Los espacios invariantes

Uno de los problemas matemáticos abiertos más famosos acaba de ser resuelto: el problema del subespacio invariante. La noticia ha recorrido la web, ver por ejemplo http://www.rsme.es/content/view/1199/1/. El problema consiste en demostrar la siguiente proposición: Todo operador T continuo del espacio de Hilbert H en el propio espacio de Hilbert H tiene un subespacio invariante. Cosas invariantes tienen una importancia muy grande en matemáticas. La geometría de los griegos es caracterizada modernamente por ciertos invariantes.

Newton, Lagrange y Hamilton

Fermat enunció un principio de economía que gobierna la naturaleza: las cosas ocurren de manera que minimizamos una cierta función. El llamo a esta función la acción. Por ejemplo, y esto fue lo que motivo a Fermat a enunciar su ley, la luz en un medio óptico no uniforme viaja de un punto A al punto B de forma que el tiempo de viaje sea mínimo. Hoy llamamos ese principio de Fermat y podemos obtener la Ley de Snell del principio de Fermat facilmente. Bernoulli usó esta idea para resolver el problema de la braquistócrona o curva de descenso en un tiempo mínimo. Se trata de encontrar la curva que une dos puntos del espacio de tal manera que si dejamos caer una pelota vaya del punto más alto al mas bajo en tiempo mínimo. Su solución es brillante y puede ser encontrada en el libro de Polya "Matemáticas y razonamiento plausible" y en este enlace "The brachistochrone"    sin embargo otros matemáticos resolvieron el problema introduciendo una rama del análisis conocida como Cálculo de Variaciones que resolvía muchos problemas. Es decir, crearon una técnica. 

Entre los que crearon el Calculo de Variaciones debemos recordar a Euler y Lagrange, de hecho cuando Euler leyó el trabajo de Lagrange penso que lo que Lagrange había logrado era extraordinario. 

¿Es la naturaleza económica?

Maupertuis enunció un principio de economía que gobierna la naturaleza: las cosas ocurren de manera que minimizamos una cierta función. El llamó a esta función la acción. Por ejemplo, y esto fue lo primero que motivó a Maupertuis a enunciar su ley, Fermat descubrió que la luz en un medio óptico no uniforme viaja de un punto A al punto B de forma que el tiempo de viaje sea mínimo.¿Cómo sabe la luz cuál es el camino de tiempo mínimo? ¿Acaso explora todos los caminos antes de decidirse por uno? Fermat pensó sobre este problema y concluyó que era muy dificíl. El hecho que la luz viaje intentando llegar en el menor tiempo posible se llama Principio de Fermat. Bernoulli usó esta idea para resolver el problema de la braquistócrona o curva de descenso en un tiempo mínimo. Se trata de encontrar la curva que une dos puntos del espacio de tal manera que si dejamos caer una pelota vaya del punto más alto al mas bajo en tiempo mínimo. Su solución es brillante y puede ser encontrada en el libro de Polya "Matemáticas y razonamiento plausible" y en este enlace "The brachistochrone"   . Sin embargo otros matemáticos resolvieron el problema creando una rama del análisis conocida como Cálculo de Variaciones que resolvía muchos problemas. Es decir, crearon una técnica. La solución de Bernoulli es hermosa pero no tuvo muchos seguidores, se impuso el orden y no la magia. Entre los que crearon el Calculo de Variaciones debemos recordar a Euler y Lagrange, de hecho, cuando Euler leyó el trabajo de Lagrange, pensó  que lo que Lagrange había logrado era extraordinario.No habían ni dibujos ni geometría en su trabajo, su pensamiento era analítico, el mecanismo del universo parecía estar asociado con una ecuación. Euler dijo: no ocurre nada en la naturaleza sin que aparezcan máximos o mínimos. Estas ideas se mantienen en la Física moderna donde los principios de acción mínima estan presentes. Por ejemplo, en  

  

el deslave de Vargas(1999) los ríos que habían sido desviados y canalizados, al aumentar su cauce, buscaron las trayectorias que los llevaban al mar desde tiempos remotos: las trayectorias que minimizaban la acción. El deslave de Vargas es un ejemplo del mundo macroscópico pero en el mundo del átomo el

 

físico Richard Feynman descubrió el mismo tipo de ley. Así que cuando le digamos a alguién que es un flojo porqué sigue el principio de mínima acción, seamos condescendientes y pensemos que finalmente es algo natural.