La curva de Hilbert

 David Hilbert sin su sombrero Panamá

Al aceptar las implicaciones lógicas de lo que no podemos ver, los matemáticos dieron un salto mortal con tres giros hacia la abstracción matemática. Los espacios de infinitas dimensiones, las curvas que no tienen derivadas y la botella de Klein son ejemplos de construcciones matemáticas que desafían nuestro pensamiento sensorial y geométrico pero que son incuestionables desde la frialdad de la lógica y el pensamiento matemático. 

¿Qué es una curva? Todos creemos entender intuitivamente ese concepto y pensamos que una elipse es una curva y que una recta tambien es una curva. La elipse es una curva acotada y cerrada, mientras que la recta no es ninguna de las dos cosas. Todos sabemos que la cicloide es una curva, lo mismo que la circunferencia. 

Pero la matemática requiere definiciones, así que diremos que una curva acotada es la imagen del intervalo [a,b] en el plano euclídeo mediante una función continua f.  Por ejemplo f(t)=(3cos(t),4sen(t)) nos da una elipse si tomamos el intervalo [0,2*pi], aquí pi=3,1415926...Uno puede pensar que la función lo que hace es deformar el segmento  [a,b] y eso origina la curva. 

Pero, ¿es un cuadrado una curva?. Me refiero ojo, no al borde del cuadrado sino al borde con su interior como muestra el dibujo. 

 Uno piensa intuitivamente que no, ya que el cuadrado es algo bidimensional y una curva es algo unidimensional. Pero la lógica es de hierro y sus conclusiones irrebatibles, debemos trabajar con la definición de curva que hemos dado y ver si podemos encontrar alguna función continua que mande el intervalo [0,1] en el cuadrado [0,1]x[0,1]. Peano y Hilbert, alredededor de 1890, mostraron que a pesar de nuestra intuición tal construcción es logicamente posible. Veamos como lo hacemos. La idea es construir una sucesión de funciones convergente a la curva monstruosa. Lo primero es dividir el cuadrado en cuatro cuadrados y definir la curva de la izquierda del dibujo abajo. Esa curva se logra de manera sencilla dividiendo el intervalo [0,1] en cuatro intervalos [0,1/4), [1/4,1/2), [1/2,3/4) y [3,4,1] y mandando cada uno de los intervalos en uno de los segmentos que forman la curva, de forma que la transicion de un cuadrado a otro se haga manera de continua.

El intervalo [0,1/4) se manda en el pedazo de curva que queda en el cuadrado 1, el intervalo [1/4,1/2) va al pedazo de curva en el cuadrado 2, y así sucesivamente...La transición de un cuadrado a otro se hace de manera continua. En el medio vemos el dibujo de la segunda etapa de construcción de Hilbert-Peano. Dividimos el cuadrado en 16 cuadrados y lo mismo hacemos con el segmento [0,1] que es dividido en 16 intervalos. Cada intervalo de la división va al cuadrado que le corresponde, el primer intervalo [0,1/16) va a la curva en el cuadrado 1, el intervalo [1/16,1/8) va al cuadrado 2, siempre pasando de un cuadrado n  al cuadrado n+1 de manera continua. En la tercera etapa el cuadrado se divide en 64 partes, al igual que el intervalo y hacemos lo que vemos en el dibujo a la derecha. En paso k vamos a tener un total de cuadrados igual a

e igual número de intervalos. En cada caso, en el paso k tenemos una curva

 

que es continua. Por teoremas básicos de análisis se puede probar que la sucesión de curvas construidas converge uniformemente a una curva que llamaremos H que es continua. Tal curva al tener un rango denso debe llenar el cuadrado por otro teorema básico del análisis que dice que el rango de esa curva debe ser compacto y al ser denso en el cuadrado, debe ser el cuadrado completo. Luego la curva H manda el intervalo [0,1] en el cuadrado [0,1]x[0,1], un resultado notable. Una pregunta natural es si H tiene puntos múltiples o si por el contrario es uno a uno. Un resultado profundo de topología indica que H no puede ser uno a uno ya que el Teorema de la Dimensión sería violado, ya que dicho teorema establece que los homeomorfismos preservan la dimensión pero ahondar en esa idea  es asunto para otra nota.
Recomendamos al lector interesado en estas ideas el hermoso artículo "El Infinito" de Hans Hahn publicado en la recopilación Matemáticas en el Mundo Moderno, Editor Morris Kline, Scientific American de 1971, el traductor fue Miguel De Guzmán. Creo que el artículo se encuentra también el El Mundo de las Matemáticas,Sigma editada por James R. Newman.