nNyaaI/s1600/hensel.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjknaFrMGkIo7Yykz_ibdaByMbFzHgGx7tjNF39ZP0cUa0hSQWdqnQSKvtY69BJnXXvhvTrMM_-_YYnraztVEoJFwqC5a3Hr8GRciS3eSRdDKIW1-GWiN2rCeBT-CfV6PjOPKyk1nNyaaI/s1600/hensel.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; line-height: 17.399999618530273px;">Dos enteros <i>n,m</i> tienen una distancia usual dada por |<i>n-m| </i>pero Hensel tuvo la siguiente hermosa idea, tomemos un primo <i style="font-weight: bold;">p</i> arbitrario y pensemos que dos números </span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; line-height: 17.399999618530273px;">enteros </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; line-height: 17.399999618530273px;">n,m </i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; line-height: 17.399999618530273px;">están próximos si su diferencia es muy divisible por <i>p, </i> esto se hace preciso mediante la definición de la distancia <i>p-ádica </i></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwSehdCkeNWjStUi9UoltMBw3Z19W0O88tJnOzD_pwVpvKn1ode3eZQyJOHU9aRPKij1pXSzdlnfPMsvSqteHKf-uJfC1qcoRvJCy_-Y06bJsp0BQrOLEk0UuPI-bNfdtKUNXX-vSulYY/s1600/ecuacion.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwSehdCkeNWjStUi9UoltMBw3Z19W0O88tJnOzD_pwVpvKn1ode3eZQyJOHU9aRPKij1pXSzdlnfPMsvSqteHKf-uJfC1qcoRvJCy_-Y06bJsp0BQrOLEk0UuPI-bNfdtKUNXX-vSulYY/s1600/ecuacion.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="line-height: 17.399999618530273px;">donde <i>k </i>es el mayor natural tal que </span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmRLv9E3RViB8-ZkzV3ck2ylBAb8KbD2oVE9ax_ZtuftwN9nYf6mhQHdHfH1QXw0Odbd69_iio95Rl1kiRkieLGvwnhOSWpUua4QMxsXh4Dh7ocey3i7gib5WhaA2A9wNPLLoddI2tX_s/s1600/ecuac2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmRLv9E3RViB8-ZkzV3ck2ylBAb8KbD2oVE9ax_ZtuftwN9nYf6mhQHdHfH1QXw0Odbd69_iio95Rl1kiRkieLGvwnhOSWpUua4QMxsXh4Dh7ocey3i7gib5WhaA2A9wNPLLoddI2tX_s/s1600/ecuac2.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; line-height: 17.399999618530273px;">Invitamos al lector a comprobar que la distancia 2-ádica entre 9 y 27 es 1/2. También, es muy interesante comprobar y lo proponemos al lector que en realidad la fórmula arriba es una distancia. </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; line-height: 17.399999618530273px;"> Considere ahora la expresión siguiente</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; line-height: 17.399999618530273px;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjBr_c1Er5lfxbTYizlo4NGFUjOS7CwOEHZNt6yi_kagxrkBphegIxhFedYKrJHix7hoFlA12PI5975eIQdCkDkd4qPVsYBEDSue3lwV1iG3RxwTNDCfBsRlKWNGEyghJxQZ1PMjuvWIA/s1600/ecua3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjBr_c1Er5lfxbTYizlo4NGFUjOS7CwOEHZNt6yi_kagxrkBphegIxhFedYKrJHix7hoFlA12PI5975eIQdCkDkd4qPVsYBEDSue3lwV1iG3RxwTNDCfBsRlKWNGEyghJxQZ1PMjuvWIA/s1600/ecua3.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">que es absolutamente correcta desde el punto matemático, el lector dirá ¿cómo es eso?. No hay truco alguno, se trata de trabajar con la distancia 2-ádica y verificar la convergencia de la serie, recuerde que en matemática se trabaja con ciertas reglas y que se debe ser consecuente con ellas, por eso la importancia de la frase de Russell con la que iniciamos esta entrada. Se puede demostrar que series como </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh56BtTn_BcoDo5tUgUoxZkABZDIVTI9qWAtM5_oRd_d7DEv5K5wWz4DETSqeQU4HSsyiypXWaFicQqfs4taxox427rSZPjfKwWvQ_FDPBU11HSg1e2rxQJMxgmRZbu0uwy15vFzFefFKc/s1600/ecuac4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh56BtTn_BcoDo5tUgUoxZkABZDIVTI9qWAtM5_oRd_d7DEv5K5wWz4DETSqeQU4HSsyiypXWaFicQqfs4taxox427rSZPjfKwWvQ_FDPBU11HSg1e2rxQJMxgmRZbu0uwy15vFzFefFKc/s1600/ecuac4.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">que Euler denominó "Seriebus divergentibus" que significa la serie divergente por excelencia, es convergente en cualquier métrica <i>p-</i>ádica. Debemos señalar que las métricas y cuerpos <i>p-</i>ádicos aparecen en el trabajo de Andrew Wiles y Richard Taylor para resolver el mayor enigma matemático de todos los tiempos: El Último Teorema de Fermat. Los desarrollos <i>p-</i>ádicos han llevado al concepto muy importante de Espacio Perfectoide introducido en la tesis doctoral del importante matemático Peter Scholze, en Física también los <i>p-</i>adicos han tenido aplicación. Si quiere seguir investigando sobre el fantástico universo <i>p-</i>adico dejamos los siguientes enlaces.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Un bonito curso </span><span style="font-family: arial, helvetica, sans-serif;">en castellano</span><span style="font-family: arial, helvetica, sans-serif;"> que incluye aspectos algebraicos y analíticos lo puede bajar de acá</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="http://www.mate.unlp.edu.ar/~ggarcia/encuentros/notas-elENAIV.pdf">www.mate.unlp.edu.ar/~ggarcia/encuentros/notas-elENAIV.pdf</a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Como siempre la wikipedia es un lugar de consulta obligado</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number">https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number</a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Hay un número de Mundo Científico (La Recherche) titulado <i>El Universo de los Números </i>que si lo puede encontrar contiene un artículo sobre los <i>p-</i>ádicos y otras cosas más. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17.399999618530273px;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div>
<span style="font-family: , , sans-serif;"><span style="font-size: 12px; line-height: 17.399999618530273px;"><br /></span></span></div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-43658017034101983932016-02-28T13:42:00.000-08:002017-01-07T09:37:07.146-08:00Escrito en Venezuela: Del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7btgd47u4OqvWRdefW8zz6Px273ES6kLHrh5wpxQ0wUsuWwRsQR4hkBzBUGafrULrEm0Wi5sUVgvhPIPDOLLeG831tRg4s72m0nByI4j1M8c1raSv_E_8uGqMarvqPAPmU6SkDvoatGI/s1600/IMG-20160228-WA0000.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7btgd47u4OqvWRdefW8zz6Px273ES6kLHrh5wpxQ0wUsuWwRsQR4hkBzBUGafrULrEm0Wi5sUVgvhPIPDOLLeG831tRg4s72m0nByI4j1M8c1raSv_E_8uGqMarvqPAPmU6SkDvoatGI/s320/IMG-20160228-WA0000.jpg" width="218" /></a></div>
