Intangibles en Análisis Real

Un intangible, segun mi diccionario de bolsillo,  es algo que no puede ser tocado pero debemos ampliar un poco esta definición para expresar la idea de nuestra entrada de hoy. ¿Podemos tocar algún objeto en matemáticas?, ¿no es la matemática la ciencia de lo intangible? Para nuestra entrada intangible tiene un significado distinto y se lo debemos a Eric Schecter en su Handbook of Analysis and its Foundations, lo aclararemos por medio de ejemplos. Voy con el primer ejemplo, lo lamento pero nuestra discusión es hoy técnica. Sabemos que el espacio $$X=L^{1}[0,1]$$ no es reflexivo. Eso significa que el dual de $$L^{\infty}[0,1]$$ contiene objetos que no pertenecen a X. ¿Qué son estos objetos?, ¿podemos dar un ejemplo? Resulta ser que son medidas finitamente aditivas, suena muy bien, ¿acaso conocemos alguna? La respuesta es no. Similar situación ocurre con los conjuntos de la recta real y su medida de Lebesgue. La medida es una noción similar a la de longitud, así la medida del intervalo [0,1] es 1, la medida de un punto es 0, etc. ¿Tendrán todos los conjuntos de la recta una medida pudiendo ser su valor infinito? La respuesta es no, hay conjuntos de la recta real que no tienen longitud. ¿Podemos dar un ejemplo de los mismos, es decir construir alguno específico? La respuesta es de nuevo no, aquí aclaramos que no consideramos el uso del axioma de elección como algo constructivo. Estos objetos, conjuntos sin medida y medidas finitamente aditivas son ejemplos de lo que llamamos intangibles. ¿Mas ejemplos de intangibles? En la construcción del universo de los números infinitesimales mediante el análisis no estandar se hace uso del concepto de ultrafiltro, los ultrafiltros se construyen de nuevo usando el lema de Zorn o su equivalente, el terrible axioma de elección, eso lleva de nuevo a la imposibilidad de mostrar el ultrafiltro, de hecho hay muchos ultrafiltros,  son como Dios: existe pero no lo podemos ver, es intangible. La situación presentada me recuerda un metaprincipio expuesto por Halmos en alguno de sus libros, creo que en su joya A Hilbert Space Problem Book, allí Halmos establece, si Ud. puede escribir una función entonces esa función es medible. La "demostración" es fácil , si la escribimos ya no es un intangible y por ende debe ser medible, por supuesto bromeamos con esta prueba pero hay algo de cierto en lo que decimos, lo que podemos construir, especificar completamente va a tener buenas propiedades, de alguna manera los intangibles si tienen alguna característica en común es que son objetos diabólicos y que desafían nuestro intuición. ¿Más ejemplos de intangibles?

• Dos normas en un espacio vectorial que sean completas pero no equivalentes (trate Ud. de construirlas)
• Un buen orden de los numeros reales (¿se anima?)

¿Qué hace el buen profesor ante esta situación? Siempre considero fundamental anexar ejemplos a cada concepto con el que me encuentro en clase. Pero en este caso, eso no es posible.  Nos queda un consuelo, el prof. Ramón Bruzual me contó esta frase del Prof. Iribarren, un curso de análisis matemático es un buen sitio para perder la virginidad matemática.