domingo, 9 de enero de 2011

Lo que no sabemos

Halmos dijo que los problemas son el corazón de las matemáticas. Sin embargo, para los estudiantes los problemas son una especie de inquisidores numéricos muy lejanos en espíritu a la idea de Halmos. El profesor enuncia un problema esperando una solución dentro de un tiempo limitado. Una manera de humanizar y hacer atractivos los problemas a nuestros estudiantes es presentarles problemas sencillos de enunciar y entender y que nadie ha resuelto. Vaya sorpresa se llevaran algunos al ver que su profesor de matemática no sabe algo. También percibirá el estudiante que la matemática avanza resolviendo estos problemas mediante teorías novedosas. Quizás por primera vez vean enunciar un problema sin la angustia de sentir que lo tienen que resolver, que deben saber resolverlo. Total nadie sabe cual es la respuesta. Voy a dar un par de ejemplos.
Tome un número natural cualquiera, si es par divídelo por 2, si es impar multipliquelo por 3 y súmele 1 . Aplíquele la misma receta al número obtenido, continué haciendo esto a menos que obtenga 1, en este caso pare. Por ejemplo, empezando con 5 obtenemos 16,8,4,2,1. Otro ejemplo, si tomo 9 obtenemos 28, 14, 7, 22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1. En los dos casos revisados hemos llegado 1. Los matemáticos creen que independiente del número que escojamos de semilla siempre regresamos a 1. Esto constituye la conjetura de Kakutani o Collatz y nadie sabe si es cierta o no. No he encontrado a nadie que se resista a este bonito problema.
Otro famoso problema más viejo es la conjetura de Goldbach. Un día Euler recibió una carta de su amigo el matemático Goldbach. En la carta Goldbach señalaba una propiedad notable de los números primos. El notó lo siguiente 4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7, ...Cualquier par que tomase se escribía como la suma de dos números primos. Le pidió a Euler que probara el resultado ya que el no había podido. Euler tampoco pudo y nadie ha podido. Hay una novela El tio Petros y la conjetura de Goldbach de Apostolos Doxiadis que les recomiendo.
Los mayores avances para resolver este problema son fruto del trabajo del matemático ruso I.M. Vinogradov quien demostro que cualquier número impar muy grande es la suma de tres primos. Luego, cualquier número par muy grande es la suma de seis números primos. Su método implicó nuevas técnicas analíticas en la teoría de numeros.
Recuperemos el aspecto lúdico de ls problemas en el salón de clases.
A veces es muy importante enseñar lo que no sabemos.

I.M. Vinogradov

1 comentario:

  1. Muy buena entrada profesor , es bueno saber que aun hay mucho camino por recorrer en el campo del pensamiento en general y de la matematica enlo particular.

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