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El tema de la descomposición de una función en sus componentes básicos es un tema central de la matemática. El profesor Cotlar siempre hacía la analogía que esto es similar a lo que hacemos al descomponer un número en sus factores primos, un número queda expresado en términos de números que no admiten descomposición alguna y que son los bloques o ladrillos fundamentales que sirven para construir los otros números. Este es el caso del análisis armónico cuya historia se remonta a Pitágoras, quien demostró que solo ciertas divisiones en una cuerda de un instrumento musical producen sonidos armónicos. Mucho después, al intentar resolver la ecuación de la cuerda vibrante se plantea el problema si es posible descomponer la solución en una suma de armónicos, es decir en una suma de senos con frecuencias estipuladas. Esta discusión fue acalorada con Euler, Bernoulli, Lagrange, d´Alembert como principales protagonistas. Con la entrada de Fourier en escena mediante su trabajo extraordinario Teoría Análitica del Calor los problemas y soluciones llevarían a los matemáticos a los modernos conceptos de función, integral y convergencia. Debo confesar sin embargo que nunca me sentí cómodo cuando al leer un libro de análisis me hablaban de los conceptos de dominio del tiempo y después pasar al dominio de la frecuencia. Podía entender las nociones abstractas de espacios de Hilbert y sistemas completos asociados al estudio del análisis armónico pero ese lenguaje tiempo-frecuencia me parecía tomado prestado de los físicos y no lo entendía bien. Este libro de la Profesora Blanca Guillén me saco de dudas y ahora me ¡siento bien! Explica de manera concisa e histórica, con bonitos ejemplos, como el del experimento de Newton con el prisma, de que se trata esa historia tiempo-frecuencia. Sin duda, contribuye a ello la experiencia de la autora con su trabajo de aplicar las matemáticas al análisis de ondas electroencefalográficas, en estos temas hay que ir a las aplicaciones para entender de que se tratan las ideas abstractas. Otra cosa excelente es que incluye el tratamiento de la Transformada Zeta que, a pesar de sus aplicaciones, se olvida en textos de análisis. El libro está muy bien escrito, es ameno y no atosiga al lector con excesivo formalismo matemático, ello se debe a que está pensado para una audiencia que incluye a ingenieros y científicos que busquen, en los métodos expuestos, técnicas para resolver sus problemas. Una buena cantidad de problemas se incluyen para que el lector solitario pueda verificar su avance en el material. Lo compre por un precio muy razonable aunque no se si es el precio actual ya que la edición tiene unos 7 años y era el último ejemplar en la Tecniciencia del San Ignacio. También me gusta que tiene el número 1 en la Serie Texto de la UNET, esta clase de esfuerzo editorial son importantes en medio de la situación académica de nuestras universidades. Así, si pueden encontrar una copia de este libro no duden en comprarlo.</div>
<b>Sobre la autora:</b><br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-tQlTC-O4xDz7kwPdV88UkEyLE4krHZJcx-px-LFm0waspPJXk0r1ldOmHYpmEWQULigymEo4HejW9t_A2zif7BncQrCNmA17UrzmRu6nRFCJX4C_fdE-Uhqc3jBzQ-0eN1ye9NfiyNE/s1600/IMG_1681_400x400.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-tQlTC-O4xDz7kwPdV88UkEyLE4krHZJcx-px-LFm0waspPJXk0r1ldOmHYpmEWQULigymEo4HejW9t_A2zif7BncQrCNmA17UrzmRu6nRFCJX4C_fdE-Uhqc3jBzQ-0eN1ye9NfiyNE/s320/IMG_1681_400x400.JPG" width="320" /></a></div>
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La profesora Blanca Guillén es Licenciada en Matemáticas y Msc de la ULA y en el momento de escribir el libro trabajaba en un doctorado en Ingeniería en la USB. Profesora en la UNET desde el año 2001 y miembro del grupo de Bioingeniería de esa casa de estudios, trabajando en el área de análisis numérico y resolución de ecuaciones diferenciales. En el área de Bioingeniería aplica la matemática en el análisis de señales médicas, en particular electroencefalográficas.</div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-10327453136954380442015-08-04T09:38:00.000-07:002015-08-04T09:38:31.494-07:00Librerías con libros de matemáticas en Caracas“La mejor relación que se puede tener con una ciudad es la nostalgia”.<br />
Jorge Luis Borges.<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYJYekqcQRsqrveEwdoLowLQxVldrOqzzQ7Xbrujx-r2weVUOGdieiUQqttGLwSGiH1CS13GgSvRleX2O3yfd6QdcxQeyjfnS_PgPm_ZTTDDUPbTdAFF4igxvIXf5yshMUs5vX8TLMJZM/s1600/fronton%252Bentre%252Bpuente%252B%252Bbri%2525C3%2525B3n%252By%252Blos%252Bcaobos.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYJYekqcQRsqrveEwdoLowLQxVldrOqzzQ7Xbrujx-r2weVUOGdieiUQqttGLwSGiH1CS13GgSvRleX2O3yfd6QdcxQeyjfnS_PgPm_ZTTDDUPbTdAFF4igxvIXf5yshMUs5vX8TLMJZM/s320/fronton%252Bentre%252Bpuente%252B%252Bbri%2525C3%2525B3n%252By%252Blos%252Bcaobos.jpg" width="188" /></a></div>
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Muchos caraqueños recuerdan, con la nostalgia de Billo Frometa, el coche de Isidoro, el frontón de Jai ALai, la Suiza y los techos rojos. A veces la nostalgia caraqueña toma forma gastronómica <a href="http://cronicadesdewashington.blogspot.com/2013/10/para-que-te-acuerdes-de-tus-andanzas.html">http://cronicadesdewashington.blogspot.com/2013/10/para-que-te-acuerdes-de-tus-andanzas.html</a> y otras veces se recuerdan discotecas. Yo recuerdo con nostalgia muchas cosas de Caracas, una ciudad que, como decía Cabrujas, nunca es la misma. Pero extraño mucho de mi época de estudiante en el IUT-RC y en la UCV las librerías con textos científicos de Caracas, así que recordaré algunas de ellas, las que usualmente visitaba. Voy a empezar con una librería que muchos recordaremos la Técnica Vega, muy próxima a la Plaza de las Tres Gracias y a nuestra alma mater la UCV.</div>
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<img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbI-mkQ6bzeH9Rx43Idlj-7qaPqndxoAprnCLSlCxFBADPkvBXnxY6EWK6mZtp6bZoXHYu4O0t26cRlUyURzmKfQFdT0pVQ-hur_XGipsGZaB6RZtjwGpFL6vUzG9iwcH0gFbKdVyepSE/s320/12183428983_746873ca08_h.jpg" width="240" /> Tenía un segundo piso donde se encontraba una pared repleta de maravillosos libros de matemáticas en español, inglés y francés. Muchos de mis libros los compre allí a unos precios accesibles para un estudiante becado del IUT-RC o un preparador de matemáticas UCV que ganaba 900 bs. Padre e hijo se encargaban de la librería que fue decayendo con el tiempo y en el segundo piso cada vez se encontraban menos cosas ya que en algún momento no continuaron reponiendo los libros que vendían de matemáticas. Ya no existe Técnica Vega, un destino común como veremos a la mayor parte de las librerías científicas de Caracas. </div>
