Belleza Matemática

"Bello como el encuentro fortuito, sobre una mesa de disección, de una máquina de coser y un paraguas"
Conde de Lautréamont 

¿Requiere la apreciación estética de comprensión? Cualquier persona puede ser conmovido por un cuadro o una pieza musical sin ser artista ni crítico de arte, los expertos quizás observen detalles y profundicen en aspectos oscuros al profano pero no se puede negar la profunda impresión y placer que muchas obras de arte causan en la gente común. 

 Detalle del Jardín de las Delicias, Del Bosco

 Pero en el caso de las matemáticas hay una distancia muy grande entre el experto y una persona cualquiera cuando se trata de apreciar la belleza de nuestra ciencia. Puedo afirmar, sin temor a equivocarme, que cuando decimos que un resultado o demostración matemática es hermoso es porque lo hemos comprendido y apreciamos las sutilezas que contiene, disfrutamos el ingenio del matemático o su profundo entendimiento sobre un tema. Por supuesto, en este mundo dado al tratamiento igualitario, a la venta de la no discriminación se pretende hacer ver que el gran público puede apreciar la belleza matemática viendo el dibujo de un fractal o haciendo imprecisas referencias a la Teoría del Caos. 

Conjunto de Julia

Sin embargo, se esquiva el problema de  ¿qué es una iteración? , ¿qué es un sistema dinámico?, o la convergencia de una sucesión o su divergencia al infinito. Queda el dibujo del fractal como una muy vaga aproximación a la belleza matemática, vaga, fugaz, lejana...

¿Qué es la belleza matemática? Voy a dar mi interpretación personal  mediante ejemplos. Para mi es bello, hermoso que Cantor se haya dado cuenta que existe el infinito actual y que este se presenta en distintos tamaños. Su demostración de que los números reales son un infinito mayor que el de los números naturales mediante su argumento diagonal impacta y conmueve por su hermosura, pero ¿a quién le llega?.  A quien la entienda, si no se ve la idea no hay belleza, porque la idea de la demostración es la que es bella.

Sucede en matemática lo mismo que en el ajedrez, si yo digo que la partida inmortal de Rubinstein es bellísima es porque la entiendo y veo en la sucesión de sacrificios lógica y creatividad que llevan a un mate imparable, para el profano son movidas y si acaso observa algo es que se hacen de acuerdo a las reglas del ajedrez, nada más. Para el matemático la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos es hermosa, al igual que la demostración de los chinos del Teorema de Pitágoras, donde la aritmética se une a una descomposición del tipo tangram de un cuadrado.

Las demostraciones hermosas el matemático Erdös decía que provenían directamente del Libro, una especie de texto místico donde se encontraban solo pruebas hermosas que los matemáticos extraían de allí, una visión platónica de la belleza matemática. ¿Más ejemplos? Veamos una muy conocido, cuando estamos en cuarto año de matemáticas en el bachillerato venezolanos somos expuestos a las progresiones aritméticas y geométricas, tema que es muy importante y en el cual se puede hacer un gran trabajo con los estudiantes. Uno ve la fórmula de la suma de los términos de la sucesión $$1,2,3,\cdots,n$$, que nos dice que la suma es $$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Probablemente ni se haga el intento en clase de demostrar esa fórmula, grave error porque nos perderemos el argumento inmortal del niño Gauss que observó  que $$1+n=2+(n-1)=\cdots=1+n$$

Descubrimiento que hizo en la escuela primaria cuando, como castigo por su mal comportamiento, su maestro les mando a calcular a su clase la suma de los primeros cien números naturales (dibujo arriba).
Un ejemplo más, tomemos la sucesión de los primos impares $$3,5,7,11,13,\cdots$$. Es claro, por el algoritmo de Euclides que cualquier primo impar es de una y sólo una de las siguientes formas $$4n+1\,\text{o}\,4n+3 $$

Veamos ahora lo siguiente $$5=1^2+2^2,13=2^2+3^2,17=1^2+4^2,\cdots$$, esto sugiere una bella hipótesis los primos de la forma 4n+1 son suma de dos cuadrados, mientras que los de la forma 4n+3 no lo son. Esa observación, a partir de una evidencia empírica, se asemeja a los descubrimientos de las ciencias naturales. Es además notable porque permite discriminar los primos en dos clases disjuntas completamente caracterizadas. Hay muchas demostraciones notables de este hecho y en una proxima entrega de nuestro blog daré una de ellas, una que es tomada del Libro.

Una advertencia al lector, no estoy negando la posibilidad de trasmitir al lego la belleza matemática, esa no es mi intención. De hecho los grandes divulgadores de la matemática lo hacen, los Gardner, los Miguel De Guzmán, los James R. Newman han hecho el esfuerzo junto con un lector cómplice para que se comprendan ideas y relaciones, y allí está la belleza matemática. 

