domingo, 21 de marzo de 2021


Escrito en Venezuela

Tópicos de Estadística, Aplicados a las Ciencias Sociales de Omar Alcalá (UCAB)

El tema de la Estadística y su comprensión es fundamental para el ciudadano, todos los días vemos diferentes cifras en las redes sociales que revelan información valiosa del mundo que nos rodea, ¿qué significan?, ¿cómo interpretarlas?, ¿Cómo nos afectan?. Para dar respuestas a estas preguntas contamos con una maravillosa herramienta, la Estadística. ¿Quiere aprender Estadística con un enfoque hacia las aplicaciones, con muchos ejemplos y explicada de manera sencilla? Aquí entra el texto del Prof. Omar Alcalá como una de las mejores alternativas disponibles para alcanzar estos objetivos. Es un texto ideal para el que quiere aprender lo básico del tema y aplicar esas ideas en un área del conocimiento, en este caso las ciencias sociales. 
El libro empieza con una agradable sorpresa, una breve historia de la estadística en el mundo y en Venezuela. Esto último es lo que más me gustó, como el autor señala, hay poco material sobre la historia de la estadística en el país, casi reducido al libro "La estadística en la historia de Venezuela" de gran historiador Manuel Alfredo Rodríguez. Omar hace un recuento entretenido y relevante de la evolución de esta ciencia en el país. El material del libro es básico y centrado en las aplicaciones, hay muchos ejemplos bien desarrollados y problemas en su contexto. Las explicaciones claras y breves, pasando de las definiciones a los resultados y posteriormente a las aplicaciones. Cubre el material que uno espera ver en un curso de este tipo, estadística descriptiva, medidas de tendencia central, análisis de regresión y correlación, series de tiempo y números índice. Cada capítulo contiene una serie de ejercicios que permiten verificar al estudiante el manejo del tema. Quizás uno extraña el uso de algún software informático como herramienta para el alumno, pudiendo ser Excel, R o el SPSS algunas opciones. Estos paquetes pueden ser usado por el estudiante para verificar sus cómputos en problemas cortos y para poder hacer un buen trabajo si la cantidad de datos es muy grande, además disponen de posibilidades gráficas para visualizar los resultados. Creo que una futura edición se podría incluir alguno. 
Por las razones expuestas, recomiendo ampliamente este libro para estudiantes de Ciencias Sociales que tienen que poder manejar la estadística como un conocimiento auxiliar a su disciplina, el libro es una edición dela UCAB del año 2014 y con seguridad se puede comprar allí, no se si está en pdf y se puede comprar en línea pero no cuesta echar un vistazo aquí https://abediciones.ucab.edu.ve/catalogo/.
  
Sobre nuestro autor: 

Omar Alcalá, nació en Caracas en el año de 1974.
Licenciado en Educación mención física y matemáticas (UCAB)
Licenciado en Matemáticas, mención probabilidad y estadística (UNA)
Magister en Educación, mención: procesos de aprendizaje (UCAB)
Dos libros publicados: Tópicos de Estadística aplicados a la Ciencias Sociales y El mapa conceptual, herramienta para comprender mejor la estadística.
Actualmente cursa el doctorado en Educación
 
 
 

 

viernes, 13 de noviembre de 2020

Bernardo Bolzano, un genio poco recordado

La aritmetización del análisis es un gran programa del siglo XIX que fue llevado a cabo por Cauchy, Riemann, Cantor, Dedekind y Weierstrass. En el siglo XVIII solo unos pocos matemáticos como Lagrange se preocuparon por dar al análisis el rigor del que carecía. Era necesario: 

  1. Definir los reales y mostrar su completitud
  2. Establecer de manera rigurosa la idea de límite
  3. Construir la integral de las funciones razonables
  4. Demostrar algunos resultados que eran usados ampliamente
  5. Entender la convergencia de las series
  6. Distinguir entre la convergencia puntual y la uniforme de las series de funciones

Otro problema que quedaba abierto y que fue atacado por Cantor era el de los conjuntos infinitos que eran usados de manera solapada en análisis y entender como comparar el "tamaño de los mismos". El proceso de como se logró aritmetizar el análisis se describe en muchas partes y usualmente la piedra fundacional es el Cours d' Analyze de Cauchy, un tratado que se toma como punto de partida en el proceso formalizar el análisis. Sin embargo, esta gran historia tiene un antecedente y es el trabajo de nuestro personaje, Bernardo Bolzano. Sacerdote, filosofo, teólogo y matemático nacido en Praga en 1781 aunque su familia era de origen italiano. 