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Otra librería que visitaba con frecuencia era la Librería Profesional en Chacaito, ubicada en la parte norte del CC Chacaito, en un lugar escondido al que se bajaba desde la acera por medio de una escalera. Era como entrar en la cueva del tesoro, varios estantes repletos de joyas. Allí compre mis libros de Natanson de variable real, o mi libro de Análisis Funcional de Riesz y Nagi en la edición de Ungar, NY. Siempre me arrepentiré de no haber comprado los 6 libros de Guelfand de Teoría de Distribuciones y sus aplicaciones, colección que estaba completa en la Profesional, todavía recuerdo en que tramo y estante estaban esos textos. También estaban los libros de Zygmund y Saks de variable compleja o el de Bari de series trigonométricas. Manejaban la librería un grupo de españoles, no se si eran familiares o no, siempre vestidos de camisa y corbata y que parecían sacados de una película de espionaje. Un día desaparecio y se convirtió como en una película de espías en una venta de repuestos.</div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix6sHraDNQ1ErYMaz2K_ZWl6SmL6MqK5dPZaHM8Pg3VbAiFjanedKwyYY6VLxl3Oc5GHWErj4hezENR8-GCG2BzLUqDbpoGzJrP9IBTorxm2GY2Q18Dko_SXojYIygoBGv4f1zlh2A9Mw/s1600/Centro-Comercial-Chacaito-04.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="203" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix6sHraDNQ1ErYMaz2K_ZWl6SmL6MqK5dPZaHM8Pg3VbAiFjanedKwyYY6VLxl3Oc5GHWErj4hezENR8-GCG2BzLUqDbpoGzJrP9IBTorxm2GY2Q18Dko_SXojYIygoBGv4f1zlh2A9Mw/s320/Centro-Comercial-Chacaito-04.jpg" width="320" /></a></div>
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Tecniciencia estaba en la Torre Phelps, Plaza Venezuela la encontrábamos al subir un piso por una escalera poco frecuentada y no era la franquicia que conocemos ahora mezcla de librería, juguetería, discos compactos de variada temática y revistas importadas cada vez más escasas. Era una sólida librería con un biblioteca hexagonal en su centro repleta de textos de matemática que solíamos circundar varias veces esperando que fuera extraída de la biblioteca de Babel y que apareciese algún texto que hubiéremos omitido en las primeras vueltas. Poco a poco, los maravillosos libros empezaron a convertirse en libros estandar de cálculo, estadística y ecuaciones diferenciales hasta que un día nos informaron que cerraban sus puertas y se iban al CCCT.</div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQk8T2tjodorZ2jpCu9piW4B9U71A2wrez8xxOpcKhAvspBFffsdyayxCWK5F_YsTk3eCOpcUTVomyUQJvRTbmKgxLgdDL6z0Vum48e5thb7DJYbEjOFe79IE2M1xtNRYL6mQ74RjQjSI/s1600/torre-phelps-21.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQk8T2tjodorZ2jpCu9piW4B9U71A2wrez8xxOpcKhAvspBFffsdyayxCWK5F_YsTk3eCOpcUTVomyUQJvRTbmKgxLgdDL6z0Vum48e5thb7DJYbEjOFe79IE2M1xtNRYL6mQ74RjQjSI/s320/torre-phelps-21.jpg" width="234" /></a></div>
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A veces no íbamos a una librería específica sino a un pasillo que incluía a muchas, me refiero al pasillo de Ingeniería en la UCV.</div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGGozlYBubDOrDf8_T4yoDKM__RfLRwKBmaoWfarZ0xYbdTWeFTHmb5sGMOvxUqusuvM-iz1DYWUg0idj1c5uWGjOCNldZZmxewoDB5B1ipCi6jSNHHrjPXRv_FobtFcjl__T9dxDkJHg/s1600/pasillo-ing1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGGozlYBubDOrDf8_T4yoDKM__RfLRwKBmaoWfarZ0xYbdTWeFTHmb5sGMOvxUqusuvM-iz1DYWUg0idj1c5uWGjOCNldZZmxewoDB5B1ipCi6jSNHHrjPXRv_FobtFcjl__T9dxDkJHg/s320/pasillo-ing1.jpg" width="320" /></a></div>
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Ese pasillo estaba representado por una venta maravillosa de libros de la editorial Mir-Moscu que vendía la señora Graciela en un puesto justo enfrente al cafetín de Ingeniería. Tenia libros de la colección de las Lecciones populares de matemática, los libros de Arnold en francés, aquellos libros de Perelman de Física y Matemática y clásicos como el Kolmogorov-Fomin o el Markusevich de variable compleja. ¿Los precios?, es mejor olvidarlos para no hacer una comparación dolorosa con la situación actual caracterizada por una muy escasa oferta de libros científicos( se consigue algo de Dover) a unos precios ridículos para un profesor universitario venezolano. Ese pasillo de Ingenieria ha involucionado en una serie de vendedores de software pirata, cedes quemados de regeton y por supuesto de libros de texto usados en carreras con matrículas importantes, libros avanzados de matemática no se consiguen por allí. </div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYWwhNF0IKdyIONSqtihy1ZQkgMNqSQlt7KBcQqe8MBBNwFuBGY1RzALBCGi9As3gpFh79KNEd-LIpwDgxOQ_d_jlAVP1Yy7RcVePWJYRXHhyjGYicVzjubsDhlw-htiWSlHcPa93YKSM/s1600/images.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYWwhNF0IKdyIONSqtihy1ZQkgMNqSQlt7KBcQqe8MBBNwFuBGY1RzALBCGi9As3gpFh79KNEd-LIpwDgxOQ_d_jlAVP1Yy7RcVePWJYRXHhyjGYicVzjubsDhlw-htiWSlHcPa93YKSM/s1600/images.jpg" /></a></div>
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Muchos de los lectores recordaran los libros de Suscriven que traía un alemán llamado Hans que falleció al final de los años ochenta. Muchos libros eran de la gran editorial Springer-Verlag caracterizada por publicar excelentes libros de matemática a nivel de pregrado y postgrado. Después del viernes negro, Hans y sus libros sufrieron los avatares de la devaluación de la moneda y Suscriven desapareció. Pude comprar algunos libros en la Librería Alemana, situada en la Av. Libertador por el Bosque, después les perdí la pista. Un día caminaba por el centro de Caracas, frente al Capitolio buscando buenos libros usados, al llegar a un pequeño puesto en medio de la tradicionales novelas mohosas, selecciones del Readers Digest viejas y algunos periódicos pude ver algo resplandeciente: tres libros de Springer-Verlag en muy buen estado. Me puse a ver su contenido y pregunte inmediatamente su precio. El joven a cargo me dijo, ¿le interesan ese tipo de libros? Mi respuesta fue un corto si. Venga conmigo y yo le seguí, me metió por un puesto de venta de ropa interior femenina, que ocultaba la entrada a uno de esos viejos edificios de centro de Caracas convertidos en depósitos de los buhoneros de la zona. Cual Maxwell Smart, super agente 86, pense si me joden es por una buena causa !libros! Subimos un piso por una escalera con una hermosa baranda de hierro forjado que conocio tiempos mejores y al llegar al primer piso vi una serie de puertas metálicas, sin pretensión decorativa, cuya única función era proteger la mercancía almacenada. El joven me abrio la puerta y sentí lo que Randolph Carter debio sentir al entrar a la cámara del rey Tut, estantes y estantes llenos de libros de Springer-Verlag de Matemática. No me importó el calor sofocante, el olor a guardado, el polvo y unos cuantos bichejos distraidos de sus labores cuando yo movía algún libro. Pase varias horas allí, cual ladrón de tumbas escogiendo que libros llevar. Al salir, el joven le puso el precio a los libros dependiendo si tenian o no carátula dura y por el número de páginas, me parecio muy justo su método. Baje hasta el metro de Caracas sosteniendo entre mis manos y la barbilla un montón de libros. Al llegar a mi casa dude en llamar a mis amigos para darles el pitazo, al final los llame. Pronto llegaron otros saqueadores de tesoros al centro de Caracas.</div>