 

Inducción y Elección

Muchas veces divagamos sobre la naturaleza del infinito en matemáticas, un concepto escabroso y difícil de entender. Le debemos al genio del sacerdote Bolzano el concepto de conjunto infinito: un conjunto $$A es infinito si podemos encontrar un subconjunto propio $$$$B\subset A$$ y una función $$f:B\longrightarrow A$$ $$ biyectiva. Por ejemplo, el conjunto de los naturales $N$ de acuerdo a Bolzano es infinito ya que $$\begin{array}{c}f:P\to N\\ f\left(n\right)=\frac{n}{2}\end{array}$$ es una biyección, aquí $P$ es el conjunto de los números pares, $P=\left\{0,2,4,6\cdots \right\}$ . Este hecho, aparente paradójico, de que un conjunto se pueda poner en correspondencia biunívoca con una parte propia de el mismo fue lo que hizo que Galileo alertara del peligro del infinito. Pero Bolzano fue más perspicaz y aprovecho esta característica para definir los conjuntos infinitos. Todos recordamos la impresión que nos causo de niños toparnos con un conjunto como el de los números naturales que no tenía fin, sin duda el primer conjunto infinito con el que tratamos. Pero, ¿qué son los números naturales?. Hacia finales del siglo XIX y principios del siglo XX, David Hilbert arrojó la metafísica fuera de las matemáticas: los objetos matemáticos quedan determinados por los axiomas, esto es los axiomas los caracterizan. Si usted quiere hablar del juego del ajedrez puede estudiar su historia y los elementos sicológicos que impulsan a los jugadores a jugar, puede descubrir el simbolismo medieval que ocultan las distintas piezas pero eso no es el ajedrez. Para definir el juego de ajedrez, usted debe dar sus reglas y punto. Por ejemplo, el rey puede mover un solo paso en cualquier dirección y el objeto del juego es capturar el rey adversario. Jugamos la partida en un tablero con 8 filas y 8 columnas, donde se alternan los colores blanco y negro, entre otras reglas. No hay filosofía aquí, solo definiciones y propiedades que determinan lo que llamamos ajedrez. Siguiendo a Hilbert, Peano formuló un conjunto de axiomas que el pensaba capturaban el concepto de número natural, estos  son los axiomas 

 

1. 0 es un número natural
2. Cualquier número natural $n$ tiene un sucesor denominado $s\left(n\right)$
3. Números distintos tienen sucesores distintos
4. 0 no es el sucesor de natural alguno
5. Si $A$ es un conjunto de números naturales que verifica $0\in A$ y si $n\in A$ entonces $s\left(n\right)\in A$ entonces $A$ es el conjunto de los números naturales

Si usted quiere darle alguna interpretación a los axiomas piense que el axioma 1. garantiza que hay al menos un número natural, en este caso el 0, también puede pensar, en relación al axioma 2. que el sucesor está determinado por la función $s\left(n\right)=n+1,$ así 1 es el sucesor de 0, 2 es el sucesor de 1, $\cdots$. El axioma 4. indica que 0 es el primer número natural. El axioma 5 es más complicado y es uno de los objetos de esta nota. Es el celebre principio de inducción matemática, una herramienta básica en la demostración de diversas propiedades matemáticas. Su historia es muy interesante y su uso como técnica matemática está unido a los nombres de Pascal y Fermat, este último lo llamaba “pruebas mediante el descenso infinito”. Es muy interesante comprobar que el principio de inducción matemática equivale a la propiedad siguiente de los números naturales, todo subconjunto de los números naturales tiene un menor elemento. Así para demostrar alguna propiedad de los naturales, Fermat argumentaba que de no cumplirse se podía construir una sucesión infinita de naturales cada vez menores, lo cual es imposible. Como siempre sucede en historia de las matemáticas, Fermat y Pascal tienen el antecedente de Maurolico, quien ya demostraba proposiciones por medio de inducción matemática y que quizas deba ser considerado el padre de la misma.

 

  Francesco Maurolico(16 de Septiembre 1494 - 21/22 de Julio 1575)

La inducción matemática es poco comprendida por los estudiantes de bachillerato y universitarios, usualmente se aprende como un algoritmo: probamos la proposición estudiada para 0, y suponemos cierta la misma para $k$ y mediante trucos algebraicos o de análisis la demostramos para $k+1$. Pero lo que está detras del método se entiende poco, recuerdo que Pi Calleja veía la inducción matemática como esas pilas de domino que colocamos unas tras de otra y que al caer la primera, hay un efecto en cadena y caen las demás. Yo les voy a contar una historia que invente para explicar de que trata la inducción matemática, como opera. Hay una vecindad que llamaremos la vecindad chismosa, de hecho en casí todos los barrios, edificios y vecindarios abunda el cotilleo y el murmullo. Pero los de la vecindad chismosa son realmente fanáticos del chisme, tan fanáticos que lo han regulado. Veamos de que manera.

El dibujo muestra las infinitas casas de la vecindad chismosa numeradas como 0,1,2,3,$\cdots \mathrm{.}$ Los puntos suspensivos después de las casas significa que las casas continuan ad infinitum. La regla de la propagación del chisme que se aplica en nuestra vecindad chismosa es muy sencilla. Si los habitantes de la casa numerada como $n$ reciben un chisme deben, después de oír y memorizar sus sustanciosos y sabrosos detalles, correr a la casa del vecino numerada como $n+1$ y zamparle la historia. Por ejemplo, si la gente de la casa 25 recibe una noticia sin desperdicio, debe salir a la casa 26 y comentarles lo ocurrido. Le pregunto a usted amigo lector, ¿qué ocurre si alguién le cuenta un chisme a los habitantes de la casa 0? ¿Cuantas casas de nuestra vecindad van a conocer el cuento?, por otro lado ¿qué pasa si el primero en oír el chisme son los habitantes de la casa 13?, ¿quienes se enteran en ese caso?. Es claro que si los dueños de la casa 0 oyen un chisme, al finalizar el mismo y siguiendo las reglas de este extraño condominio, deben ir rapidamente a la casa 1 y contarles lo que pasa, los de la casa 1, a su vez, iran a la casa 2, y así sucesivamente, no importa que hayan infinitas casas, eventualmente cualquier persona que viva en una de ellas se enterará de la historia. El segundo caso (el primero en oír el cuento vive en la casa 13) ocurre muchas veces en las aplicaciones de la inducción, en este caso los que se enteran del chisme son los de las casas 13, 14, 15,$\cdots \mathrm{.}$ , en las demostraciones matemáticas por inducción muchas veces no se puede empezar rutinariamente desde $n=0$ y la proposición estudiada es valida a partir de un cierto $N_0\mathrm{.}$ La inducción matemática es adecuada para muchas demostraciones de afirmaciones sobre un conjunto numerable pero ¿qué pasa con lo no numerable?, ¿se pede probar en estos conjuntos ciertas proposiciones mediante algo análogo a la inducción?. Es un hecho extraordinario mostrado por Cantor que los reales son un conjunto no numerable, ¿acaso podemos demostrar afirmaciones para conjuntos no numerables siguiendo un proceso inductivo?. Es claro que en inducción matemática la noción clave es la noción de orden, de hecho ya señalamos que el principio de inducción en los naturales es equivalente a que cualquier subconjunto de números naturales tenga un menor elemento. Recordamos que una relación $<$ de orden en el conjunto $A$ es una relación binaria definida en $A$ que es transitiva y antisimétrica, esto es