Bernard Bolzano.jpgBolzano se dio cuenta que un conjunto era infinito si y solo si se podía establecer una biyección entre el conjunto y una parte propia del mismo. Veamos un ejemplo, los números naturales son la sucesión 0,1,2,3,...Todos sabemos que los pares, 0,2,4,... conforman un subconjunto propio de los números naturales. Sin embargo, la función f(n)=2n establece una biyección entre los naturales y los pares


De esta manera demostramos que los naturales forman un conjunto infinito. Luego, Bolzano resolvió el problema del infinito actual en matemáticas, un problema que venía desde la matemática griega. Bolzano reflexionó que la matemática debía abandonar su aspecto intuitivo, sensorial, geométrico. Suyo es el ejemplo, mucho antes del de Weierstrass, de una función que carece de derivada en todo punto pero es continua. Acá pueden ver un applet que permite ver como se construye tal "monstruo"

https://demonstrations.wolfram.com/BolzanosContinuousButNowhereDifferentiableFunction/


Bolzano fue capaz de dar en 1817 la definición moderna de continuidad, esa definición usualmente se atribuye a Weierstrass o a Cauchy. Leamos su definición, "$f(x)$ es continua en un intervalo si para toda $x$ en el intervalo, la diferencia $f(x+w)-f(x)$ puede hacerse tan pequeña como uno quiera tomando $w$ suficientemente pequeña. " Con tal nivel de rigor fue capaz de dar una demostración impecable del Teorema del Valor Medio, dicho resultado era usado por los matemáticos desde Newton y Leibnitz pero nadie lo había probado de manera rigurosa. El teorema indica que si una función continua cambia de signo en un intervalo entonces, se anula en algún punto del intervalo. 

Capitulo_22__1.jpgEstampilla de la Unesco en honor a Bolzano

Bolzano trató de liberar el análisis matemático de dos cosas, apelar a la intuición geométrica y de usar los infinitesimales. Los infinitesimales eran usados por Newton y preferentemente por Leibnitz, es decir aparecen con el nacimiento del cálculo. Su uso era dudoso pero eran un método potente para encontrar poderosos resultados luego, los matemáticos se hicieron la vista gorda y los admitieron. Un infinitesimal es un número mayor que 0 pero menor que cualquier real positivo. Tales números, violan la propiedad arquimediana de los números reales, hecho que chocó a Newton. También, el obispo Berkeley escribió un librito, El Analista, donde criticaba el uso de los infinitesimales a los cuales llamó, "fantasmas de cantidades difuntas". Con su definición de continuidad, Bolzano muestra por primera vez que el cálculo diferencial e integral podía ser liberado del uso de los infinitesimales, un resultado crucial en el proceso de aritmetización del análisis matemático.

Bolzano dió otros conceptos importantes como el de sucesión de Cauchy que equivale a la convergencia de una serie de números reales, ese concepto se atribuye erróneamente  al gran matemático francés. No olvidemos a este sacerdote, filosofo y matemático, su trabajo es relevante en el avance de la matemática del siglo XIX, su posición política y religiosa no contribuyeron a  divulgar su obra. Muere en 1848 y años después su trabajo es redescubierto por varios matemáticos, entre ellos Hankel (1839 - 1873).


 

 

domingo, 11 de agosto de 2019

¿Qué es un espacio de Hilbert?

Hermann Weyl: ¿Qué le pareció mi seminario sobre el Teorema de Riesz-Fischer?
David Hilbert: Creo que lo seguí bastante bien.
Hermann Weyl :Me alegro.
David Hilbert: Solo me quedo un interrogante, ¿qué es un espacio de Hilbert?

