Demostrar o no, esa es la cuestión

Todos los matemáticos son hombres
Los matemáticos saben demostrar
Todos los hombres saben demostrar

El silogismo presentado es incorrecto pero universalmente aplicado en el salón de clases. Queremos que los estudiantes demuestren los resultados matemáticos, no importa si estudian administración, ingeniería o biología. Hemos sustituido el pienso luego existo por el demuestro o no entiendo. La verdad es que la noción de rigor matemático es un concepto cambiante y que historicamente tiene dos períodos de predominio. Uno es el período actual y que empieza en el siglo XIX. El otro corresponde a los griegos con su afán por la lógica y el razonamiento claro. Pero, ¿demostraron algún teorema de Cálculo Newton o Leibniz? Seguro que ellos pensaban que si, pero nosotros decimos que no. ¿Resolvieron algún problema Newton o Leibniz? La respuesta es un rotundo si: calcularon el movimiento de los planetas alrededor del sol, encontraron la curva de descenso en un tiempo mínimo, calcularon como encontrar áreas y volúmenes, entre otras cosas. ¿Necesita un niño los axiomas de Peano para contar? No, pero nosotros los usamos para demostrar que 2+2=4. Un absurdo que demuestra mi punto de vista: demostrar es parte de la matemática no un aspecto esencial.
Debemos lograr que nuestros estudiantes entiendan las ideas matemáticas, que puedan aplicarlas para resolver problemas, que puedan representarlas graficamente y traducirlas al lenguaje coloquial. Si logramos que nuestros estudiantes hagan esto sería una revolución en la enseñanza, habríamos demostrado que podemos enseñar.

Lo que no sabemos

Halmos dijo que los problemas son el corazón de las matemáticas. Sin embargo, para los estudiantes los problemas son una especie de inquisidores numéricos muy lejanos en espíritu a la idea de Halmos. El profesor enuncia un problema esperando una solución dentro de un tiempo limitado. Una manera de humanizar y hacer atractivos los problemas a nuestros estudiantes es presentarles problemas sencillos de enunciar y entender y que nadie ha resuelto. Vaya sorpresa se llevaran algunos al ver que su profesor de matemática no sabe algo. También percibirá el estudiante que la matemática avanza resolviendo estos problemas mediante teorías novedosas. Quizás por primera vez vean enunciar un problema sin la angustia de sentir que lo tienen que resolver, que deben saber resolverlo. Total nadie sabe cual es la respuesta. Voy a dar un par de ejemplos.

Tome un número natural cualquiera, si es par divídelo por 2, si es impar multipliquelo por 3 y súmele 1 . Aplíquele la misma receta al número obtenido, continué haciendo esto a menos que obtenga 1, en este caso pare. Por ejemplo, empezando con 5 obtenemos 16,8,4,2,1. Otro ejemplo, si tomo 9 obtenemos 28, 14, 7, 22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1. En los dos casos revisados hemos llegado 1. Los matemáticos creen que independiente del número que escojamos de semilla siempre regresamos a 1. Esto constituye la conjetura de Kakutani o Collatz y nadie sabe si es cierta o no. No he encontrado a nadie que se resista a este bonito problema.
Otro famoso problema más viejo es la conjetura de Goldbach. Un día Euler recibió una carta de su amigo el matemático Goldbach. En la carta Goldbach señalaba una propiedad notable de los números primos. El notó lo siguiente 4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7, ...Cualquier par que tomase se escribía como la suma de dos números primos. Le pidió a Euler que probara el resultado ya que el no había podido. Euler tampoco pudo y nadie ha podido. Hay una novela El tio Petros y la conjetura de Goldbach de Apostolos Doxiadis que les recomiendo.
Los mayores avances para resolver este problema son fruto del trabajo del matemático ruso I.M. Vinogradov quien demostro que cualquier número impar muy grande es la suma de tres primos. Luego, cualquier número par muy grande es la suma de seis números primos. Su método implicó nuevas técnicas analíticas en la teoría de numeros.
Recuperemos el aspecto lúdico de ls problemas en el salón de clases.
A veces es muy importante enseñar lo que no sabemos.

