De Euclides a Furstenberg: ¿cuantos primos hay?

Los números primos son aquellos números enteros que sólo admiten divisores triviales: p es primo si y sólo si sus únicos divisores son 1,-1,p y -p. Por ejemplo, 3 es primo lo mismo que 5, 7, 11 y 13 pero 8 no es primo ya que 2 divide a 8. El teorema fundamental de la aritmética nos dice que los números primos son los bloques con los cuales construimos todos los números ya que si n es cualquier entero entonces n se descompone como producto de números primos. De hecho la descomposición es esencialmente única y sólo cambia en el orden de aparición de los primos considerados. Por ejemplo, 24=2x3x2x2=3x2x2x2 etc, pero la descomposición es única. Una pregunta, que respondió Euclides hace unos 2300 años, es si existen o no infinitos primos, la respuesta es sí. Veamos su idea, supongamos que exista un primo K que es el mayor primo que existe.  Es decir, la lista
$$2,3,5,\cdots ,P$$
agota todos los números primos. Euclides construye el siguiente entero
 $$N=2\times 3\times \cdots\times K+1,$$
es claro que N es mayor que P y que por ende N no es primo, luego debe ser divisible por algún primo de nuestra lista, pero al dividir K por cualquier primo de la lista el resto de la división es 1, una contradicción.
Eso es el trabajo de Euclides, veamos 2300 años después la idea de un matemático judío que como tantos otros salvo su vida por haber huído a tiempo su familia de las atrocidades de Hitler y sus nazis. Vamos a exponer la idea de Hillel Furstenberg para demostrar que hay infinitos primos. Su idea se basa en usar una rama de la matemática que no conocían los griegos contemporáneos a Euclides. En una nota breve, cuyo enlace lo encuentra al final de esta publicación, está la demostración detallada de Furstenberg, aquí sólo daré el esquema de su prueba.  Furstenberg considera la topología en los enteros que tiene como base las progresiones aritméticas S(a,b), que son las sucesiones an+b con a,b enteros y a > 0, es decir los abiertos consisten en el conjunto vacío o en uniones arbitrarias de progresiones aritméticas.  Por ejemplo el conjunto de los enteros es abierto ya que se puede escribir como S(1,0). Se puede demostrar que cualquier progresión aritmética es abierto( esto es trivial) y que es un conjunto cerrado.  También debe ser claro para el lector que cualquier conjunto abierto, no vacío, debe contener un conjunto infinito, en particular el conjunto
$$\mathbb Z-\left\{1,-1\right\}=\bigcup_{p\in P}S(p,0)$$
no puede ser cerrado, aquí P denota el conjunto de todos los primos.  Como unión finita de cerrados es cerrado, no pueden existir finitos primos.  Una belleza de demostración.

Hillel Furnstenberg(1935-)

Matemático estadounidense-israelí. Nacido en Alemania, su familia emigra a EEUU en 1939, año que inició la segunda guerra mundial. Su aŕea fundamental de trabajo es la teoría ergódica que ha usado para obtener importantes resultados en combinatoria, probabilidades y grupos de Lie.
Nota con la demostración detallada de Furstenberg: https://drive.google.com/open?id=0B1IM6Izr-FQWbm1QZXc2ZDRHSnc