Hilbert y Weyl  (Video  de Hilbert y Weyl en Gotinga)

La lección para la habilitación de Riemann a la docencia universitaria es uno de los grandes acontecimientos de la matemática, algunas personas piensan que allí nace la matemática moderna. Es poco claro lo que movió a Gauss para escoger ese tema entre la terna de opciones presentadas por el aspirante Riemann. Riemann sentía que ese era el tema que dominaba menos y usualmente el tutor escogía el tema más adecuado para el aspirante a ser habilitado, se esperaba un acuerdo entre ellos. Pero Gauss escogió el tema " Sobre las hipótesis que hacen de fundamento de la Geometría." y el mundo matemático le debe otro favor al gran matemático Gauss. Hay una muy buena traducción de este trabajo hecha por el filosofo David García Bacca que fue editada por la UCV, no se si se puede adquirir o si ha sido reeditada, data de 1978. No voy a discutir el potente y profundo trabajo de Riemann en su disertación, solo me  voy a referir a dos aspectos esenciales para nuestra discusión de los espacios de Hilbert. En primer lugar, Riemann establece la existencia de espacios de n dimensiones señalando que el número de dimensiones del espacio no tiene que ser necesariamente 2 o 3 y que podemos tener variedades donde un punto $$\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)$$ es determinado por n valores. Pero Riemann no para allí y señala, lo que es esencial para el concepto de espacio de Hilbert, que es posible necesitar infinitas determinaciones para encontrar todas las coordenadas de un punto. Esto ocurre por ejemplo para una función definida en los reales, para determinarla se necesita conocer "su coordenada" f(x) donde x es real, es decir Riemann se puede considerar como la primera persona que vislumbró el concepto de espacio funcional, un hecho importantísimo para la matemática del siglo XX. Por supuesto, espacios de 5 o infinitas dimensiones no se pueden visualizar, lo importante es su definición matemática apropiada y tal definición es necesariamente abstracta. El tema de las paralelas ronda la matemática desde que Euclides incluyó, con aguda visión, su quinto postulado, que dice "dada una recta L y un punto P fuera de ella existe una y solo una paralela L1 a L que pasa por P".
Como sabemos Euclides formuló su V postulado de manera menos intuitiva y desde un primer momento levantó sospechas, ¿era un axioma¿? o quizás ¿se puede demostrar como teorema?. El resto de los axiomas de Euclides eran muy evidentes, no así este. Miles de años pasaron hasta que Riemann explicó lo que ocurría. El quinto postulado corresponde a una métrica o distancia entre puntos donde vale el Teorema de Pitágoras. Una métrica determinaba en el espacio las lineas rectas o geodésicas, es decir que el espacio tenía que ser dotado de una estructura métrica, el espacio usual de la geometría euclídea tiene la distancia pitagórica que aprendimos en bachillerato. Y esto es lo que ocurre en el espacio de Hilbert, el espacio de Hilbert es un espacio de infinitas dimensiones donde se verifica el teorema de Pitágoras. Su construcción no fue realizada inmediatamente, se necesitó que aparecieran problemas matemáticos donde fuera relevante el concepto de espacio hilbertiano, como la ecuación del calor y las series de Fourier o el trabajo de Hilbert en la solución de las ecuaciones integrales. La forma en la cual se introduce la métrica depende del concepto de producto interno que implícitamente lleva la posibilidad de medir ángulos y distancias. El lector recordará que una proposición equivalente al V postulado es que "todo triángulo tiene una suma de ángulos interiores igual a dos rectos". Luego, el producto interno se define para que valga esta proposición o para que valga el Teorema de Pitágoras, usted escoge su favorita, pero desembocamos en lo mismo, en un espacio de Hilbert. 