$$a<b,\,b<c\implies a<c, \textbf{transitiva}$$

$$a<b\implies b\nless a,\, \textbf{antisimetría}$$

Un buen orden es un orden en el que todo subconjunto tiene un menor elemento. Por ejemplo, $N$ es un conjunto bien ordenado pero $R$ con el orden usual no lo es. Una pregunta natural es, ¿se puede definir sobre cualquier conjunto un buen orden? La respuesta es sí, como mostro tiempo atrás Zermelo. Esto permite, de manera análoga a la inducción sobre los naturales, hacer inducción en conjuntos con cardinalidades mayores desarollando la teoría de ordinales y lo que se llama la inducción transfinita. Todo es consecuencia de un principio o axioma de aparente sencillez: dada cualquier familia de conjuntos se puede formar un nuevo conjunto que contiene un elemento de cada uno de los conjuntos pertenecientes a la familia considerada. Es lo que se llama el axioma de elección cuyas consecuencias son muy importantes, por ejemplo se usa para demostrar que existe una base en cualquier espacio vectorial. De hecho, la mayor parte del tiempo no usamos inducción transfinita para demostrar estas cosas sino usamos el Lema de Zorn, una versión muy práctica del axioma de elección que evita tener que digerir el uso de ordinales y procesos transfinitos. Creo que es mucho mejor así, esa sucesión de ordinales cada vez más grandes es una imagen tenebrosa.

Libros de matemática que llevaría a una isla desierta

Mi pequeño apartamento parece un mar de libros que rodean la isla donde habito. Así que rara vez me planteo la pregunta que libros me llevaría a una isla desierta, sin embargo como se de la necesidad de los jóvenes por orientación sobre cuales libros se deben leer, voy a tratar de establecer una respuesta a esa inquietante pregunta, si por accidente me quedo varado en una isla caribeña y sólo llevaba en mi equipaje 10 libros, ¿cuales escogería?. ¿Cuál es la bibliografía fundamental para un estudiante de matemática?. ¿Qué libros no deben faltar en nuestra biblioteca?. El asunto es de difícil solución ya que depende de los gustos e inclinaciones de cada lector, incluso depende en que área de la matemática este especializado y cuando estudio. Pero bueno tratemos de orientar a los jóvenes estudiantes, voy a hacer el esfuerzo y empecemos con el Cálculo Diferencial. Aquí la elección es un extraordinario libro para el cálculo de una variable libro:  Calculus de M. Spivak.  Se consigue en español publicado por Reverte, fue escrito con gran cariño lo que se refleja en sus páginas. Extraordinarios problemas, los de dos * son un reto.  Yo tengo la edición en dos tomos aunque existe una en un solo volumen. A los estudiantes les recomiendo buscarlo en físico, es un verdadero clásico

El álgebra abstracta tiene en el libro de Herstein una gran elección pero que es disputada por los excelentes textos de Fraleigh o Birkoff-McLane. Los franceses también tienen sus libros como el Godement o el Quensaynne, estos libros son muy formales y no los recomendaría para su estancia en la isla. Así, me quedo con el Herstein que considero un libro muy entretenido y riguroso. Prefiero la versión en inglés que la en castellano pero esa es la que tengo y que me puedo llevar.  Además, como bono sus problemas son muy buenos. 

¿Son todos mis libros escritos por matemáticos extranjeros? Pues no, una notable excepción es el libro del profesor Iribarren sobre Topología de Espacios Métricos. Es mi opinión que es el mejor libro de texto escrito por un matemático venezolano. Con este libro el estudiante puede hacer la transición del Spivak al campo del análisis matemático, de hecho al final del libro nos lanza a una introducción al estudio de los espacios de Banach. Muy pero muy bien escrito por un autor con una brillante carrera académica, en mi entrada sobre los profesores eméritos de las universidades venezolanas hablo del profesor Iribarren y su trabajo por la academia venezolana. 

El libro presenta la estructura matemática más importante para el análisis moderno: el espacio métrico. Fue Frechet quien , en 1906, axiomatizó esta estructura que aparece detrás de los espacios de Banach, de Hilbert , espacios de distribuciones, etc. El libro del Profesor Iribarren presenta los resultados fundamentales de la misma en un estilo claro. Pareciera que no sobra ni falta nada cuando leemos la exposición económica de definiciones, teoremas y demostraciones. Los problemas están magistralmente escogidos, extienden en algunos casos al texto pero siempre son atractivos invitando al lector a su realización. Por suerte para el joven estudiante el libro se encuentra en la web en pdf, si busca lo va a encontrar y le garantizo que el autor no tiene problema en que usted logre una copia de esa forma.