I.M. Vinogradov

El mejor ajedrecista que alguna vez fue matemático

Una vez le pregutaron al mago de Riga Mischa Tal sobre la afición de Bobby Fischer a leer comics de Tarzan, Tal dijo: Bobby sabe que Chita no juega ajedrez pero si aprende él la va a derrotar. Tal pudo haber sido comediante pero era historiador de profesión. Botvinnik era ingeniero, Spasski periodista, Fischer dejo el bachillerato sin concluir, Steinitz solo era ajedrecista, Morphy abogado y ¿donde están los ajedrecistas matemáticos? La pregunta es valida ya que he escuchado infinidad de veces, ah Ud. juega al ajedrez entonces debe ser bueno en matemática. La gente tiende a pensar que hay una correlación entre la matemática y el ajedrez. La verdad es que no hay mucha evidencia para sustentar esto. En Cambridge hay una competencia que se ha realizado por muchos años entre los ajedrecistas que estudian matemática y literatura. El encuentro va parejo. Tampoco encontramos a muchas personas que destaquen en ambas disciplinas. Pero hay una notable excepción.
Enmanuel Lasker fue campeón mundial de ajedrez desde 1894 hasta 1921. Sus rivales lo acusaban de tener poderes hipnóticos o de lanzar el humo de su cigarro en sus ojos ya que Lasker sobrevivía en posiciones inferiores. Reti descubrió que Lasker se salvaba ya que era un sicólogo y siempre llevaba a los rivales a un tipo de juego que estos detestaban. Solo Capablanca pudo derrotar a este genio del ajedrez y la lucha(escribio un libro llamado Kampf). Sus estudios en matemática los realizó en Gotinga bajo la tutela del gran Hilbert. Su tema fue el álgebra abstracta y sus resultados son importantes. Sin embargo, Lasker dejó las matemáticas y siguió con el ajedrez y el bridge. Einstein, amigo de Lasker, escribió el prólogo de su obra El sentido común en ajedrez. Pero Lasker no tenía sentido común en Física y siempre discutió con Einstein sobre la relatividad especial. Lasker pensaba que la luz viajaba a una velocidad infinita. A veces la terquedad puede ser axiomática.

10 libros de matemática que debemos leer

Borges decía que prefería releer a leer. Mis recomendaciones son conocidas y debemos volver a ellas cada vez que podamos. En primer lugar está Calculus de Michael Spivak y vaya primer lugar. Cada día aparecen nuevos libros de Cálculo mas gruesos y con más colorines pero no superan al de Spivak. Exposición clara, rigurosa, problemas que nos retan y al final unas recomendaciones bibliográficas muy buenas. Mi siguiente libro es Álgebra Moderna( Topics in Algebra en ingles) de Herstein. Uno puede pasar horas de disfrute tratando de resolver algún problema o leyendo la teoría sobriamente escrita. El tercero de mis preferidos es Topología de Espacios Métricos de Iribarren. El espacio métrico es una estructura vital para el análisis matemático que es develada de la mano de Iribarren. Los problemas tienen un balance entre la dificultad y lo atractivo. Iribarren recibe peticiones de distintas universidades del mundo para que su obra sea reeditada, no me sorprende. Ian Stewart se ha convertido en un conocido divulgador de la matemática, sin embargo para mi su mejor obra es su libro de texto Galois Theory. Ideal para el autodidacta con capítulos cortos, excelentes problemas que sirven para verificar si entendimos la cosa y una redacción elegante que explica los conceptos que dieron origen al álgebra moderna. Para continuar con la teoría de Galois de las ecuaciones diferenciales, he aquí un libro hermoso Galois' Dream de Michio Kuga. Kuga pretende enseñar matemáticas muy avanzadas a estudiantes de primer año, para ello usa comics, chistes, analogías y buenos ejemplos. Mucho del trabajo se deja al lector en forma de problemas, las demostraciones no hacen énfasis en lo formal. Un grupo de profesores de la UNA estamos trabajando en una traducción al español del libro. Las Grandes Corrientes del Pensamiento Matemático de Le Lionnais et al es un gran libro sobre la relación de la matemática con otras ciencias y los desarrollos matemáticos novedosos de la primera mitad del siglo XX. Para una visión más amplia de la historia de la matemática no puedo sino recomendar al libro de Rey Pastor y Babini Historia de las Matemáticas. Buenas notas matemáticas complementan el aspecto narrativo que es sumamente entretenido. Como los problemas son, según Halmos, el corazón de la matemática incluímos dos libros sobre problemas. Uno del propio Halmos que es muy bueno para entender los espacios de Hilbert: A Hilbert Space problem book . Mi copia me la regalo Concepción Ballester y por eso le tengo doble cariño. Problemas con pistas y soluciones, desde la definición del espacio de Hilbert hasta sus operadores, si le gusta el análisis encuentre este libro. Polya escribió mucho sobre la resolución de problemas y la enseñanza de la matemática, encuentre por favor una copia de Como plantear y resolver problemas. El decimo libro de mi selección es el que estamos leyendo ahora, el que plantea la posibilidad mágica de continuar aprendiendo.