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<br />Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-32890183853035694282015-07-23T07:30:00.003-07:002015-07-24T17:05:22.603-07:00Godel y su teorema de incompletitud<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAu9NZKvfH3DuvPOKwErJbwaa4Ij08GTFtfVEkCb9KbeORlNca46xclKCucOEZ9m7NVnpTGmMGC8ryvbIJc80_QfAI5oWRMoPq-YoNzApkO4gCpl-hRNlxqni2IbZKuZ4RLrOv_O4GUBk/s1600/images.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAu9NZKvfH3DuvPOKwErJbwaa4Ij08GTFtfVEkCb9KbeORlNca46xclKCucOEZ9m7NVnpTGmMGC8ryvbIJc80_QfAI5oWRMoPq-YoNzApkO4gCpl-hRNlxqni2IbZKuZ4RLrOv_O4GUBk/s320/images.jpg" /></a></div>
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El teorema de Godel es una pieza dificil de la matemática y para ser honestos es una pieza desconocida por matemáticos, profesores de matemática y público en general. Sin embargo, junto a la Relatividad de Einstein, la mecánica cuántica de Planck, Bohr, Schrödinger y otros y la Teoría de la Computación de Turing es uno de los descubrimientos científicos más importantes del siglo XX. Pero, ¿por qué a nadie le interesa y es tan poco conocido? Quizas se debe a su dificultad, quizas se debe a su inutilidad.
El Teorema de Godel dice que los sistemas axiomáticos importantes de la matemática, como los axiomas de Peano, tienen dos graves problemas para el programa formalista hilbertiano:
1. Son incompletos, es decir, hay cosas verdaderas que no podemos demostrar usando los axiomas del sistema
2. No se puede demostrar la consistencia de los mismos a menos que usemos argumentos externos al propio sistema tratado
Suponga que usted intenta demostrar que todo número par es la suma de dos números primos (Conjetura de Goldbach), por ejemplo 8=3+5, 12=5+5 y así sucesivamente. Todos los casos evaluados por medio de computadoras rapidísimas han confirmado la hipótesis pero una prueba que abarque todos los números pares no se ha podido conseguir. Suponga que Ud. sospecha, como el tío Petros, que a lo mejor esta proposición es una de las que cae en el punto ciego de las axiomáticas, ¿ayuda el teorema de Godel a dilucidar eso? No, el teorema de Godel es una afirmación existencial, esas proposiciones existen en la axiomática considerada pero no da ninguna pista para dilucidar cuales son estas proposiciones. Por ello digo que es un resultado inutil, es un resultado negativo de cualquier forma que se lo vea. Quizas por ello, Hilbert se molestó cuando conocio el resultado. Hilbert pensaba que los problemas matemáticos existían para ser resueltos. A lo mejor, la solución es distinta de la esperada como cuando Ruffini demostró que la ecuación de quinto grado no era soluble por radicales. Eso resolvía matematicamente el problema de la escuela de álgebra italiana. Pero, lo que Godel plantea es la existencia de un limbo matemático donde existen unas proposiciones verdaderas pero indemostrables, las cuales no conocemos ni tenemos un procedimiento para discriminar. Una observación final, el libro que recomiendo para leer sobre el teorema de Godel, es el de Nagel y Newman y Ud. , si está interesado, debe conseguir una copia del mismo. Sin embargo, en el libro se hace una larga analogía entre la demostración de Godel y la paradoja del mentiroso o la paradoja ricardiana de la teoría de numéros. No creo que eso es lo más justo ya que pienso que el argumento de Godel es en realidad un argumento diagonal cantoriano. El lector de esta nota al reflexionar sobre la demostración de Godel llegará a su propia conclusión.</div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-25898520071757191942014-08-23T10:57:00.002-07:002014-08-24T16:25:47.856-07:00Riemann, Lebesgue, Henstock y Kurzweil<div style="text-align: justify;">
Para el estudiante de matemáticas los dos primeros nombres son muy conocidos y con seguridad ha estudiado la construcción de las integrales de Riemann y Lebesgue en sus cursos de Cálculo y Teoría de la Medida. Dudo mucho que conozca los nombres de Henstock y Kurzweil. El asunto es que los estudiantes ganarían mucho conociendo a los matemáticos Henstock y Kurzweil y su integral de calibre como demostraremos. </div>
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Riemann señaló el camino moderno a la integración siguiendo ideas que venían desde Arquímides.Su idea es aproximar un área complicada mediante una suma de rectángulos. Estas sumas de rectángulos se conocen como sumas de Riemann. Arquímides usó en su cuadratura de la parábola triángulos. Mientras más rectángulos usemos mejor la aproximación. El lector interesado puede ir a <a href="http://mathworld.wolfram.com/RiemannSum.html">http://mathworld.wolfram.com/RiemannSum.html</a> para generar sumas de Riemann de la función que quiera, en el intervalo que desee y con la cantidad de rectángulos que se le antoje.</div>
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<img alt="Riemann Sum" border="0" src="http://mathworld.wolfram.com/webMathematica/RiemannSum.jsp?fun=x%5E3&xMin=0&xMax=8&n=29&sample=5&estimate=True&rectstyle=1&plotstyle=5&nt=1" id="defaultplot" name="defaultplot" /></div>
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Aquí puede ver la gráfica de $f(x)=x^3$ entre 0 y 2 y 29 rectángulos. </div>