sábado, 27 de octubre de 2018

Escrito en Venezuela: Álgebra, Estructuras Algebraicas

Una primera cosa que destaca del texto del Dr. Rivero es lo claro se su exposición, demostraciones muy bien argumentadas, definiciones con muchos ejemplos y los temas muy bien organizados. Si a eso le sumamos una bonita edición de las ecuaciones y fórmulas, con un buen espaciado, tenemos un texto que invita a su lectura.
El libro se adecua a las carreras de matemática y educación matemática y se puede pensar como un texto de un semestre o, a un paso menos exigente, para dos semestres de álgebra básica. El material es estandard, leyes de composición, grupos, anillos y cuerpos son explicados de manera muy clara y se da también una breve introducción al álgebra conmutativa, tema que debe ser profundizado en postgrado siguiendo, por ejemplo, el hermoso libro de Atiyah y MacDonald. Los problemas son adecuados para aplicar las técnicas fundamentales pero otros representan un reto al lector. El lector experto reconocerá algunos de esos problemas ya que aparecen en textos como el de Herstein pero para el que estudie por primera vez el tema esos problemas son una fuente de gran  entretenimiento. En el texto aparecen notas históricas muy interesantes, por ejemplo, me enteré de que Argand dio una demostración original y sencilla del Teorema Fundamental del Álgebra y la referencia es un artículo de C. Fefferman en la Monthly. Estoy leyendo sobre la prueba ahora, sin embargo me costo encontrar en la bibliografía del libro la referencia ya que las cosas allí no están en orden alfabético y hay varios errores de transcripción. Eso es una cosa que se debe mejorar del libro, también aparecen algunos errores de tipeo en el texto, todos ellos cosas menores pero que deben ser corregidas para una segunda edición.
El libro lo compre en una feria del libro de la UCAB pero lo he visto en las Librerias del Sur y con seguridad se puede encontrar en la ULA, su precio realmente económico. Pero lo que es mejor es que el autor nos deja a nuestra disposición casí todos sus libros en la excelente Web Saber-ULA http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/index2.html 
En resumen, el estudiante de matemáticas encuentra en el libro del Dr. Rivero una excelente primera aproximación al mundo del álgebra abstracta y no dudamos recomendar que obtenga una copia del mismo en físico o digital.
Tomado de la Web del Profesor:
 Mi Trabajo.
Licenciado en Matemáticas de la ULA Dpto. de Matemáticas Facultad de Ciencias 1976. Maestría en Matemáticas U.L.A . 1980.
Ph.D.  en Álgebra. Louisiana State University USA  en 1987. Profesor de la Facultad de Humanidades Escuela de Educación de la ULA desde 2002.
 He publicado algunos artículos sobre teoría de números, Álgebra, matemática educativa y también algunos libros de Texto sobre éstos temas. Tutor de cuatro tesis de Maestría.
Me gusta pintar al óleo y escribir sobre viajes, cuentos, poesías, valores y la vida de la ciudad. He trabajado  en el Ministerio de Educación,  Zona Educativa de Mérida.
Mi interés principal en los últimos veinte años ha sido el de  mejorar la enseñanza de la matemática en la educación básica, media y diversificada.
La presente foto fue tomada el 3-4-2010 en la casa de Mucurubá. Aquí estoy con mi nieto José Manuel de 20 meses y detrás está San Francisco de Asís protegiéndonos.

domingo, 19 de agosto de 2018

Intangibles en Análisis Real

Un intangible, segun mi diccionario de bolsillo,  es algo que no puede ser tocado pero debemos ampliar un poco esta definición para expresar la idea de nuestra entrada de hoy. ¿Podemos tocar algún objeto en matemáticas?, ¿no es la matemática la ciencia de lo intangible? Para nuestra entrada intangible tiene un significado distinto y se lo debemos a Eric Schecter en su Handbook of Analysis and its Foundations, lo aclararemos por medio de ejemplos. Voy con el primer ejemplo, lo lamento pero nuestra discusión es hoy técnica. Sabemos que el espacio $$X=L^{1}[0,1]$$ no es reflexivo. Eso significa que el dual de $$L^{\infty}[0,1]$$ contiene objetos que no pertenecen a X. ¿Qué son estos objetos?, ¿podemos dar un ejemplo? Resulta ser que son medidas finitamente aditivas, suena muy bien, ¿acaso conocemos alguna? La respuesta es no. Similar situación ocurre con los conjuntos de la recta real y su medida de Lebesgue. La medida es una noción similar a la de longitud, así la medida del intervalo [0,1] es 1, la medida de un punto es 0, etc. ¿Tendrán todos los conjuntos de la recta una medida pudiendo ser su valor infinito? La respuesta es no, hay conjuntos de la recta real que no tienen longitud. ¿Podemos dar un ejemplo de los mismos, es decir construir alguno específico? La respuesta es de nuevo no, aquí aclaramos que no consideramos el uso del axioma de elección como algo constructivo. Estos objetos, conjuntos sin medida y medidas finitamente aditivas son ejemplos de lo que llamamos intangibles. ¿Mas ejemplos de intangibles? En la construcción del universo de los números infinitesimales mediante el análisis no estandar se hace uso del concepto de ultrafiltro, los ultrafiltros se construyen de nuevo usando el lema de Zorn o su equivalente, el terrible axioma de elección, eso lleva de nuevo a la imposibilidad de mostrar el ultrafiltro, de hecho hay muchos ultrafiltros,  son como Dios: existe pero no lo podemos ver, es intangible. La situación presentada me recuerda un metaprincipio expuesto por Halmos en alguno de sus libros, creo que en su joya A Hilbert Space Problem Book, allí Halmos establece, si Ud. puede escribir una función entonces esa función es medible. La "demostración" es fácil , si la escribimos ya no es un intangible y por ende debe ser medible, por supuesto bromeamos con esta prueba pero hay algo de cierto en lo que decimos, lo que podemos construir, especificar completamente va a tener buenas propiedades, de alguna manera los intangibles si tienen alguna característica en común es que son objetos diabólicos y que desafían nuestro intuición. ¿Más ejemplos de intangibles?
  • Dos normas en un espacio vectorial que sean completas pero no equivalentes (trate Ud. de construirlas)
  • Un buen orden de los numeros reales (¿se anima?)
¿Qué hace el buen profesor ante esta situación? Siempre considero fundamental anexar ejemplos a cada concepto con el que me encuentro en clase. Pero en este caso, eso no es posible.  Nos queda un consuelo, el prof. Ramón Bruzual me contó esta frase del Prof. Iribarren, un curso de análisis matemático es un buen sitio para perder la virginidad matemática.