A veces los libros que mas nos gustan son sobre un tema básico y viejo como es la geometría, de Los Elementos de Euclides para acá hay mucho que escoger pero yo tengo predilección por un librito de la gran editorial Mir, Moscu: el de Pogorelov.

Aleksei Vasilevich Pogorelov

Excelente tratado, muy claro,  con notas históricas, buenos problemas y ejercicios que miden la compresión del texto. De nuevo, el libro está en la web y se puede bajar en pdf, yo prefiero la copia física del texto ya que pienso que los libros son esos amigos que están siempre presentes en silencio hasta que le solicitamos que hablen, el que guardo en mi biblioteca es una edición vieja de carátula dura que aquí les muestro 

Recuerdo que Spivak en su Calculus decía que hay pocos textos de Ecuaciones Diferenciales que merecen la pena de ser leídos. Similar opinión tiene Gian-Carlo Rota que escribio un libro sobre el tema con Garret Birkoff, en mi opinión excelente pero que el autor destroza en http://www.ega-math.narod.ru/Tasks/GCRota.htm. Spivak recomendada un libro de Hurewicz muy bueno pero yo prefiero el de Hirsh-Smale, tremendo libro. No solo tiene ecuaciones diferenciales, trata los sistemas dinámicos de tanta importancia actualmente y hace un estudio del álgebra lineal en función de su aplicación a las ecuaciones diferenciales. ¿Aplicaciones? Trae aplicaciones a la física como una discusión de la mecánica clásica muy breve pero muy buena y también aplica los resultados a la ecología, un tema de gran actualidad. 

Los problemas son la base y el alimento de la matemática, no hay necesidad de teorías matemáticas sin problemas para aplicarlas. Por ello,un libro que me parece muy importante para los jóvenes que no puede ser considerado como libro de texto es Como plantear y resolver problemas de Polya (How to solve it en inglés).  Allí se encuentra el método de Polya para resolver problemas matemáticos:

1. Comprenda el problema: ¿se puede verificar que los datos determinan la solución? Haga un dibujo, introduzca una notación adecuada...
2. Haga un plan para la solución, verifique la conexión entre sus pasos,...
3. Ejecute el plan para obtener la solución
4. Haga una visión retrospectiva, busque generalizar el problema, ¿lo puede resolver de manera inmediata?...

El libro me lo recomendó un compañero de estudios cuando empezaba la universidad, yo se lo agradezco infinitamente, diversos problemas son presentados para ver el método en acción, debo decir que adquirir maestría en el método de Polya requiere esfuerzo y muchos problemas para resolver! Sin duda, una pequeña joya es este libro.

Más sobre el libro aquí https://revistasuma.es/IMG/pdf/22/103-107.pdf. 

Otro libro extraordinario es el libro de Mishio Kuga, Galois Dream, Group theory and Differential Equations. El libro considera la posibilidad de tomar estudiantes primer año y lanzarlos de cabeza a la investigación matemática. Un libro altamente no lineal, elementos de variable compleja, topología algebraica, teoría de grupos y ecuaciones diferenciales se entrelazan para resolver una pregunta: ¿es soluble una cierta ecuación diferencial por cuadraturas?. Es una pregunta análoga a la que se planteó el joven Galois para las ecuaciones polinómicas, ¿cuando la ecuación es soluble por medio de expresiones radicales? El libro nos lleva a modo de lecciones semanales a resolver este problema para cierto tipo de ecuaciones. Dibujos animados acompañan el texto, chistes y ningún prerrequisito para el lector, ¿puede pedir usted más?. Recuerdo que Halmos decía que nada era más descorazonador que tener que ir a los requisitos de los prerrequisitos...En librerías venezolanas no lo va a encontrar, busque en la web pero pronto lo podrá leer en español gracias a una traducción hecha por un grupo de profesores UNA. 

Un tema importante en la formación del estudiante de matemáticas o de educación matemáticas es el de la Probabilidad, en mi opinión es un tema muy difícil y donde los libros tienden a ser decepcionantes. Una hermosa excepción es el libro de Kai Lai Chung para estudiantes de pregrado Elementary Probability with Stochastic Process. 

Un tratamiento equilibrado que no es formalmente pesado pero tampoco tiene la flaqueza en los fundamentos de otros libros del tema. El libro transpira el verdadero espíritu de la probabilidades y los problemas son muy bonitos. Trata  bellamente el tema de las paradojas que se producen en los cálculos de las probabilidades cuando no determinamos cuidadosamente el espacio muestral y al final trata el tema importante de los procesos estocásticos. Un libro muy bien escrito, fruto de un largo tiempo de trabajo con la investigación y enseñanza del tema. 

¿Puede faltar la historia de la matemática en mis libros para mi isla solitaria? No. Aquí no voy a escoger un libro típico de recuento global de lo que ha pasado en 4 mil años de desarrollos matemáticos y personajes fascinantes. Voy a recomendar un libro que mezcla la historia, la filosofía y los desarrollos matemáticos. Se trata del libro de Jesús Mosterín Los Lógicos. En este libro encontramos las biografías de Russell, Gödel, Cantor,... pero enmarcadas en el contexto de las matemáticas de su tiempo y en los problemas de los fundamentos de las matemáticas que enfrentaron. Pero esto no es todo, hay en cada lógico una exposición rigurosa de los temas más importantes que trataron en el ámbito de la lógica y los fundamentos matemáticos, eso me parece muy importante: nos encontramos las historias, anécdotas y vida de estos extraordinarios hombres pero también con el hecho matemático por lo que son recordados. Un libro muy bueno que sin duda requirió una amplia investigación del autor.

