Escrito en Venezuela: Álgebra, Estructuras Algebraicas

Una primera cosa que destaca del texto del Dr. Rivero es lo claro se su exposición, demostraciones muy bien argumentadas, definiciones con muchos ejemplos y los temas muy bien organizados. Si a eso le sumamos una bonita edición de las ecuaciones y fórmulas, con un buen espaciado, tenemos un texto que invita a su lectura.

El libro se adecua a las carreras de matemática y educación matemática y se puede pensar como un texto de un semestre o, a un paso menos exigente, para dos semestres de álgebra básica. El material es estandard, leyes de composición, grupos, anillos y cuerpos son explicados de manera muy clara y se da también una breve introducción al álgebra conmutativa, tema que debe ser profundizado en postgrado siguiendo, por ejemplo, el hermoso libro de Atiyah y MacDonald. Los problemas son adecuados para aplicar las técnicas fundamentales pero otros representan un reto al lector. El lector experto reconocerá algunos de esos problemas ya que aparecen en textos como el de Herstein pero para el que estudie por primera vez el tema esos problemas son una fuente de gran  entretenimiento. En el texto aparecen notas históricas muy interesantes, por ejemplo, me enteré de que Argand dio una demostración original y sencilla del Teorema Fundamental del Álgebra y la referencia es un artículo de C. Fefferman en la Monthly. Estoy leyendo sobre la prueba ahora, sin embargo me costo encontrar en la bibliografía del libro la referencia ya que las cosas allí no están en orden alfabético y hay varios errores de transcripción. Eso es una cosa que se debe mejorar del libro, también aparecen algunos errores de tipeo en el texto, todos ellos cosas menores pero que deben ser corregidas para una segunda edición.
El libro lo compre en una feria del libro de la UCAB pero lo he visto en las Librerias del Sur y con seguridad se puede encontrar en la ULA, su precio realmente económico. Pero lo que es mejor es que el autor nos deja a nuestra disposición casí todos sus libros en la excelente Web Saber-ULA http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/index2.html 
En resumen, el estudiante de matemáticas encuentra en el libro del Dr. Rivero una excelente primera aproximación al mundo del álgebra abstracta y no dudamos recomendar que obtenga una copia del mismo en físico o digital.
Tomado de la Web del Profesor:

 Mi Trabajo.
Licenciado en Matemáticas de la ULA Dpto. de Matemáticas Facultad de Ciencias 1976. Maestría en Matemáticas U.L.A . 1980.
Ph.D.  en Álgebra. Louisiana State University USA  en 1987. Profesor de la Facultad de Humanidades Escuela de Educación de la ULA desde 2002.
 He publicado algunos artículos sobre teoría de números, Álgebra, matemática educativa y también algunos libros de Texto sobre éstos temas. Tutor de cuatro tesis de Maestría.
Me gusta pintar al óleo y escribir sobre viajes, cuentos, poesías, valores y la vida de la ciudad. He trabajado  en el Ministerio de Educación,  Zona Educativa de Mérida.
Mi interés principal en los últimos veinte años ha sido el de  mejorar la enseñanza de la matemática en la educación básica, media y diversificada.

La presente foto fue tomada el 3-4-2010 en la casa de Mucurubá. Aquí estoy con mi nieto José Manuel de 20 meses y detrás está San Francisco de Asís protegiéndonos.

Intangibles en Análisis Real

Un intangible, segun mi diccionario de bolsillo,  es algo que no puede ser tocado pero debemos ampliar un poco esta definición para expresar la idea de nuestra entrada de hoy. ¿Podemos tocar algún objeto en matemáticas?, ¿no es la matemática la ciencia de lo intangible? Para nuestra entrada intangible tiene un significado distinto y se lo debemos a Eric Schecter en su Handbook of Analysis and its Foundations, lo aclararemos por medio de ejemplos. Voy con el primer ejemplo, lo lamento pero nuestra discusión es hoy técnica. Sabemos que el espacio $$X=L^{1}[0,1]$$ no es reflexivo. Eso significa que el dual de $$L^{\infty}[0,1]$$ contiene objetos que no pertenecen a X. ¿Qué son estos objetos?, ¿podemos dar un ejemplo? Resulta ser que son medidas finitamente aditivas, suena muy bien, ¿acaso conocemos alguna? La respuesta es no. Similar situación ocurre con los conjuntos de la recta real y su medida de Lebesgue. La medida es una noción similar a la de longitud, así la medida del intervalo [0,1] es 1, la medida de un punto es 0, etc. ¿Tendrán todos los conjuntos de la recta una medida pudiendo ser su valor infinito? La respuesta es no, hay conjuntos de la recta real que no tienen longitud. ¿Podemos dar un ejemplo de los mismos, es decir construir alguno específico? La respuesta es de nuevo no, aquí aclaramos que no consideramos el uso del axioma de elección como algo constructivo. Estos objetos, conjuntos sin medida y medidas finitamente aditivas son ejemplos de lo que llamamos intangibles. ¿Mas ejemplos de intangibles? En la construcción del universo de los números infinitesimales mediante el análisis no estandar se hace uso del concepto de ultrafiltro, los ultrafiltros se construyen de nuevo usando el lema de Zorn o su equivalente, el terrible axioma de elección, eso lleva de nuevo a la imposibilidad de mostrar el ultrafiltro, de hecho hay muchos ultrafiltros,  son como Dios: existe pero no lo podemos ver, es intangible. La situación presentada me recuerda un metaprincipio expuesto por Halmos en alguno de sus libros, creo que en su joya A Hilbert Space Problem Book, allí Halmos establece, si Ud. puede escribir una función entonces esa función es medible. La "demostración" es fácil , si la escribimos ya no es un intangible y por ende debe ser medible, por supuesto bromeamos con esta prueba pero hay algo de cierto en lo que decimos, lo que podemos construir, especificar completamente va a tener buenas propiedades, de alguna manera los intangibles si tienen alguna característica en común es que son objetos diabólicos y que desafían nuestro intuición. ¿Más ejemplos de intangibles?

• Dos normas en un espacio vectorial que sean completas pero no equivalentes (trate Ud. de construirlas)
• Un buen orden de los numeros reales (¿se anima?)

¿Qué hace el buen profesor ante esta situación? Siempre considero fundamental anexar ejemplos a cada concepto con el que me encuentro en clase. Pero en este caso, eso no es posible.  Nos queda un consuelo, el prof. Ramón Bruzual me contó esta frase del Prof. Iribarren, un curso de análisis matemático es un buen sitio para perder la virginidad matemática.