domingo, 29 de octubre de 2017

Belleza Matemática

"Bello como el encuentro fortuito, sobre una mesa de disección, de una máquina de coser y un paraguas"
Conde de Lautréamont 
¿Requiere la apreciación estética de comprensión? Cualquier persona puede ser conmovido por un cuadro o una pieza musical sin ser artista ni crítico de arte, los expertos quizás observen detalles y profundicen en aspectos oscuros al profano pero no se puede negar la profunda impresión y placer que muchas obras de arte causan en la gente común. 
 Detalle del Jardín de las Delicias, Del Bosco
 Pero en el caso de las matemáticas hay una distancia muy grande entre el experto y una persona cualquiera cuando se trata de apreciar la belleza de nuestra ciencia. Puedo afirmar, sin temor a equivocarme, que cuando decimos que un resultado o demostración matemática es hermoso es porque lo hemos comprendido y apreciamos las sutilezas que contiene, disfrutamos el ingenio del matemático o su profundo entendimiento sobre un tema. Por supuesto, en este mundo dado al tratamiento igualitario, a la venta de la no discriminación se pretende hacer ver que el gran público puede apreciar la belleza matemática viendo el dibujo de un fractal o haciendo imprecisas referencias a la Teoría del Caos. 
Conjunto de Julia
Sin embargo, se esquiva el problema de  ¿qué es una iteración? , ¿qué es un sistema dinámico?, o la convergencia de una sucesión o su divergencia al infinito. Queda el dibujo del fractal como una muy vaga aproximación a la belleza matemática, vaga, fugaz, lejana...
¿Qué es la belleza matemática? Voy a dar mi interpretación personal  mediante ejemplos. Para mi es bello, hermoso que Cantor se haya dado cuenta que existe el infinito actual y que este se presenta en distintos tamaños. Su demostración de que los números reales son un infinito mayor que el de los números naturales mediante su argumento diagonal impacta y conmueve por su hermosura, pero ¿a quién le llega?.  A quien la entienda, si no se ve la idea no hay belleza, porque la idea de la demostración es la que es bella.