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Sin embargo, la integral de Riemann tiene algunos inconvenientes. Funciones como la función $D$ de Dirichlet no tienen integral de Riemann, esta función $D(x)$ se define como 1 si $x$ es irracional y 0 si $x$ es racional. Argumentos provenientes de la física sugieren que la integral debe ser 1 en cualquier intervalo unitario. Pero el método de Riemann falla, ya que su integral requiere que la función sea continua "casi siempre". La función de Dirichlet es discontinua siempre. Este problema y otros motivaron a Lebesgue a construir, en 1905, una nueva integral. Lebesgue pensaba que en la integral de Riemann era como contar billetes en una caja registradora sin orden alguno, mientras que en su integral primero se agrupaban en categorías billetes de 10, de 50, de 100 y luego se multiplica la cantidad de billetes en una denominación por el valor de esa denominación sumando los resultados. Su integral es muy poderosa y constituyó un gran avance en el análisis matemático. Sin embargo, su construcción es lenta y depende de hacer una primera construcción bastante larga y delicada: la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$. Invitamos al lector del blog a leer la introducción del libro <i>Un segundo curso de Integración, la integral de Henstock-Kurzweil</i> del Prof. Ignacio Iribarren para interesantes comentarios sobre la integral de Riemann y Lebesgue. En ese texto encontrará también un desarrollo meticuloso de la integral de calibre o de Henstock-Kurzweil. El libro está disponible parcialmente en <a href="http://books.google.co.ve/books/about/Un_segundo_curso_de_integraci%C3%B3n.html?id=cEN-caaOHrwC&redir_esc=y">http://books.google.co.ve/books/about/Un_segundo_curso_de_integraci%C3%B3n.html?id=cEN-caaOHrwC&redir_esc=y</a> aunque mejor consiguen una copia en físico (editado por Equinoccio, USB) ya que es un muy buen libro a un precio económico. </div>
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La integral de calibre de Henstock-Kurzweil es una opción extraordinaria para obtener una integral muy potente pero de sencilla construcción. La idea central es hacer lo que hizo Riemann pero introduciendo el concepto de calibre. El cambio es muy pequeño y lo que se obtiene es muy interesante. Por ejemplo, Leibniz pensaba que el Teorema Fundamental del Cálculo es un teorema de sumas telescópicas. Esto se ve muy claramente para la integral de calibre. Por otro lado, dicha integral se aplica de manera ventajosa para ciertos problemas de Ecuaciones Diferenciales. Es una integral tan potente cono la integral de Lebesgue.</div>
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<img class="rg_i" data-sz="f" name="zK-UAlD837TW5M:" 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style="height: 180px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; width: 280px;" />Henstock y Kurzweil en un congreso matemático</div>
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Recomiendo la lectura del bonito artículo A Return to Riemann Integral de Bartle (disponible en <a href="https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Bartle625-632.pdf">https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Bartle625-632.pdf</a> ) para conocer lo básico de la integral de calibre. </div>
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Por último, creo que está integral es perfecta para ampliar los cursos de Cálculo de estudiantes de Educación Matemática y en algunas licenciaturas de matemática que no incluyan la integral de Lebesgue. Debemos divulgar la obra de estos matemáticos y su integral. Yo lo estoy haciendo en mis cursos. Entonces, ¿porqué no se enseña ampliamente esta integral?. No lo se, pero hay un movimiento para lograr que se haga.</div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-64907686853246082782014-04-19T13:51:00.001-07:002014-04-19T13:55:28.143-07:00Escrito en Venezuela: Matemáticos que cambiaron al mundo<div style="text-align: justify;">
Una tarde hace como ocho años atrás, un grupo de profesores dábamos unas charlas de historia de la matemática en Venezuela y el mundo en una biblioteca pública de Guatire. Conformábamos el grupo los profesores Sergio Rivas(jubilado UNA), Walter Beyer(jubilado UNA), Leonardo Rodríguez(jubilado UCV) y mi persona. Íbamos a tratar temas como la matemática de la belleza (Rivas), pesas y medidas en Venezuela(Rodríguez), matemática en Venezuela(Beyer) y la historia de la demostración(Gascón). Nuestra audiencia era heterogénea y formada por estudiantes y profesores de bachillerato, profesores universitarios y público en general. Cuando terminamos una persona de la audiencia que yo no conocía formuló varias preguntas interesantes y enseguida contó que venia desde Barquisimeto por la curiosidad que le causaba semejante ciclo de charlas de historia de las matemáticas. Allí conocí a el profesor Douglas Jiménez. Sólo una persona con gran vocación por la matemática y su divulgación se viene desde Barquisimeto a ver nuestro modesto evento. En un siguiente evento que organizamos en la UCAB, en honor al distinguido profesor Edgar Ferreira, Douglas se unió al grupo y habló sobre el Logos y la reconstrucción de Fowler. Pero no voy a hablar del profesor Douglas Jiménez sino de un trabajo suyo: el libro <i>Matemáticos que cambiaron al mundo(2006)</i> publicado por El Nacional en su colección Arcadia. </div>
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Se trata de un libro muy entretenido e informativo pero escrito con rigor. Douglas nos relata la vida de los matemáticos desde Pitágoras hasta Einstein de manera amena. Muchas de las explicaciones matemáticas son muy formativas y por ello recomiendo el libro a estudiantes de matemática o de educación matemática. Complementan el libro una serie de notas, intercaladas con el texto principal, que permiten ubicar a los personajes en su mundo. A veces las notas tratan algo curioso o ahondan en alguna explicación matemática. El libro está repleto de fotos, dibujos y muy bien diagramado. Una de las cosas que Douglas explota a lo largo del texto es la vinculación entre matemática y física, sin duda algo básico en cualquier recuento histórico de la matemática. Observe que el último invitado en su libro es Einstein lo cual revela la importancia que le da Douglas a la física. Al final del libro el lector encontrará una serie de matemáticos que no aparecen en las biografías principales pero importantísimos en la historia de nuestra ciencia. Creo que, el lector experto o el joven estudiante, encontrarán en este trabajo muchas cosas de interés. Lo debo recomendar a todos y créanme que lo leeran muy rápido y se divertiran con Douglas Jiménez.</div>
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<b>Sobre el autor:</b></div>
