El error en matemática

John Von Neumann estaba hablando con Bronowski sobre unos cálculos complejos y le dijo, ese coeficiente del termino de segundo orden debe ser cero. Bronowski dudó que eso fuera cierto y pasó varias horas calculando hasta que confirmó lo que su brillante amigo le había dicho: el coeficiente era cero. No le importó que fuesen las 3 am. y llamó excitado a Juanito(Johnny) que dormía y le dijo: tenías razón el coeficiente es cero. Von Neumann bastante molesto por haber sido despertado de madrugada le soltó esta modesta frase: no me llames para decirme que tengo razón, llámame cuando este equivocado. Semejante historia no hace sino confirmar la creencia de la infalibilidad de los matemáticos y la matemática que estos construyen. Pero, ¿no hay margen de error en los hombres que se manejan por las normas de la lógica?. Si lo hay y da para mucho en el desarrollo de esta disciplina. Empecemos por ese brillante aficionado a las matemáticas que fue Pierre de Fermat. Fermat estudió la sucesión  2¹+1=3, 2²+1=5, 2⁴+1=17,.... Observe que los primeros términos son todos números primos. Fermat pensó que esto ocurría siempre. Unos cien años despues Euler demostró que era falso y que algunos números de la sucesión eran compuestos. Esto abrío nuevos problemas, ¿cuales números de la sucesión son primos?, ¿hay infinitos de ellos?. Otro caso, el sacerdote Giovanni Saccheri pensó que había demostrado el postulado de las paralelas aparentemente encontrado situaciones absurdas al negarlo. El geómetra Lambert señaló que quizás estas patologías ocurrían en una geometría imaginaria. Como vemos Saccheri se equivocaba, pero su texto motivó reflexiones que nos aproximaron a la verdadera solución del problema.
Cantor y Dedekind iniciaron la revolución del infinito actual en matemáticas, sin embargo la teoría de Cantor estaba llena de problemas y paradojas, alguna de ella señalada por Cantor, acaso ¿merecía ser abandonada? De ninguna manera, los trabajos de Zermelo, Fraenkel y Von Neumann la pusieron en suelo firme matemático y desde entonces forma el abc de la gramática matemática, "nadie podrá arrojarnos del paraiso que Cantor creó para nosotros" dijo Hilbert.
 Hilbert propusó en 1900 durante el Congreso de Matemáticas de Paris, una serie de problemas, conocidos ahora como los problemas de Hilbert. El matemático ruso Petrovski propuso varias ideas erróneas en relación al problema 16, ideas que contenían claves para importantes desarrollos posteriores.  Sin duda, al jugar la intuición y la inducción un papel importante en el desarrollo de la matemática no podemos evitar encontrar situaciones como las descritas arriba.
Aunque la lista de errores cometidos por excelentes matemáticos es muy larga, voy a cerrar con el caso de un matemático que se equivocaba mucho, tanto que todos dudaban de él. El francés Roger Apéry es muy conocido por dar demostraciones falsas de diversos resultados, así que cuando anunció que había demostrado que la suma de los recíprocos de los cubos era un número irracional, nadie le creyó. Era un problema importante y muy viejo. Lo invitaron a Rusia para que expusiera su resultado, lo cual hizo. Al final de su presentación los presentes se dieron cuenta que el resultado era correcto. Un matemático se paró y le dijo: Monsieur Apéry, Ud. es un excelente matemático y sonó un cerrado aplauso.
 Alguien señaló que la reputación de un matemático descansa en la cantidad de pruebas erroneas que ha hecho de resultados ciertos, una visión lejana del estereotipo del matemático infalible.

Los espacios invariantes

Uno de los problemas matemáticos abiertos más famosos acaba de ser resuelto: el problema del subespacio invariante. La noticia ha recorrido la web, ver por ejemplo http://www.rsme.es/content/view/1199/1/. El problema consiste en demostrar la siguiente proposición: Todo operador T continuo del espacio de Hilbert H en el propio espacio de Hilbert H tiene un subespacio invariante. Cosas invariantes tienen una importancia muy grande en matemáticas. La geometría de los griegos es caracterizada modernamente por ciertos invariantes.