Profesores eméritos de la Universidad Venezolana I

La escogencia es sesgada y no puede ser de otro modo. Dentro de mi limitación personal, cultural y social escojo un grupo de extraordinarios profesores con los cuales he tenido algún contacto, unas veces como alumno, otras como amigo y conocido. En todos ellos existen dos características: un profundo amor por la matemática y un esfuerzo notable por la exposición clara de sus conceptos. Es una primera entrega que pienso ampliar en una proxima oportunidad.

Mischa Cotlar(1912-2007) Mi primer contacto con este matemático fue a través de su excelente libro, escrito con Cora Ratto de Sadovsky, Introducción al Álgebra, mientras estudiaba primer año. Luego tome cursos de pregrado y postgrado con Mischa en la UCV, nunca olvidaré sus analogías, las notas de sus cursos donde empleaba muchos problemas para avanzar en la teoría, su amabilidad y sus extraordinarias clases.

Ignacio Iribarren(1939-) Si quieren leer un libro de matemáticas extraordinariamente escrito vean Topología de Espacios Métricos de Iribarren. Recientemente publicó un lindo libro sobre la integral de Henstock-Kurzweil y otro de álgebra lineal. Todavía recuerdo, por lo clara, su conferencia de análisis no estandar en la Academia de Ciencias. El Dr. Iribarren me comentó que ahora prepara un libro de Teoría de Galois, yo lo estoy esperando.

Edgar Ferreira(1935-) El profesor Ferreira enseño Cálculo por cerca de cuatro décadas a los futuros profesores de Física y Matemática en la UCAB. Todos sus estudiantes, ahora profesores, tienen la idea que el Cálculo es algo sencillo porque se los explicó Ferreira. Apenas conocí a Ferreira me parecio que lo conocía desde hacía mucho tiempo, tuve el honor que me invitará a participar como expositor en su seminario de problemas de la educación en Venezuela. Su gran corazón impulsó la carrera de Educación en Física y Matemática en la UCAB.

Sim Soon-Kiong(?,2007) Sim era un trabajador incansable, siempre escribiendo notas de sus clases. Jefe del MAF(Matemática aplicada y Física) en el IUTRC y posteriormente director del IUTRC , esto habla de su capacidad ya que era una persona que se mantenía al margen de la política. Nunca asistí a una clase de Sim que no estuviese cuidadosamente preparada. Poco antes de morir escribio materiales de Geometría y Álgebra Lineal para profesores de matemática. Tambien editó una buena revista llamada Dimensión de la Matemática que lamentablemente no perduró.

Darío Duran(1939,2016)
Educador matemático venezolano, autor de varios libros de texto para educación media y superior como Geometría Euclidiana Plana (EDILUZ, premio al mejor texto Universitario). Gran colaborador de la Olimpíada Matemática en Venezuela, encargándose por muchos años de la preparación del equipo venezolano en el área de Geometría. Su humor , conocimiento y entusiasmo en clase lo hacen un gran expositor. Lamentablemente nos dejo en Diciembre de 2016, despues de batallar contra una terrible enfermedad.