La importancia de ser p-ádico

"Las matemáticas podrían definirse como aquello en lo que nunca sabemos de lo que estamos hablando, ni si lo que decimos es verdad" 

Bertrand Russell

Uno de los más importantes avances en el análisis matemático del siglo XX fue la introducción de la idea de Espacio Métrico en los años 20 debida al matemático francés Maurice Frechet. En realidad, como el propio Frechet apuntó y escribió en varias obras, fue la idea de Espacio Abstracto lo que surgió en aquella época debido a los trabajos de Banach, Hilbert, Hausdorff, entre otros. Podemos pensar en una liberación de la geometría o mejor en la posibilidad de crear distintas geometrías basadas en distintos conceptos de proximidad, donde la proximidad entre los puntos x,y de un espacio X se mide mediante una función d(x,y), llamada métrica o distancia, que verifica ciertos axiomas (reglas de juego):

1. d(x,y) es siempre positiva
2. d(x,y)=d(y,x) para cualquier par x,y en X
3. d(x,y)=0 si y sólo si x=y
4. d(x,y) es siempre menor o igual que d(x,z)+d(z,y) para cualesquiera x,y,z en X

Axioma 1 indica lo que sabemos, la distancia entre dos puntos es un número real positivo. El Axioma 2 es muy claro también, la distancia del punto x al y es la misma que la distancia del y al x. Axioma 3 nos dice que si mido la distancia entre un punto y si mismo obtengo 0 y que sólo de esta manera una distancia puede ser 0 y la última regla, el Axioma 4 merece un dibujo 

el Axioma 4 nos recuerda que en triángulo cualquiera un lado tiene longitud menor o igual a la suma de las longitudes de los otros lados. La gran flexibilidad de estas ideas es que, primero que todo, distintas distancias se pueden introducir sobre un mismo conjunto X y que la elección de una de ellas depende del problema considerado y en segundo lugar la noción de distancia se puede introducir en conjuntos cualesquiera. Por ejemplo, considere un tablero de ajedrez, definimos la distancia entre dos casillas como en menor número de saltos de un caballo para ir de una a la otra. Invitamos al lector a demostrar que esto es una distancia en el espacio de los 64 escaques. 

Los números p-ádicos fueron introducidos por Kurt Hensel en 1897 modificando la idea de distancia entre los números enteros. 

Dos enteros n,m tienen una distancia usual dada por |n-m| pero Hensel tuvo la siguiente hermosa idea, tomemos un primo p arbitrario y pensemos que dos números enteros n,m están próximos si su diferencia es muy divisible por p,  esto se hace preciso mediante la definición de la distancia p-ádica 

donde k es el mayor natural tal que 

Invitamos al lector a comprobar que la distancia 2-ádica entre 9 y 27 es 1/2. También, es muy interesante comprobar y lo proponemos al lector que en realidad la fórmula arriba es una distancia. 

 Considere ahora la expresión siguiente

que es absolutamente correcta desde el punto matemático, el lector dirá ¿cómo es eso?. No hay truco alguno, se trata de trabajar con la distancia 2-ádica y verificar la convergencia de la serie, recuerde que en matemática se trabaja con ciertas reglas y que se debe ser consecuente con ellas, por eso la importancia de la frase de Russell con la que iniciamos esta entrada. Se puede demostrar que series como 

que Euler denominó "Seriebus divergentibus"  que significa la serie divergente por excelencia, es convergente en cualquier métrica p-ádica. Debemos señalar que las métricas y cuerpos p-ádicos aparecen en el trabajo de Andrew Wiles y Richard Taylor para resolver el mayor enigma matemático de todos los tiempos: El Último Teorema de Fermat. Los desarrollos p-ádicos han llevado al concepto muy importante de Espacio Perfectoide introducido en la tesis doctoral del importante matemático Peter Scholze, en Física también los p-adicos han tenido aplicación. Si quiere seguir investigando sobre el fantástico universo p-adico dejamos los siguientes enlaces.

Un bonito curso en castellano que incluye aspectos algebraicos y analíticos  lo puede bajar de acá

www.mate.unlp.edu.ar/~ggarcia/encuentros/notas-elENAIV.pdf

Como siempre la wikipedia es un lugar de consulta obligado

https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number

Hay un número de Mundo Científico (La Recherche) titulado El Universo de los Números que si lo puede encontrar contiene un artículo sobre los p-ádicos y otras cosas más.