sábado, 23 de agosto de 2014

Riemann, Lebesgue, Henstock y Kurzweil

Para el estudiante de matemáticas los dos primeros nombres son muy conocidos y con seguridad ha estudiado la construcción de las integrales de Riemann  y Lebesgue en sus cursos de Cálculo y Teoría de la Medida. Dudo mucho que conozca los nombres de Henstock y Kurzweil. El asunto es que los estudiantes ganarían mucho conociendo a los matemáticos Henstock y Kurzweil y su integral de calibre como demostraremos.
Riemann señaló el camino moderno a la integración siguiendo ideas que venían desde Arquímides.Su idea es aproximar un área complicada mediante una suma de rectángulos. Estas sumas de rectángulos se conocen como sumas de Riemann. Arquímides usó en su cuadratura de la parábola triángulos. Mientras más rectángulos usemos mejor la aproximación. El lector interesado puede ir a http://mathworld.wolfram.com/RiemannSum.html para generar sumas de Riemann de la función que quiera, en el intervalo que desee y con la cantidad de rectángulos que se le antoje.
Riemann Sum
Aquí puede ver la gráfica de $f(x)=x^3$ entre 0 y 2 y 29 rectángulos. 
Sin embargo, la integral de Riemann tiene algunos inconvenientes. Funciones como la función $D$ de Dirichlet no tienen integral de Riemann, esta función $D(x)$ se define como 1 si $x$ es irracional y 0 si $x$ es racional. Argumentos provenientes de la física sugieren que la integral debe ser 1 en cualquier intervalo unitario. Pero el método de Riemann falla, ya que su integral requiere que la función sea continua "casi siempre". La función de Dirichlet es discontinua siempre. Este problema y otros motivaron a Lebesgue a construir, en 1905, una nueva integral. Lebesgue pensaba que en la integral de Riemann era como contar  billetes en una caja registradora sin orden alguno, mientras que en su integral primero se agrupaban en categorías billetes de 10, de 50, de 100 y luego se multiplica la cantidad de billetes en una denominación por el valor de esa denominación sumando los resultados. Su integral es muy poderosa y constituyó un gran avance en el análisis matemático. Sin embargo, su construcción es lenta y depende de hacer una primera construcción bastante larga y delicada: la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$. Invitamos al lector del blog a leer la introducción del libro Un segundo curso de Integración, la integral de Henstock-Kurzweil del Prof. Ignacio Iribarren para interesantes comentarios sobre la integral de Riemann y Lebesgue. En ese texto encontrará también un desarrollo meticuloso de la integral de calibre o de Henstock-Kurzweil. El libro está disponible parcialmente en http://books.google.co.ve/books/about/Un_segundo_curso_de_integraci%C3%B3n.html?id=cEN-caaOHrwC&redir_esc=y aunque mejor consiguen una copia en físico (editado por Equinoccio, USB) ya que es un muy buen libro a un precio económico.
La integral de calibre de Henstock-Kurzweil es una opción extraordinaria para obtener una integral muy potente pero de sencilla construcción. La idea central es hacer lo que hizo Riemann pero introduciendo el concepto de calibre. El cambio es muy pequeño y lo que se obtiene es muy interesante. Por ejemplo, Leibniz pensaba que el  Teorema Fundamental del Cálculo es un teorema de sumas telescópicas. Esto se ve muy claramente para la integral de calibre. Por otro lado, dicha integral se aplica de manera ventajosa para ciertos problemas de Ecuaciones Diferenciales. Es una integral tan potente cono la integral de Lebesgue.
 Henstock y Kurzweil en un congreso matemático
 Recomiendo la lectura del bonito artículo A Return to Riemann Integral de Bartle (disponible en https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Bartle625-632.pdf ) para conocer lo básico de la integral de calibre. 
Por último, creo que está integral es perfecta para ampliar los cursos de Cálculo de estudiantes de Educación Matemática y en algunas licenciaturas de matemática que no incluyan la integral de Lebesgue. Debemos divulgar la obra de estos matemáticos y su integral. Yo lo estoy haciendo en mis cursos. Entonces, ¿porqué no se enseña ampliamente esta integral?. No lo se, pero hay un  movimiento para lograr que se haga.