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Douglas Jiménez nació en Caracas en 1952. Egresó como profesor del Instituto Pedagógico de Caracas en 1977. Tiene una maestría en Matemáticas Aplicables de la Universidad Centrooccidental Lisandro Alvarado. Actualmente es profesor en la UNEXPO, Barquisimeto, Estado Lara. Autor de varios libros como "Historia de la matemática: Pitágoras y el pitagorismo", "Álgebra, la magia del símbolo" y diversos artículos en revistas especializadas. </div>
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Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-20888907481347110912014-02-28T04:59:00.001-08:002014-02-28T05:31:05.795-08:00Polya<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiL1ydi9T0kQJKuNC4ITCUxgTChMTTt1CRmqXx6bVhYCpDRrnwLqzEc3Vq5HQofwCSkArn-ROgMYKdaXvi8TqYIbHjIWd9gFZZyQFFKtcY2bRSC2SsNF6rvaF8U4zqzoakwtaB461XVDZ8/s1600/tumblr_md8jxycJOt1qdjbj3o1_500.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiL1ydi9T0kQJKuNC4ITCUxgTChMTTt1CRmqXx6bVhYCpDRrnwLqzEc3Vq5HQofwCSkArn-ROgMYKdaXvi8TqYIbHjIWd9gFZZyQFFKtcY2bRSC2SsNF6rvaF8U4zqzoakwtaB461XVDZ8/s320/tumblr_md8jxycJOt1qdjbj3o1_500.jpg" /></a></div>George Polya fue un matemático húngaro que vivio por muchos años en Estados Unidos de América y que destacó en Análisis Matemático y en el arte de resolver problemas. Escribio con Szego sus dos volumenes de problemas de Análisis Matemático. Con Hardy y Littlewood su clásico texto sobre desigualdades (<i>Inequalities</i>). Polya se interesó sobre la resolución de problemas y la enseñanza de matemática. Su método de resolver problemas está descrito en un excelente libro llamado <i>How to solve it</i>(Como plantear y resolver problemas, publicado por Trillas). Una elaboración mayor del texto se encuentra en su libro <i>Matemática y Razonamiento Plausible</i> (Tecnos). Creo que estos textos son básicos para el estudiante de matemáticas o educación matemática. Están llenos de ideas y vitalidad. Incitan a crear en el salón de clase un clima de reto, creatividad y estímulo a los alumnos. Son además muy entretenidos. "La mejor manera de resolver una dificultad es evitándola", "el profesor de matemáticas escribe en la pizarra <i>x</i>, dice que es <i>y </i>pero en realidad se trataba de <i>z</i>", "una técnica es un truco que aplicamos más de una vez", son algunas de las frases que leemos en How to solve it y que recordamos para siempre. Los libros de Polya sobre resolución de problemas indican que el descubrimiento matemático es algo que está al alcance de nuestros alumnos y que el profesor debe crear las condiciones apropiadas para que ocurra. Alerta Polya sobre indicarle al alumno pistas burdas que lleven al alumno a la solución sin disfrutar enfrentarse con el problema. Se trata del mismo reto que enfrenta un corredor de maratón: es doloroso pero placentero.
También Polya escribio un decálogo del buen profesor de matemáticas. Dicha decálogo no está basado en consideraciones teóricas sobre la pedagogía y tiene un caracter empírico. Pero omitirlo es un gran error. Está basado en una exitosa carrera docente que se prolongó por un período de más de sesenta años(Polya vivio casi cien años). Dejamos el enlace donde Ud. los puede revisar y leer algo más sobre Polya <a href="http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com/2010/11/los-diez-mandamientos-del-profesor.html">http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com/2010/11/los-diez-mandamientos-del-profesor.html</a>
. Un profesor que maneje su clase siguiendo a Polya es un excelente profesor. No importa si conoce de competencias, conductivismo o contructivismo. Yo agregaría un consejo adicional, creo que es del matemático estadounidense Gian Carlo Rotta: explique una sola cosa en cada clase. Si va explicar el concepto de máximo tome esa clase para eso. Busque ejemplos de la vida cotidiana iluminados por el concepto de máximo( o mínimo, es lo mismo). Busque ejemplos con soluciones geométricas y analíticas elementales. Relate a los alumnos la relación de los máximos con la física y con el principio de Fermat. Deduzca la ley de Snell de la difracción basada en este principio. Sólo en la siguiente clase explique las técnicas analíticas usuales para encontrarlos, pero no aniquile el tema en una sola clase. Cumplir los programas es importante pero es más importante dejar en nuestros alumnos algunos sólidos conceptos.Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-89102002428499972632013-10-31T07:08:00.002-07:002013-11-01T06:52:04.574-07:00Simetría y matemática: porqué no debemos hablar de las matemáticas.El concepto de simetría es central en matemáticas y física. La imagen muestra un hermoso tapiz guajiro.<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpSCd5C4q9xqQh3pF7g91gxc1RA-n5gqhQvycedxi0FrKgusxooUJufS-UyFpbpJqbd2vt2R3sMkvR-xnSqFqtmVHTuMamCUwOIq7iPmTeYPvex5baCQYluZIROnWBWpgEDgkWnTIx9Yg/s1600/tapizgoajiro.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpSCd5C4q9xqQh3pF7g91gxc1RA-n5gqhQvycedxi0FrKgusxooUJufS-UyFpbpJqbd2vt2R3sMkvR-xnSqFqtmVHTuMamCUwOIq7iPmTeYPvex5baCQYluZIROnWBWpgEDgkWnTIx9Yg/s320/tapizgoajiro.jpg" width="320" /></a></div>
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Observe que una rotación de 180° cuyo centro coincida con el centro del tapiz deja invariante el mismo. Es decir, al rotar el tapiz media vuelta obtenemos un tapiz con la misma disposición de colores y formas que el original. Lo mismo ocurre si rotamos el tapiz 360°, está rotación lo deja invariante. Observe que dos rotaciones de 180° equivalen a una de 360°. ¿Que ocurre si en lugar de nuestro tapiz guajiro tomásemos un triángulo equilátero? . En este caso si rotamos, tomando como centro de la rotación el centro del triángulo, un ángulo de 120°, 240° y 360° volvemos al triángulo original.</div>
<div style="text-align: justify;">
En este caso, el triángulo equilatero tiene una mayor cantidad de rotaciones que lo dejan invariante. Además esas rotaciones se pueden combinar entre ellas y se obtiene una rotación que está en este conjunto, es decir, que deja invariante el triángulo equilátero. Por ejemplo, si realizamos dos rotaciones de 120° eso equivale a una rotación de 240° y una de 240° seguida de una de 120° equivale a una rotación de 360°.</div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjAA4iDsxWDQgS39WlMR_nOWC9kxWat8t4kmr9Y8P0b85bEVLbsakwrimApOR_SxNu6FMQgthgZe4z6dsgevZ7fJHxz-cq18qnry701mh3t76CtBLGWkMCcncYwQdC1UpsO_HNU514Njks/s1600/Regular_triangle.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjAA4iDsxWDQgS39WlMR_nOWC9kxWat8t4kmr9Y8P0b85bEVLbsakwrimApOR_SxNu6FMQgthgZe4z6dsgevZ7fJHxz-cq18qnry701mh3t76CtBLGWkMCcncYwQdC1UpsO_HNU514Njks/s1600/Regular_triangle.jpg" /></a></div>