Newton, Lagrange y Hamilton

Fermat enunció un principio de economía que gobierna la naturaleza: las cosas ocurren de manera que minimizamos una cierta función. El llamo a esta función la acción. Por ejemplo, y esto fue lo que motivo a Fermat a enunciar su ley, la luz en un medio óptico no uniforme viaja de un punto A al punto B de forma que el tiempo de viaje sea mínimo. Hoy llamamos ese principio de Fermat y podemos obtener la Ley de Snell del principio de Fermat facilmente. Bernoulli usó esta idea para resolver el problema de la braquistócrona o curva de descenso en un tiempo mínimo. Se trata de encontrar la curva que une dos puntos del espacio de tal manera que si dejamos caer una pelota vaya del punto más alto al mas bajo en tiempo mínimo. Su solución es brillante y puede ser encontrada en el libro de Polya "Matemáticas y razonamiento plausible" y en este enlace "The brachistochrone"    sin embargo otros matemáticos resolvieron el problema introduciendo una rama del análisis conocida como Cálculo de Variaciones que resolvía muchos problemas. Es decir, crearon una técnica. 

Entre los que crearon el Calculo de Variaciones debemos recordar a Euler y Lagrange, de hecho cuando Euler leyó el trabajo de Lagrange penso que lo que Lagrange había logrado era extraordinario. 

¿Es la naturaleza económica?

Maupertuis enunció un principio de economía que gobierna la naturaleza: las cosas ocurren de manera que minimizamos una cierta función. El llamó a esta función la acción. Por ejemplo, y esto fue lo primero que motivó a Maupertuis a enunciar su ley, Fermat descubrió que la luz en un medio óptico no uniforme viaja de un punto A al punto B de forma que el tiempo de viaje sea mínimo.¿Cómo sabe la luz cuál es el camino de tiempo mínimo? ¿Acaso explora todos los caminos antes de decidirse por uno? Fermat pensó sobre este problema y concluyó que era muy dificíl. El hecho que la luz viaje intentando llegar en el menor tiempo posible se llama Principio de Fermat. Bernoulli usó esta idea para resolver el problema de la braquistócrona o curva de descenso en un tiempo mínimo. Se trata de encontrar la curva que une dos puntos del espacio de tal manera que si dejamos caer una pelota vaya del punto más alto al mas bajo en tiempo mínimo. Su solución es brillante y puede ser encontrada en el libro de Polya "Matemáticas y razonamiento plausible" y en este enlace "The brachistochrone"   . Sin embargo otros matemáticos resolvieron el problema creando una rama del análisis conocida como Cálculo de Variaciones que resolvía muchos problemas. Es decir, crearon una técnica. La solución de Bernoulli es hermosa pero no tuvo muchos seguidores, se impuso el orden y no la magia. Entre los que crearon el Calculo de Variaciones debemos recordar a Euler y Lagrange, de hecho, cuando Euler leyó el trabajo de Lagrange, pensó  que lo que Lagrange había logrado era extraordinario.No habían ni dibujos ni geometría en su trabajo, su pensamiento era analítico, el mecanismo del universo parecía estar asociado con una ecuación. Euler dijo: no ocurre nada en la naturaleza sin que aparezcan máximos o mínimos. Estas ideas se mantienen en la Física moderna donde los principios de acción mínima estan presentes. Por ejemplo, en  

  

el deslave de Vargas(1999) los ríos que habían sido desviados y canalizados, al aumentar su cauce, buscaron las trayectorias que los llevaban al mar desde tiempos remotos: las trayectorias que minimizaban la acción. El deslave de Vargas es un ejemplo del mundo macroscópico pero en el mundo del átomo el

 

físico Richard Feynman descubrió el mismo tipo de ley. Así que cuando le digamos a alguién que es un flojo porqué sigue el principio de mínima acción, seamos condescendientes y pensemos que finalmente es algo natural.

¿Saben los matemáticos lo que hacen?

El matemático Vladimir Arnold escribio en un articulo publicado en Mathematics: Frontiers and Perspectives, AMS 2000, que la matemática consta de tres áreas. Ellas son:

1. Criptografía. De ella surgen la geometría algebraica, la teoría de números, de códigos, entre otras. Sirve, segun Arnold, para que la CIA y la KGB puedan mandar mensajes seguros
2. La hidrodinámica, de la cual surgen las PDE(ecuaciones en derivadas parciales) cuyo estudio demanda del análisis funcional, la variable compleja, etc. Sirve para construir portaaviones, aviones supersónicos
3. Los sistemas dinámicos que inducen el estudio del caos, las ecuaciones diferenciales ordinarias, etc. Sirven estas teorias para lanzar misiles que alcancen su blanco.