 Seguro que está aterrado, la lista termina y ¡quedan tantos buenos libros afuera! Tratemos de encontrar uan solución al problema, llevemos una enciclopedia de las matemáticas. Cualquier enciclopedia es un libro que aspira ser todos los libros, es una versión útil del libro de arena de Jorge Luís Borges, en matemáticas las hay muy buenas como la del MIT pero está comprende varios volúmenes y no puede ser llevada a nuestra isla a menos que debamos desechar el resto de nuestra selección. Así que me voy a inclinar por ser muy reciente y de un tomo único con The Princeton Companion to Mathematics editada por el medallista Fields, Timothy  Grovers. 

Excelente visión panorámica de la matemática contemporánea dividida de manera muy original en historia, temas, teoremas, teorías, biografías, impacto de la matemática y futuros desarrollos. Es un libro muy bueno y un consuelo al pensar en todo lo que dejamos en la biblioteca de la casa.

Escrito en Venezuela Olimpiadas Matemáticas: El Arte de Resolver Problemas

Paul Halmos, en un bellísimo artículo titulado The Heart of Mathematics, se pregunta ¿en que consiste la matemática?, ¿en Axiomas? (como el postulado de las paralelas), ¿en teoremas? (como el Teorema Fundamental del Cálculo), ¿en definiciones? (como el concepto de límite), ¿en demostraciones? (como la del Teorema de Gödel de Incompletitud?. Halmos dice que la matemática no puede existir sin estos ingredientes pero lo esencial son los problemas y su solución. Piense, por ejemplo, en el problema de encontrar una fórmula para resolver, mediante radicales y operaciones algebraicas, la ecuación de quinto grado. Eso llevó a Galois a tener que realizar definiciones, teoremas, demostraciones...El álgebra moderna nace allí, el problema la genera. Es claro entonces que si debemos inculcar en nuestros alumnos hábitos, estrategias de aprendizaje y actitudes en un tema tan importante como la matemática los problemas debiesen ocupar un lugar central en nuestras clases. Y ¿acaso no lo hacen?. ¿No enviamos tareas, evaluamos con exámenes y quizes, mandamos secciones enteras de los libros con problemas? Ejercicios amigo lector, con ellos es que usualmente trabajamos y en eso se centra el trabajo con los alumnos, problemas no. Un problema es interesante, te atrapa y no te deja hasta que lo resuelves. Los problemas son bonitos y nos enseñan, nos retan. Los ejercicios son lo básico, la comprobación rutinaria que entendimos las reglas, son importantes y sin saber como hacerlos dificilmente podemos exigir más. Los ejercicios son como caminar y los problemas son como una carrera, que puede ser de 100 m o una marathon de 42 Km. 

Por esto, consideramos que el libro reseñado es un aporte muy valioso a la educación matemática en Venezuela. Tanto el profesor como los estudiantes de bachillerato encontraran diversión y técnicas en los problemas que se proponen. El profesor Nieto empieza su libro donde se debe comenzar, si se trata de resolver problemas ¿cómo lo hacemos de manera sistemática?. Eso es un enfoque importante, la inspiración y las ideas brillantes sin duda son necesarias pero muchas veces son fruto de un esfuerzo dirigido. El Prof. Nieto discute las ideas de Polya y las amplía de manera importante con las reflexiones de Schoenfeld. Siempre pense como dice Nieto que muchas veces es difícil para el joven que no tiene hábitos de pensamiento sistemáticos digerir a Polya. Luego, el profesor puede usar las ideas de Schoenfeld de manera provechosa para allanar el camino de sus estudiantes. Después nos encontramos con ejemplos! Excelente, las ideas heurísticas se ilustran con una serie de problemas sencillos, se trata que los estudiantes y el profesor reflexionen de una manera ordenada cuando se enfrentan con un problema. Kotov, en su libro de ajedrez Piense como un Gran Maestro, señala que incluso los mejores jugadores hacen una busqueda desordenada de la mejor jugada y que a veces después de reflexionar por media hora juegan, sin pensar, ¡la última jugada que se les ocurrio! Sin duda encontrar la mejor jugada o estrategia en el ajedrez es resolver un problema. 

Lo que sigue, en el libro del Prof. Nieto, es un montón de diversión en forma de problemas y muy importantes conocimientos matemáticos para resolverlos. Debo señalar que los principios y teoremas que se exponen son pocos pero fundamentales, vemos allí el principio de inducción o el del palomar o el Teorema Fundamental de la Aritmética por ejemplo. Es el uso adecuado de estos conocimientos lo que brinda armas formidables al alumno para resolver problemas. Las áreas de la matemática en la que se trabaja tienen sabor olímpico: aritmética, combinatoria, desigualdades, álgebra y geometría. El libro apoya de manera excelente a cualquier joven o profesor que quiera enfrentar las pruebas de selección para las olimpiadas matemáticas, el autor es un reconocido coach en estas actividades y ha hecho un gran trabajo en Venezuela en esta área. Pero, cualquier profesor se puede beneficiar de la lectura del libro para incluir diariamente en su trabajo de aula problemas. Igualmente, cualquier joven de bachillerato que le guste el reto académico encontrará en el libro la posibilidad de pensar y buscar caminos que lleven a la solución de mas de 150 problemas. Creo que cualquier profesor de bachillerato debiese tener una copia del libro en su biblioteca. Una última palabra, me he centrado en hablar de profesores y estudiantes de bachillerato  pero cualquier matemático encontrará problemas divertidos y duros en el libro,  lo se por experiencia propia. 

