viernes, 13 de noviembre de 2020

Bernardo Bolzano, un genio poco recordado

La aritmetización del análisis es un gran programa del siglo XIX que fue llevado a cabo por Cauchy, Riemann, Cantor, Dedekind y Weierstrass. En el siglo XVIII solo unos pocos matemáticos como Lagrange se preocuparon por dar al análisis el rigor del que carecía. Era necesario: 

  1. Definir los reales y mostrar su completitud
  2. Establecer de manera rigurosa la idea de límite
  3. Construir la integral de las funciones razonables
  4. Demostrar algunos resultados que eran usados ampliamente
  5. Entender la convergencia de las series
  6. Distinguir entre la convergencia puntual y la uniforme de las series de funciones

Otro problema que quedaba abierto y que fue atacado por Cantor era el de los conjuntos infinitos que eran usados de manera solapada en análisis y entender como comparar el "tamaño de los mismos". El proceso de como se logró aritmetizar el análisis se describe en muchas partes y usualmente la piedra fundacional es el Cours d' Analyze de Cauchy, un tratado que se toma como punto de partida en el proceso formalizar el análisis. Sin embargo, esta gran historia tiene un antecedente y es el trabajo de nuestro personaje, Bernardo Bolzano. Sacerdote, filosofo, teólogo y matemático nacido en Praga en 1781 aunque su familia era de origen italiano. 

Bernard Bolzano.jpgBolzano se dio cuenta que un conjunto era infinito si y solo si se podía establecer una biyección entre el conjunto y una parte propia del mismo. Veamos un ejemplo, los números naturales son la sucesión 0,1,2,3,...Todos sabemos que los pares, 0,2,4,... conforman un subconjunto propio de los números naturales. Sin embargo, la función f(n)=2n establece una biyección entre los naturales y los pares


De esta manera demostramos que los naturales forman un conjunto infinito. Luego, Bolzano resolvió el problema del infinito actual en matemáticas, un problema que venía desde la matemática griega. Bolzano reflexionó que la matemática debía abandonar su aspecto intuitivo, sensorial, geométrico. Suyo es el ejemplo, mucho antes del de Weierstrass, de una función que carece de derivada en todo punto pero es continua. Acá pueden ver un applet que permite ver como se construye tal "monstruo"

https://demonstrations.wolfram.com/BolzanosContinuousButNowhereDifferentiableFunction/


Bolzano fue capaz de dar en 1817 la definición moderna de continuidad, esa definición usualmente se atribuye a Weierstrass o a Cauchy. Leamos su definición, "$f(x)$ es continua en un intervalo si para toda $x$ en el intervalo, la diferencia $f(x+w)-f(x)$ puede hacerse tan pequeña como uno quiera tomando $w$ suficientemente pequeña. " Con tal nivel de rigor fue capaz de dar una demostración impecable del Teorema del Valor Medio, dicho resultado era usado por los matemáticos desde Newton y Leibnitz pero nadie lo había probado de manera rigurosa. El teorema indica que si una función continua cambia de signo en un intervalo entonces, se anula en algún punto del intervalo. 

Capitulo_22__1.jpgEstampilla de la Unesco en honor a Bolzano

Bolzano trató de liberar el análisis matemático de dos cosas, apelar a la intuición geométrica y de usar los infinitesimales. Los infinitesimales eran usados por Newton y preferentemente por Leibnitz, es decir aparecen con el nacimiento del cálculo. Su uso era dudoso pero eran un método potente para encontrar poderosos resultados luego, los matemáticos se hicieron la vista gorda y los admitieron. Un infinitesimal es un número mayor que 0 pero menor que cualquier real positivo. Tales números, violan la propiedad arquimediana de los números reales, hecho que chocó a Newton. También, el obispo Berkeley escribió un librito, El Analista, donde criticaba el uso de los infinitesimales a los cuales llamó, "fantasmas de cantidades difuntas". Con su definición de continuidad, Bolzano muestra por primera vez que el cálculo diferencial e integral podía ser liberado del uso de los infinitesimales, un resultado crucial en el proceso de aritmetización del análisis matemático.

Bolzano dió otros conceptos importantes como el de sucesión de Cauchy que equivale a la convergencia de una serie de números reales, ese concepto se atribuye erróneamente  al gran matemático francés. No olvidemos a este sacerdote, filosofo y matemático, su trabajo es relevante en el avance de la matemática del siglo XIX, su posición política y religiosa no contribuyeron a  divulgar su obra. Muere en 1848 y años después su trabajo es redescubierto por varios matemáticos, entre ellos Hankel (1839 - 1873).


 

 

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