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En el caso de una circunferencia tenemos muchísimas( infinitas) rotaciones que la dejan invariante, de hecho cualquier rotación centrada en el centro de la circunferencia deja la figura en ella misma. La circunferencia tiene infinitas simetrías. Así, el concepto de simetría de un objeto nos habla del objeto. </div>
<div style="text-align: justify;">
Si tomamos otro objeto familiar a todos como un polinomio <i> </i></div>
<div style="text-align: center;">
<i>p(x)=a(x-x1)(x-x2)...(x-xn)</i></div>
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Vemos que cambiar el orden de sus raíces <i>x1,x2,...,xn, </i>no altera el polinomio <i>p</i>. Aquí una permutación de las raíces juega el mismo rol que una rotación de las figuras que discutimos arriba: las dos dejan fijo el objeto estudiado. Debemos al genio de <a href="http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Galois.html">Evariste Galois</a> el concepto abstracto de simetría sintetizado en la idea de grupo.</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhabTH2p_sr9ntjVGmLaVWz92xcfWds4gvcsAYnl6-T4xfxBzejSd586Njat4K24BgCAZPeq-BNO_DP2qFAyGKWzdYm-pfFCYYfEbWP5a6X_aqt5SyetzW2MqutqQAU_o2_9wxveRJ3GVA/s1600/Galois.gif" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhabTH2p_sr9ntjVGmLaVWz92xcfWds4gvcsAYnl6-T4xfxBzejSd586Njat4K24BgCAZPeq-BNO_DP2qFAyGKWzdYm-pfFCYYfEbWP5a6X_aqt5SyetzW2MqutqQAU_o2_9wxveRJ3GVA/s1600/Galois.gif" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Evariste Galois</td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td></tr>
</tbody></table>
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Su idea dio nacimiento al álgebra abstracta y causó una revolución matemática. El mismo fue un revolucionario antimonárquico, lo que le cuesta la vida. </div>
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Galois dio una idea que permite unificar porciones distintas de la matemática. Por ello creo que debemos hablar de Matemática y no de Matemáticas. Matemáticas sugiere distintos campos como álgebra, análisis, teoría de números, geometría, entre otros. Esos campos de conocimiento matemático pueden ser vistos, dado lo sofisticado y avanzado de sus resultados principales y técnicas, como campos de estudio propios. Vista de esa manera la matemática se presentaría como un grupo de islas. Matemáticos como Grothendieck y Langlands han realizado un esfuerzo extraordinario por unificar teorías buscando puentes entre áreas que parecen lejanas como el análisis armónico y la teoría de números. Estos trabajos se basan en trabajos anteriores de Gelfand y en brillantes resultados como el teorema del índice de Atiyah-Singer.</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgG9FFmw-sZSLBCbR50EthsClpuokndms2zwsMGI0kz14pMJ7UxkhbI0_6noP3cJ073NnGLMeN7rna2GX_Xi8shM9en9-52fi1ItssuDt3WlqfgtAPvoj0mQOZnvuToW5MIiaAFaL40ueQ/s1600/Langlands2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgG9FFmw-sZSLBCbR50EthsClpuokndms2zwsMGI0kz14pMJ7UxkhbI0_6noP3cJ073NnGLMeN7rna2GX_Xi8shM9en9-52fi1ItssuDt3WlqfgtAPvoj0mQOZnvuToW5MIiaAFaL40ueQ/s1600/Langlands2.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Robert Langlands</td></tr>
</tbody></table>
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El programa de <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program">Langlands</a> es un programa muy ambicioso, basado en ciertas conjeturas, que demostraría que sólo tenemos una matemática.</div>
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<a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Tri%C3%A1ngulo_Equilatero_TT.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><br /></a></div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-43061717569140474882013-08-18T02:49:00.000-07:002013-08-18T05:08:13.260-07:00Escrito en Venezuela: Teoremas Fundamentales de la Matemática<div style="text-align: justify;">
En el marco de la Feria del Libro finalizada recientemente en los espacios del Museo de Bellas Artes-Parque Los Caobos me encontré un libro muy interesante. En el stand de la ULA vi un libro con un título que me pareció muy atractivo <i>Teoremas Fundamentales de la Matemática, </i>su autor el Dr. Jesús Alfonso Pérez Sánchez de la ULA<i>. </i>Esto suscita enseguida dos preguntas: ¿Qué es la matemática?. ¿Qué resultados llamamos fundamentales?.</div>
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Nos encontramos con un libro con una disposición original: cuatro capítulos cada uno dedicado a un teorema que el autor considera un resultado básico en el desarrollo de nuestra ciencia. Los resultados expuestos en el libro no siguen el camino de la mayoría de los libros de matemática. En ellos se fija un tema, álgebra lineal, cálculo, ecuaciones diferenciales,... y se pasa de unas definiciones a encontrar los resultados importantes del tema siguiendo el método de Euclides. El nivel de la obra se fija dependiendo si se dirige a estudiantes de pregrado o postgrado. En el libro del Prof. Pérez Sánchez tenemos cuatro teoremas que el autor considera piezas claves de la matemática, cada uno de ellos independiente del otro. Los teoremas son:</div>
<ol>
<li>El teorema Fundamental de la Aritmética</li>
<li>El Teorema Fundamental del Álgebra</li>
<li>El teorema Fundamental del Cálculo</li>
<li>El Teorema de Baire</li>
</ol>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLHQQ2ncfD1JJDCRG0OeJo-3MtX0QRTQgavIWLyhoIwTjkcWzCht3iOyRfkgH18sFyDn12cuSM1oAbWP6PwROgCaDrGN6SE1wRhLa84ehzDAwKNQigy_i84ZzsO90JYdvn2e2_xptQDOo/s1600/portadalibro.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLHQQ2ncfD1JJDCRG0OeJo-3MtX0QRTQgavIWLyhoIwTjkcWzCht3iOyRfkgH18sFyDn12cuSM1oAbWP6PwROgCaDrGN6SE1wRhLa84ehzDAwKNQigy_i84ZzsO90JYdvn2e2_xptQDOo/s320/portadalibro.jpg" width="230" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