 El Profesor José Heber Nieto nació en 1949 en Uruguay y se graduó en la Universidad de Buenos Aires en Ciencias Matemáticas. Fundador de los estudios de Matemática y Computación en la universidad del Zulia, de la cual es Doctor Honoris Causa. Ha realizado un fructifero trabajo con los jovenes venezolanos y su preparación para la Olimpiada Matemática tanto internacional como las regionales y nacionales.

Pitágoras y Einstein

Para Pitágoras la matemática era lo que se podía conocer y está en el mundo que nos rodea, lo que lo hace también, posible sujeto de estudio. La música de las esferas se refería a que la música era matemática, así como la traslación de los objetos celestes. Todo era número, pero ¿qué clase de números?. Por supuesto estaban los naturales $$1, 2, 3, \cdots $$ y estaban las relaciones de proporción entre esos números, lo que ahora entendemos como el conjunto de los racionales, los números de la forma  $$ {\frac{p}{q}}$$ con p,q naturales y q no 0. Por supuesto, la notación que usamos es moderna y el lenguaje de los griegos era geométrico. En la música cuando usamos un instrumento de cuerda, los sonidos armónicos son ciertas proporciones entre la longitud de la cuerda y el corte que hacemos al pisar un traste. También ciertas combinaciones de lo anterior producen sonidos agradables al oído. La armonía es matemática. Sin embargo, un hecho muy sencillo derivado del Teorema de Pitágoras hizo reflexionar a los griegos sobre la necesidad de ampliar el concepto de proporcionalidad, lo cual fue hecho por  Eudoxo .

¿Qué fue lo que rompió la armonía pitágorica?. El descubrimiento que la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no guardaba una proporción racional con el cateto, esto equivale a decir que la ecuación $$ {\sqrt{2}=\frac{p}{q}}$$ con p,q naturales es imposible. Hay muchas demostraciones de esta imposibilidad, al parecer la primera se le atribuye a Hipaso. La que vamos a dar es Tom M. Apostol, excelente matemático estadounidense cuyos libros de Cálculo son muy conocidos entre los estudiantes. La escogemos por su espíritu griego, la pudo dar Euclides pero es del año 2000.

Supongamos lo contrario, es decir podemos encontrar p,q tales que $$p²=2q²$$ entonces existe una pareja p,q que es la más pequeña y que verifica la relación.  Veamos el dibujo siguiente

donde la longitud del segmento AB es igual a la del BC y es q, la longitud del segmento AC es p. Es claro, si trazamos un segmento que una A con E, que las longitudes de los segmentos DE y EB son iguales. Pero la longitud de CD es igual a la de DE y es p-q que es entero, luego el triángulo CDE tiene catetos e hipotenusa con longitudes formadas por enteros. Dejamos al lector que verifique que estas longitudes son menores que p,q. Un absurdo ya que habíamos supuesto que nuestra escogencia de p,q era la menor posible. 

Luego, el teorema de Pitágoras obligó a los matemáticos a ampliar sus ideas numéricas, ampliación que desembocó en el concepto de número real. 

¿Qué tiene que ver Einstein con esta historia?

Ortega y Gasset le dijo una vez a Einstein durante una conferencia que  su teoría era una geometrización de la Física, que al final todo era matemática, por la cara que puso Einstein no le gustó el comentario del filosofo español. Podemos pensar que la mecánica cuántica con sus espectros discretos y energía en paquetes es una vuelta al número entero, a la proporción, es desde el punto de vista físico una revuelta contra muchas ideas pero también es, del punto de vista matemático, un ataque a las ideas de continuidad que surgen del cálculo de Newton y Leibniz. Un experimento mental muy sencillo revela la importancia del Teorema de Pitágoras en la teoría de la relatividad especial de Einstein. Imagine que usted va en un tren a una velocidad v y dispara un rayo de luz al techo del tren. El tiempo que le toma al rayo llegar al techo es $$ t=\frac{d}{c}$$ Donde c es la velocidad de la luz y d la distancia de su linterna al techo del tren. Ahora, para un observador situado en el andén del tren que observa su experimento, la situación es ligeramente diferente. El verá su rayo de luz, no perpendicularmente sobre el techo sino inclinado como indica el dibujo siguiente

 

En el dibujo, t' es el tiempo que mide el observador que está en reposo en el andén para que el rayo se tope con el techo. Es claro que $$t'>t$$

Es decir, el tiempo que mide un observador dentro del tren para que el rayo llegue al techo es menor que el tiempo que mide un observador que está en reposo respecto al andén . De hecho, el Teorema de Pitágoras da la relación exacta, invitamos al lector a encontrarla usando nuestro dibujo,  $$t'=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v²}{c²}}}$$

Esta situación se debe a una ley de la naturaleza que no deja de sorprendernos: la velocidad de la luz es un invariante en los sistemas inerciales. Es decir, que si me acerco a una fuente de luz a una cierta velocidad v y mido la velocidad de la luz esta es c, pero si ahora me alejo a la misma velocidad v de nuevo voy a medir c. El cuidadoso experimento de Michelson y Morley demostró este comportamiento de la luz, pero el mismo ya estaba en las ecuaciones del genio escoces Maxwell. Pitágoras y Einstein, son cercanos, los une el deseo del hombre por comprender. 