Sucede en matemática lo mismo que en el ajedrez, si yo digo que la partida inmortal de Rubinstein es bellísima es porque la entiendo y veo en la sucesión de sacrificios lógica y creatividad que llevan a un mate imparable, para el profano son movidas y si acaso observa algo es que se hacen de acuerdo a las reglas del ajedrez, nada más. Para el matemático la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos es hermosa, al igual que la demostración de los chinos del Teorema de Pitágoras, donde la aritmética se une a una descomposición del tipo tangram de un cuadrado.
Las demostraciones hermosas el matemático Erdös decía que provenían directamente del Libro, una especie de texto místico donde se encontraban solo pruebas hermosas que los matemáticos extraían de allí, una visión platónica de la belleza matemática. ¿Más ejemplos? Veamos una muy conocido, cuando estamos en cuarto año de matemáticas en el bachillerato venezolanos somos expuestos a las progresiones aritméticas y geométricas, tema que es muy importante y en el cual se puede hacer un gran trabajo con los estudiantes. Uno ve la fórmula de la suma de los términos de la sucesión $$1,2,3,\cdots,n$$, que nos dice que la suma es $$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$
Probablemente ni se haga el intento en clase de demostrar esa fórmula, grave error porque nos perderemos el argumento inmortal del niño Gauss que observó  que $$1+n=2+(n-1)=\cdots=1+n$$
Descubrimiento que hizo en la escuela primaria cuando, como castigo por su mal comportamiento, su maestro les mando a calcular a su clase la suma de los primeros cien números naturales (dibujo arriba).
Un ejemplo más, tomemos la sucesión de los primos impares $$3,5,7,11,13,\cdots$$. Es claro, por el algoritmo de Euclides que cualquier primo impar es de una y sólo una de las siguientes formas $$4n+1\,\text{o}\,4n+3 $$
Veamos ahora lo siguiente $$5=1^2+2^2,13=2^2+3^2,17=1^2+4^2,\cdots$$, esto sugiere una bella hipótesis los primos de la forma 4n+1 son suma de dos cuadrados, mientras que los de la forma 4n+3 no lo son. Esa observación, a partir de una evidencia empírica, se asemeja a los descubrimientos de las ciencias naturales. Es además notable porque permite discriminar los primos en dos clases disjuntas completamente caracterizadas. Hay muchas demostraciones notables de este hecho y en una proxima entrega de nuestro blog daré una de ellas, una que es tomada del Libro.
Una advertencia al lector, no estoy negando la posibilidad de trasmitir al lego la belleza matemática, esa no es mi intención. De hecho los grandes divulgadores de la matemática lo hacen, los Gardner, los Miguel De Guzmán, los James R. Newman han hecho el esfuerzo junto con un lector cómplice para que se comprendan ideas y relaciones, y allí está la belleza matemática. 
 


jueves, 31 de agosto de 2017

Inducción y Elección


Muchas veces divagamos sobre la naturaleza del infinito en matemáticas, un concepto escabroso y difícil de entender. Le debemos al genio del sacerdote Bolzano el concepto de conjunto infinito: un conjunto A es infinito si podemos encontrar un subconjunto propio $$B\subset A$$ y una función $$f:B\longrightarrow A$$ biyectiva. Por ejemplo, el conjunto de los naturales N de acuerdo a Bolzano es infinito ya que f:P N f(n)= n 2 es una biyección, aquí P es el conjunto de los números pares, P={ 0,2,4,6 } . Este hecho, aparente paradójico, de que un conjunto se pueda poner en correspondencia biunívoca con una parte propia de el mismo fue lo que hizo que Galileo alertara del peligro del infinito. Pero Bolzano fue más perspicaz y aprovecho esta característica para definir los conjuntos infinitos. Todos recordamos la impresión que nos causo de niños toparnos con un conjunto como el de los números naturales que no tenía fin, sin duda el primer conjunto infinito con el que tratamos. Pero, ¿qué son los números naturales?. Hacia finales del siglo XIX y principios del siglo XX, David Hilbert arrojó la metafísica fuera de las matemáticas: los objetos matemáticos quedan determinados por los axiomas, esto es los axiomas los caracterizan. Si usted quiere hablar del juego del ajedrez puede estudiar su historia y los elementos sicológicos que impulsan a los jugadores a jugar, puede descubrir el simbolismo medieval que ocultan las distintas piezas pero eso no es el ajedrez. Para definir el juego de ajedrez, usted debe dar sus reglas y punto. Por ejemplo, el rey puede mover un solo paso en cualquier dirección y el objeto del juego es capturar el rey adversario. Jugamos la partida en un tablero con 8 filas y 8 columnas, donde se alternan los colores blanco y negro, entre otras reglas. No hay filosofía aquí, solo definiciones y propiedades que determinan lo que llamamos ajedrez. Siguiendo a Hilbert, Peano formuló un conjunto de axiomas que el pensaba capturaban el concepto de número natural, estos  son los axiomas 
Si usted quiere darle alguna interpretación a los axiomas piense que el axioma 1. garantiza que hay al menos un número natural, en este caso el 0, también puede pensar, en relación al axioma 2. que el sucesor está determinado por la función s(n)=n+1, así 1 es el sucesor de 0, 2 es el sucesor de 1, . El axioma 4. indica que 0 es el primer número natural. El axioma 5 es más complicado y es uno de los objetos de esta nota. Es el celebre principio de inducción matemática, una herramienta básica en la demostración de diversas propiedades matemáticas. Su historia es muy interesante y su uso como técnica matemática está unido a los nombres de Pascal y Fermat, este último lo llamaba “pruebas mediante el descenso infinito”. Es muy interesante comprobar que el principio de inducción matemática equivale a la propiedad siguiente de los números naturales, todo subconjunto de los números naturales tiene un menor elemento. Así para demostrar alguna propiedad de los naturales, Fermat argumentaba que de no cumplirse se podía construir una sucesión infinita de naturales cada vez menores, lo cual es imposible. Como siempre sucede en historia de las matemáticas, Fermat y Pascal tienen el antecedente de Maurolico, quien ya demostraba proposiciones por medio de inducción matemática y que quizas deba ser considerado el padre de la misma.
 
