Hermann Weyl: ¿Qué le pareció mi seminario sobre el Teorema de Riesz-Fischer?
David Hilbert: Creo que lo seguí bastante bien.
Hermann Weyl :Me alegro.
David Hilbert: Solo me quedo un interrogante, ¿qué es un espacio de Hilbert?
Hilbert y Weyl (Video de Hilbert y Weyl en Gotinga)
La lección para la habilitación de Riemann a la docencia universitaria es uno de los grandes acontecimientos de la matemática, algunas personas piensan que allí nace la matemática moderna. Es poco claro lo que movió a Gauss para escoger ese tema entre la terna de opciones presentadas por el aspirante Riemann. Riemann sentía que ese era el tema que dominaba menos y usualmente el tutor escogía el tema más adecuado para el aspirante a ser habilitado, se esperaba un acuerdo entre ellos. Pero Gauss escogió el tema "
Sobre las hipótesis que hacen de fundamento de la Geometría." y el mundo matemático le debe otro favor al gran matemático Gauss. Hay una muy buena traducción de este trabajo hecha
por el filosofo David García Bacca que fue editada por la UCV
, no se si se puede adquirir o si ha sido reeditada, data de 1978. No voy a discutir el potente y profundo trabajo de Riemann en su disertación, solo me voy a referir a dos aspectos esenciales para nuestra discusión de los espacios de Hilbert. En primer lugar, Riemann establece
la existencia de espacios de n dimensiones señalando que el número de dimensiones del espacio no tiene que ser necesariamente 2 o 3 y que podemos tener variedades donde un punto $$\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)$$ es determinado por
n valores. Pero Riemann no para allí y señala, lo que es esencial para el concepto de espacio de Hilbert, que es posible necesitar infinitas determinaciones para encontrar todas las coordenadas de un punto. Esto ocurre por ejemplo para una función definida en los reales, para determinarla se necesita conocer "su coordenada"
f(
x) donde
x es real, es decir Riemann se puede considerar como la primera persona que vislumbró el concepto de espacio funcional, un hecho importantísimo para la matemática del siglo XX. Por supuesto, espacios de 5 o infinitas dimensiones no se pueden visualizar, lo importante es su definición matemática apropiada y tal definición es necesariamente abstracta. El tema de las paralelas ronda la matemática desde que Euclides incluyó, con aguda visión, su quinto postulado, que dice "dada una recta L y un punto P fuera de ella existe una y solo una paralela L1 a L que pasa por P".
Como sabemos Euclides formuló su V postulado de manera menos intuitiva y desde un primer momento levantó sospechas, ¿era un axioma¿? o quizás ¿se puede demostrar como teorema?. El resto de los axiomas de Euclides eran muy evidentes, no así este. Miles de años pasaron hasta que Riemann explicó lo que ocurría. El quinto postulado corresponde a una métrica o distancia entre puntos donde vale el Teorema de Pitágoras. Una métrica determinaba en el espacio las lineas rectas o geodésicas, es decir que el espacio tenía que ser dotado de una estructura métrica, el espacio usual de la geometría euclídea tiene la distancia pitagórica que aprendimos en bachillerato. Y esto es lo que ocurre en el espacio de Hilbert, el espacio de Hilbert es un espacio de infinitas dimensiones donde se verifica el teorema de Pitágoras. Su construcción no fue realizada inmediatamente, se necesitó que aparecieran problemas matemáticos donde fuera relevante el concepto de espacio hilbertiano, como la ecuación del calor y las series de Fourier o el trabajo de Hilbert en la solución de las ecuaciones integrales. La forma en la cual se introduce la métrica depende del concepto de producto interno que implícitamente lleva la posibilidad de medir ángulos y distancias. El lector recordará que una proposición equivalente al V postulado es que "todo triángulo tiene una suma de ángulos interiores igual a dos rectos". Luego, el producto interno se define para que valga esta proposición o para que valga el Teorema de Pitágoras, usted escoge su favorita, pero desembocamos en lo mismo, en un espacio de Hilbert.