Cada capítulo se puede leer por separado y no cabe duda que los resultados son de importancia capital. A pesar de la aparición del Teorema Fundamental de la Aritmética el libro tiene un sabor a análisis matemático. El Teorema Fundamental del Álgebra, a pesar de su nombre, es un teorema de análisis matemático. El autor lo aplica para investigar la existencia de espacios invariantes de transformaciones lineales. Además, en el capítulo del Teorema Fundamental de la Aritmética, el autor demuestra usando cálculo la trascendencia del número <i>e</i>. El teorema de Baire, un resultado importantísimo de los espacios métricos, es aplicado para demostrar distintos resultados de análisis funcional. Por supuesto, el Teorema Fundamental del Cálculo, es un resultado del análisis matemático y el autor se aproxima a demostrar la fórmula de Cauchy en este capítulo. Por supuesto un algebrista pudiese protestar y exigir que se hubiese incluido el Teorema Fundamental de Homomorfismos pero el autor escogió los resultados que el considera fundamentales y a mi me gustan los que escogió. En muchos casos el autor esboza las ideas de las demostraciones, motivando la misma, antes de hacer la parte técnica lo cual facilita la lectura del texto. El texto es de lectura amena y no cabe duda que cualquier estudiante que tome esta obra sacará provecho de la misma. Los profesores y matemáticos disponen en la obra de resultados importantes y pueden observar una manera creativa de presentar los contenidos matemáticos. Todo esto me hace pensar que este libro debería ser leído y lo recomiendo ampliamente. Su precio es muy razonable. Pero lo mejor es que el libro forma parte de la colección "Acceso Abierto al Conocimiento matemático" y puede ser descargado( hay otras cosas allí) desde</div>
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<a href="http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/index.html"> http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/index.html</a></div>
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Hay algunas observaciones en cuanto al tipeo del LaTex, donde se pasa, por ejemplo, de cursiva a otro tipo de formato, que debe ser mejorado. Me parece que más problemas pueden ser incluidos y me comunique con el autor por email para señalarle que un ejemplo presentado es incorrecto. El Prof. Pérez Sánchez agradeció la observación que le señalé.</div>
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No duden en conseguir una copia o descargar el libro desde el enlace señalado. Quizas podamos entender mejor que es la matemática si conocemos lo que es fundamental en ella.</div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifAoVDJya4SGRSjn8kHhMD-KeJJXVX30SJoqCMDUsxrKb5Yj13SXIJdCZSPsffXT1XCG_x4ex12N3nexD2RmnKnpWALvdo6H-A2BnZGrEMmR1VFeK1jzTx0buXfResh8dOxtGoA_kFQ-8/s1600/portadalibro-3.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifAoVDJya4SGRSjn8kHhMD-KeJJXVX30SJoqCMDUsxrKb5Yj13SXIJdCZSPsffXT1XCG_x4ex12N3nexD2RmnKnpWALvdo6H-A2BnZGrEMmR1VFeK1jzTx0buXfResh8dOxtGoA_kFQ-8/s200/portadalibro-3.jpg" width="141" /></a></div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkHtKSRi0ctGwRgzOffv05E7Mlo6OVoTgFz9q_3WVu-mu_4gC5Syvw_wvXnsVZRF2-jy3FZEUFQ39gDPJuqC6MEyUa4GL986jx_dzf1YR9Cmd5vxFRkh33PbU3ry6EJPJpxBrhyphenhyphenNcr7cA/s1600/portadalibro-2.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><br /></a>
<b>Sobre el autor:</b> El Profesor Jesús Alfonso Pérez Sánchez es egresado de la licenciatura de Matemáticas de la ULA, con maestría en el IMPA de Brasil y doctorado en la UNICAMP de Brasil. Es Profesor Titular activo de la ULA, ha contribuido con materiales para el CENAMEC (Ganador del IV Concurso de Formulación de Problemas Matemáticos). Trabaja en el área de ecuaciones diferenciales parciales.</div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7409900044876214643.post-36161369750263109102013-06-30T10:58:00.001-07:002013-06-30T10:58:33.245-07:00El juego no se acaba hasta que se termina <img alt="Yogi2.JPG" height="195" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Yogi2.JPG/200px-Yogi2.JPG" width="200" /><br />
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La lógica es una parte de las matemáticas muy dificil. La frase de Yogi Berra que da el título de esta entrada es una verdad trivial, una tautología: P->P. Me gusta porque, a pesar de su caracter tautológico, encierra una advertencia que conocemos los aficionados al deporte: no celebres antes que el arbitro de el pitazo final. En lógica matemática las tautologías o son axiomas o son demostrables. Es un cálculo completo como demostró Godel: toda verdad se puede demostrar. Pero es también un cálculo aburrido, no podemos derivar grandes resultados de lo trivial. Según Bohr, las grandes verdades de la ciencia tienen un caracter menos lógico, su negación contiene una verdad. Eso es particularmente cierto en la mecánica cuantica, donde el electrón es particula y onda, un gato puede estar muerto y vivo al mismo tiempo y una particula no puede tener posición y velocidad definida.</div>
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La matemática se vuelve muy profunda si nos alejamos de las tautologías. ¿Comó hacemos esto? Si ampliamos un poco el alcance de nuestro sistema para incluir los números naturales el juego cambia radicalmente, aparece como demostró Godel un fenomeno perturbador, verdades que no pueden ser demostradas. Incluir a los naturales con su axioma de inducción es meter al infinito en el negocio. Así, quedaba destruido el sueño de Hilbert de probar que las matemáticas eran completas. El paraiso de Cantor se había convertido en el infierno de Hilbert. La demostración de la existencia de proposiciones verdaderas pero indemostrables nos recuerda la paradoja del mentiroso. Como el lector recordará, el cretense dice: Yo miento. ¿Dice la verdad? Entonces miente. ¿Miente? Entonces dice la verdad. ¿Cómo resolver esta paradoja?. Pero dejemos que Yogi Berra nos de su versión de la paradoja del mentiroso, cito "en realidad yo nunca dije lo que dije". El catcher y manager de los Yankees es uno de los pensadores más profundos que conozco.</div>
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Recomendamos al lector del blog la novela <i>El tio Petros y la conjetura de Goldbach</i> de <span class="st">Apóstolos Doxiadis para que continue su excursión en las posibilidades del teorema de incompletitud de Godel.</span></div>
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<br /><img align="middle" alt="" border="0" class="th imgthumb11" height="75" name="imgthumb11" 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style="display: inline-block; height: 75px; margin: 0px 0px 0px 0px; width: 92px;" title="http://www.ica.org.uk/?lid=22224" width="92" />Apóstolos Doxiadis</div>
Jose Gasconhttp://www.blogger.com/profile/03007196532539806578noreply@blogger.com3