El dibujo muestra las infinitas casas de la vecindad chismosa numeradas como 0,1,2,3, . Los puntos suspensivos después de las casas significa que las casas continuan ad infinitum. La regla de la propagación del chisme que se aplica en nuestra vecindad chismosa es muy sencilla. Si los habitantes de la casa numerada como n reciben un chisme deben, después de oír y memorizar sus sustanciosos y sabrosos detalles, correr a la casa del vecino numerada como n+1 y zamparle la historia. Por ejemplo, si la gente de la casa 25 recibe una noticia sin desperdicio, debe salir a la casa 26 y comentarles lo ocurrido. Le pregunto a usted amigo lector, ¿qué ocurre si alguién le cuenta un chisme a los habitantes de la casa 0? ¿Cuantas casas de nuestra vecindad van a conocer el cuento?, por otro lado ¿qué pasa si el primero en oír el chisme son los habitantes de la casa 13?, ¿quienes se enteran en ese caso?. Es claro que si los dueños de la casa 0 oyen un chisme, al finalizar el mismo y siguiendo las reglas de este extraño condominio, deben ir rapidamente a la casa 1 y contarles lo que pasa, los de la casa 1, a su vez, iran a la casa 2, y así sucesivamente, no importa que hayan infinitas casas, eventualmente cualquier persona que viva en una de ellas se enterará de la historia. El segundo caso (el primero en oír el cuento vive en la casa 13) ocurre muchas veces en las aplicaciones de la inducción, en este caso los que se enteran del chisme son los de las casas 13, 14, 15, . , en las demostraciones matemáticas por inducción muchas veces no se puede empezar rutinariamente desde n=0 y la proposición estudiada es valida a partir de un cierto N 0 . La inducción matemática es adecuada para muchas demostraciones de afirmaciones sobre un conjunto numerable pero ¿qué pasa con lo no numerable?, ¿se pede probar en estos conjuntos ciertas proposiciones mediante algo análogo a la inducción?. Es un hecho extraordinario mostrado por Cantor que los reales son un conjunto no numerable, ¿acaso podemos demostrar afirmaciones para conjuntos no numerables siguiendo un proceso inductivo?. Es claro que en inducción matemática la noción clave es la noción de orden, de hecho ya señalamos que el principio de inducción en los naturales es equivalente a que cualquier subconjunto de números naturales tenga un menor elemento. Recordamos que una relación < de orden en el conjunto A es una relación binaria definida en A que es transitiva y antisimétrica, esto es


Un buen orden es un orden en el que todo subconjunto tiene un menor elemento. Por ejemplo, N es un conjunto bien ordenado pero R con el orden usual no lo es. Una pregunta natural es, ¿se puede definir sobre cualquier conjunto un buen orden? La respuesta es sí, como mostro tiempo atrás Zermelo. Esto permite, de manera análoga a la inducción sobre los naturales, hacer inducción en conjuntos con cardinalidades mayores desarollando la teoría de ordinales y lo que se llama la inducción transfinita. Todo es consecuencia de un principio o axioma de aparente sencillez: dada cualquier familia de conjuntos se puede formar un nuevo conjunto que contiene un elemento de cada uno de los conjuntos pertenecientes a la familia considerada. Es lo que se llama el axioma de elección cuyas consecuencias son muy importantes, por ejemplo se usa para demostrar que existe una base en cualquier espacio vectorial. De hecho, la mayor parte del tiempo no usamos inducción transfinita para demostrar estas cosas sino usamos el Lema de Zorn, una versión muy práctica del axioma de elección que evita tener que digerir el uso de ordinales y procesos transfinitos. Creo que es mucho mejor así, esa sucesión de ordinales cada vez más grandes es una imagen tenebrosa.