Hablemos de lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande

Abraham Robinson(1918-1974)

Al principio fueron los infinitesimales y luego el cálculo, de hecho Cavalieri usó los infinitesimales, antes que Leibniz y Newton, anticipando el cálculo integral. Cavalieri pensaba que un área estaba compuesta por elementos infinitesimales de longitud, de forma que si teníamos dos áreas y una familia de rectas paralelas que interceptaban las dos áreas en segmentos de igual longitud, entonces las dos áreas eran iguales. Similar principio regía para los volúmenes y puede ser explicado con las dos siguientes pilas de monedas de igual volúmen

Observe que una familia de planos paralelos a la mesa donde están las pilas de monedas cortan cada pila en un círculo de igual área, en este caso el área de la moneda. Luego, Cavalieri afirma que ambas pilas tienen igual volumen que es la suma de los elementos infinitesimales de volumen.  También, en el trabajo de Fermat, anterior al de Newton y Leibniz, aparece un proceso que él denomina "adigualar" y que sirve para determinar los máximos y mínimos de una función, en ese proceso Fermat suma a la variable una cantidad e que se comporta como una cantidad infinitesimal. Newton reconoció la influencia del trabajo del genio gascón en su descubrimiento del cálculo. 

 Hemos hablado informalmente de los infinitesimales, veamos que los caracteriza. Un infinitesimal   dx  es un número mayor que 0 pero menor que cualquier número real positivo. Es claro que los infinitesimales no son números ordinarios y que existen fuera de los reales. 

Por supuesto, en esta corta historia no pueden dejar de parecer Newton y Leibniz, creadores del cálculo diferencial e integral. Quizás Newton tuvo más reservas en el uso de los infinitesimales debido a que un infinitesimal dx no verifica la propiedad arquimediana, es decir si sumamos $$dx+dx+\cdots+dx$$ siempre obtenemos un infinitesimal y eso no le gustó a Newton.  A lo mejor a Newton no le gustó la crítica del Arzobispo Berkeley, una crítica recogida en el librito "El Analista" que incluía en su título "dirigido a un infiel matemático"

La crítica de Berkeley se basa en la manera como usaban los infinitesimales dx los analistas. Veamos un ejemplo, si queremos calcular la derivada o fluxión( término de Newton) de $$f(x)=x²$$ entonces formamos el cociente 

$$\frac{(x+dx)²-x²}{dx}$$

donde dividimos por el infinitesimal dx ya que este es pequeñísimo pero no es 0. Si hacemos el álgebra obtenemos $$2x+dx$$

Y ahora, concluimos que la derivada es $$2x$$ ya que despreciamos la cantidad dx respecto a 2x, es decir en el proceso el infinitesimal no es 0 cuando me interesa y es 0 al finalizar el cómputo. Berkeley llamó a los infinitesimales "fantasmas de cantidades desaparecidas", una frase ingeniosa e irónica que seguro a una persona como Newton, muy susceptible a la crítica, no le debió caer bien. Leibniz no tuvo tantos reparos a la hora de trabajar con los infinitesimales, de hecho su notación de la derivada $$\frac{dy}{dx}$$nos recuerda que la derivada es, de acuerdo a Leibniz, el cociente de dos cantidades infinitesimales y que dicho cociente, en el caso que exista, nos da un número real. Leibniz veía los infinitesimales como $$dx=\frac{1}{N}$$donde N es un entero infinitamente grande. Por supuesto, nada hemos avanzado hasta que aclaremos que son estos enteros gigantescos, cosa de la cual Leibniz estaba al tanto. Newton y Leibniz sabían que los infinitamente pequeños y los infinitamente grandes carecían de una base sólida. Pero ni ellos ni los analistas que le siguieron como los Bernoulli, Euler, L' Hospital entre otros se iban a detener en su uso ya que el cálculo estaba resolviendo los problemas de la física en un mundo que avanzaba hacia la revolución industrial. 

Cauchy es una figura intermedia en la historia de los infinitesimales ya que Cauchy los usa pero también introduce la definición moderna de límite que manda los infinitesimales a un momentáneo retiro, aunque muchos ingenieros y físicos siguieron usándolos. Como sabemos es el trabajo de Cauchy, Bolzano y Weierstrass introducir la dupla $$\epsilon - \delta$$

Una dupla que causa dolores de cabeza a nuestros estudiantes y que empieza el proceso que llamamos "aritmetización del análisis", un proceso de tremendo rigor lógico que concluye con la construcción de los números reales (Dedekind, Cantor, Weierstrass, Hilbert) y que define de manera rigurosa las ideas de integral (Riemann), derivada (Cauchy), función analítica (Weierstrass) y por supuesto las ideas de límite y continuidad (Bolzano, Cauchy). En este proceso, los héroes de la revolución que originó el cálculo, los infinitesimales, fueron apartados como sospechosos. Resurgieron en 1960 y en los años posteriores mediante el trabajo de una gran cantidad de matemáticos pero fundamentalmente por medio de las ideas del lógico Abraham Robinson. ¿Cuál es la idea? Queremos construir un conjunto, que llamaremos los números hiperreales, denotado por  

 $$^{\ast }\mathbb{R}$$

tal que $$\mathbb{R}\subset ^{\ast }\mathbb{R}$$ y tal que sea un cuerpo totalmente ordenado y que contenga los infinitesimales y elementos infinitamente grandes. La noción clave para hacer la construcción es la de ultrafiltro. Un ultrafiltro U en los números naturales es un conjunto de partes de los números naturales que, dados A,B subconjuntos de las naturales, verifica: $$\emptyset \notin U$$ $$A,B\in U \iff A\cap B\in U$$ $$A\cup B\in U\iff A\, \text{o}\, B\in U$$ $$A\in U \iff A^c \notin U$$

Nos van a interesar los ultrafiltros que contienen a todos los conjuntos cuyo complemento es finito. Estos ultrafiltros los denominaremos de Frechet. 