sábado, 19 de abril de 2014

Escrito en Venezuela: Matemáticos que cambiaron al mundo

Una tarde hace como ocho años atrás, un grupo de profesores dábamos unas charlas de historia de la matemática en Venezuela y el mundo en una biblioteca pública de Guatire. Conformábamos el grupo los profesores Sergio Rivas(jubilado UNA), Walter Beyer(jubilado UNA), Leonardo Rodríguez(jubilado UCV) y mi persona. Íbamos a tratar temas como la matemática de la belleza (Rivas), pesas y medidas en Venezuela(Rodríguez), matemática en Venezuela(Beyer) y la historia de la demostración(Gascón). Nuestra audiencia era heterogénea y formada por estudiantes y profesores de bachillerato, profesores universitarios y público en general. Cuando terminamos una persona de la audiencia que yo no conocía formuló varias preguntas interesantes y enseguida contó que venia desde Barquisimeto por la curiosidad que le causaba semejante ciclo de charlas de historia de las matemáticas. Allí conocí a el profesor Douglas Jiménez. Sólo una persona con gran vocación por la matemática y su divulgación se viene desde Barquisimeto a ver nuestro modesto evento. En un siguiente evento que organizamos en la UCAB, en honor al distinguido profesor Edgar Ferreira,   Douglas se unió al grupo y habló sobre el Logos y la reconstrucción de Fowler. Pero no voy a hablar del profesor Douglas Jiménez sino de un trabajo suyo: el libro Matemáticos que cambiaron al mundo(2006) publicado por El Nacional en su colección Arcadia.
Se trata de un libro muy entretenido e informativo pero escrito con rigor. Douglas nos relata la vida de los matemáticos desde Pitágoras hasta Einstein de manera amena. Muchas de las explicaciones matemáticas son muy formativas y por ello recomiendo el libro a estudiantes de matemática o de educación matemática. Complementan el libro una serie de notas, intercaladas con el texto principal,  que permiten ubicar a los personajes en su mundo. A veces las notas tratan algo curioso o ahondan en alguna explicación matemática. El libro está repleto de fotos, dibujos y muy bien diagramado. Una de las cosas que Douglas explota a lo largo del texto es la vinculación entre matemática y física, sin duda algo básico en cualquier recuento histórico de la matemática. Observe que el último invitado en su libro es Einstein lo cual revela la importancia que le da Douglas a la física. Al final del libro el lector encontrará una serie de matemáticos que no aparecen en las biografías principales pero importantísimos en la historia de nuestra ciencia. Creo que, el lector experto o el joven estudiante, encontrarán en este trabajo muchas cosas de interés.  Lo debo recomendar  a todos y créanme que lo leeran muy rápido y se divertiran con Douglas Jiménez.
Sobre el autor:
Douglas Jiménez nació en Caracas en 1952. Egresó como profesor del Instituto Pedagógico de Caracas en 1977. Tiene una maestría en Matemáticas Aplicables de la Universidad Centrooccidental Lisandro Alvarado. Actualmente es profesor en la UNEXPO, Barquisimeto, Estado Lara. Autor de varios libros como "Historia de la matemática: Pitágoras y el pitagorismo", "Álgebra, la magia del símbolo" y diversos artículos en revistas especializadas.

viernes, 28 de febrero de 2014

Polya

George Polya fue un matemático húngaro que vivio por muchos años en Estados Unidos de América y que destacó en Análisis Matemático y en el arte de resolver problemas. Escribio con Szego sus dos volumenes de problemas de Análisis Matemático. Con Hardy y Littlewood su clásico texto sobre desigualdades (Inequalities). Polya se interesó sobre la resolución de problemas y la enseñanza de matemática. Su método de resolver problemas está descrito en un excelente libro llamado How to solve it(Como plantear y resolver problemas, publicado por Trillas). Una elaboración mayor del texto se encuentra en su libro Matemática y Razonamiento Plausible (Tecnos). Creo que estos textos son básicos para el estudiante de matemáticas o educación matemática. Están llenos de ideas y vitalidad. Incitan a crear en el salón de clase un clima de reto, creatividad y estímulo a los alumnos. Son además muy entretenidos. "La mejor manera de resolver una dificultad es evitándola", "el profesor de matemáticas escribe en la pizarra x, dice que es y pero en realidad se trataba de z", "una técnica es un truco que aplicamos más de una vez", son algunas de las frases que leemos en How to solve it y que recordamos para siempre. Los libros de Polya sobre resolución de problemas indican que el descubrimiento matemático es algo que está al alcance de nuestros alumnos y que el profesor debe crear las condiciones apropiadas para que ocurra. Alerta Polya sobre indicarle al alumno pistas burdas que lleven al alumno a la solución sin disfrutar enfrentarse con el problema. Se trata del mismo reto que enfrenta un corredor de maratón: es doloroso pero placentero. También Polya escribio un decálogo del buen profesor de matemáticas. Dicha decálogo no está basado en consideraciones teóricas sobre la pedagogía y tiene un caracter empírico. Pero omitirlo es un gran error. Está basado en una exitosa carrera docente que se prolongó por un período de más de sesenta años(Polya vivio casi cien años). Dejamos el enlace donde Ud. los puede revisar y leer algo más sobre Polya http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com/2010/11/los-diez-mandamientos-del-profesor.html . Un profesor que maneje su clase siguiendo a Polya es un excelente profesor. No importa si conoce de competencias, conductivismo o contructivismo. Yo agregaría un consejo adicional, creo que es del matemático estadounidense Gian Carlo Rotta: explique una sola cosa en cada clase. Si va explicar el concepto de máximo tome esa clase para eso. Busque ejemplos de la vida cotidiana iluminados por el concepto de máximo( o mínimo, es lo mismo). Busque ejemplos con soluciones geométricas y analíticas elementales. Relate a los alumnos la relación de los máximos con la física y con el principio de Fermat. Deduzca la ley de Snell de la difracción basada en este principio. Sólo en la siguiente clase explique las técnicas analíticas usuales para encontrarlos, pero no aniquile el tema en una sola clase. Cumplir los programas es importante pero es más importante dejar en nuestros alumnos algunos sólidos conceptos.