 Por ejemplo, si el conjunto de todos los números pares no está en el ultrafiltro U entonces el conjunto de todos los números impares debe estar. También debe ser claro que los elementos del ultrafiltro deben ser conjuntos infinitos. Los ultrafiltros sirven para la construcción de la siguiente manera: consideremos el conjunto S de todas las sucesiones de números reales, identificamos dos sucesiones  $$(a_n)\equiv (b_n) \iff a_n=b_n \, \text {para un conjunto de índices}\, I\in U $$

Las sucesiones que son constantes en un conjunto de índices J que esté en el ultrafiltro se identifican con los números reales y ahora viene lo bonito, las sucesiones que se identifican con una sucesión $$a_n>0,\,\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$$ van a ser ¡nuestros infinitesimales!. Por otro lado, las sucesiones que se identifican con una sucesión $$b_n,\, \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\infty$$ son consideradas como nuestros elementos infinitamente grandes. Tenemos entonces que $$^{\ast }\mathbb{R}=S/\equiv$$

Este conjunto de clases de equivalencia o conjunto cociente se le dota de una suma y multiplicación naturales, dadas por la suma y multiplicación de sucesiones, es fácil demostrar que las operaciones están bien definidas y no es difícil ver que es un cuerpo. El orden se puede definir de nuevo usando el ultrafiltro y resulta ser un orden total. De hecho, en esas demostraciones se ve la importancia de trabajar con un ultrafiltro. Así hemos construido el conjunto deseado con las operaciones requeridas para que sea un cuerpo y un orden total. El conjunto no es arquimediano y tampoco es completo, pero si tiene un orden total. Los números hiperreales contienen a los reales usuales y a los infinitesimales, su estudio constituye el análisis no estándar. Por ejemplo, una función es continua en a si y solo si $$f(a+dx)-f(a) \, \text{es un infinitesimal para cualquier infinitesimal}\, dx$$

Una pregunta importante es ¿existen los ultrafiltros?. ¿Existen los ultrafiltros de Frechet?. Es claro que, si fijamos un natural p, el siguiente conjunto U es un ultrafiltro  $$A\in U \iff p\in A\subset \mathbb{N}$$

Estos ultrafiltros son los llamados ultrafiltros triviales. Los ultrafiltros de Frechet se construyen mediante el axioma de elección, al parecer no hay otra posibilidad, ¿no le gusta el axioma de elección?. Entonces diga parafraseando a Berkeley, el análisis no estandar es el fantasma del análisis usual. 

De Euclides a Furstenberg: ¿cuantos primos hay?

Los números primos son aquellos números enteros que sólo admiten divisores triviales: p es primo si y sólo si sus únicos divisores son 1,-1,p y -p. Por ejemplo, 3 es primo lo mismo que 5, 7, 11 y 13 pero 8 no es primo ya que 2 divide a 8. El teorema fundamental de la aritmética nos dice que los números primos son los bloques con los cuales construimos todos los números ya que si n es cualquier entero entonces n se descompone como producto de números primos. De hecho la descomposición es esencialmente única y sólo cambia en el orden de aparición de los primos considerados. Por ejemplo, 24=2x3x2x2=3x2x2x2 etc, pero la descomposición es única. Una pregunta, que respondió Euclides hace unos 2300 años, es si existen o no infinitos primos, la respuesta es sí. Veamos su idea, supongamos que exista un primo K que es el mayor primo que existe.  Es decir, la lista
$$2,3,5,\cdots ,P$$
agota todos los números primos. Euclides construye el siguiente entero
 $$N=2\times 3\times \cdots\times K+1,$$
es claro que N es mayor que P y que por ende N no es primo, luego debe ser divisible por algún primo de nuestra lista, pero al dividir K por cualquier primo de la lista el resto de la división es 1, una contradicción.
Eso es el trabajo de Euclides, veamos 2300 años después la idea de un matemático judío que como tantos otros salvo su vida por haber huído a tiempo su familia de las atrocidades de Hitler y sus nazis. Vamos a exponer la idea de Hillel Furstenberg para demostrar que hay infinitos primos. Su idea se basa en usar una rama de la matemática que no conocían los griegos contemporáneos a Euclides. En una nota breve, cuyo enlace lo encuentra al final de esta publicación, está la demostración detallada de Furstenberg, aquí sólo daré el esquema de su prueba.  Furstenberg considera la topología en los enteros que tiene como base las progresiones aritméticas S(a,b), que son las sucesiones an+b con a,b enteros y a > 0, es decir los abiertos consisten en el conjunto vacío o en uniones arbitrarias de progresiones aritméticas.  Por ejemplo el conjunto de los enteros es abierto ya que se puede escribir como S(1,0). Se puede demostrar que cualquier progresión aritmética es abierto( esto es trivial) y que es un conjunto cerrado.  También debe ser claro para el lector que cualquier conjunto abierto, no vacío, debe contener un conjunto infinito, en particular el conjunto
$$\mathbb Z-\left\{1,-1\right\}=\bigcup_{p\in P}S(p,0)$$
no puede ser cerrado, aquí P denota el conjunto de todos los primos.  Como unión finita de cerrados es cerrado, no pueden existir finitos primos.  Una belleza de demostración.

Hillel Furnstenberg(1935-)

Matemático estadounidense-israelí. Nacido en Alemania, su familia emigra a EEUU en 1939, año que inició la segunda guerra mundial. Su aŕea fundamental de trabajo es la teoría ergódica que ha usado para obtener importantes resultados en combinatoria, probabilidades y grupos de Lie.
Nota con la demostración detallada de Furstenberg: https://drive.google.com/open?id=0B1IM6Izr-FQWbm1QZXc2ZDRHSnc