El panorama es bastante deprimente, la matemática aparece como la base de todos los artefactos de guerra y de las organizaciones que más vulneran las libertades de los individuos y la estabilidad de las sociedades. Estoy seguro que en los países del tercer mundo, donde los matemáticos estudiamos problemas "sugeridos" por los grupos localizados en los centros mundiales de investigación pocos están conscientes de esta situación. El problema que nos ocupa en nuestra investigación quizás sirva para desarrollar un nuevo laser con múltiples aplicaciones bélicas. Si Ud.  toma cualquier revista de investigación matemática leerá la coletilla : tal autor fue financiado por la Marina(Aviación, Ejercito) de los Estados Unidos. ¿Cuál es el propósito de tal ayuda? Sin duda, nada bueno. Uno, como  investigador, espera contribuir sólo al desarrollo del conocimiento matemático y que las aplicaciones sean positivas. De alguna manera, Hardy tenía razón al adoptar la posición de pensar que era mejor que sus matemáticas no tuviesen aplicación alguna(A mathematician's apology , al final hay un enlace y puede descargar el librito). Claro sabemos que eso es imposible, la naturaleza de la matemática está vinculada a la aplicación. Por eso, rescatamos la opinión de ese extraordinario profesor que fue Raimundo Chela que en su discurso inaugural de la Facultad de Ciencias de la UCV( disponible aquí http://www.ciens.ucv.ve/coordad/archivohist_creacfc.html) alertaba que la ciencia debía estar dirigida al hombre para engrandecerlo y que esa Facultad naciente debía orientar su trabajo a los problemas nacionales.  Al menos, desde esta perspectiva el contrato ético que se debe tener con la sociedad estaría a salvo y la labor desarrollada tendría impacto social. De otra forma, seríamos unos pendejos, eso si unos pendejos científicos.

Raimundo Chela

Escrito en Venezuela: Topología de Espacios Métricos

Uno tiene películas, comidas , ciudades y libros favoritos. El libro del Profesor Ignacio Iribarren Topología de Espacios Métricos (Limusa-Wiley, Mexico) es uno de mis libros favoritos. Por cierto, mi copia desapareció en las manos de algún estudiante de cuyo nombre quiero acordarme pero no puedo. Debo señalar que en la web he encontrado opiniones similares del libro y hasta copias digitalizadas del mismo se pueden descargar. Eso  habla de que a cuarenta años de su publicación es un texto fresco y vigente. En el reciente ajuste curricular de la carrera de matemática de la UNA fue escogido como libro de texto para el curso de Espacios Métricos.

 El libro presenta la estructura matemática más importante para el análisis moderno: el espacio métrico. Fue Frechet quien , en 1906, axiomatizó esta estructura que aparece detrás de los espacios de Banach, de Hilbert , espacios de distribuciones, etc. El libro del Profesor Iribarren presenta los resultados fundamentales de la misma en un estilo claro. Pareciera que no sobra ni falta nada cuando leemos la exposición económica de definiciones, teoremas y demostraciones. Los problemas están magistralmente escogidos, extienden en algunos casos al texto pero siempre son atractivos invitando al lector a su realización. Al final presenta, como natural continuación del tema, algunos resultados de los espacios normados y el teorema de contracción de Banach. No temo a equivocarme al indicar que es uno de los mejores textos de matemáticas avanzadas escritos en castellano. El profesor Iribarren me indicó que recibe peticiones de diversas universidades del mundo para que se haga una nueva edición. No me sorprende. El lector que no lo tenga busque una copia y disfrute su lectura.
Acerca del autor: El Dr. Iribarren realizó sus estudios de doctorado en Oxford. Fue fundador y jefe del departamento de matemáticas de la USB. Rector de la Universidad Metropolitana del año 1985 al 1994. Autor de varios libros, todos ellos muy buenos, de matemáticas superiores y de artículos en diversas revistas. Más información relevante en http://www.acfiman.org/site/academicos/individuos/108-ignacio-l-iribarren.html

Escrito en Venezuela: Elementos de variable compleja

     Nos proponemos escribir una crónica mensual de un libro de matemáticas escrito y editado en el país. La razón es divulgar con alguna reflexión los trabajos realizados en Venezuela. 

   Empezamos con el libro del Prof. Alain Etcheberry(USB): Elementos de variable compleja(2008 Editorial Equinoccio USB). Se trata de un libro que cubre los temas básicos de la variable compleja: Teorema de Cauchy, Series de Potencias, Residuos, entre otras cosas. El lenguaje usado es sencillo y relajado, con un compromiso entre lo formal y las aplicaciones, ya que el libro está orientado a estudiantes de Ingeniería. Sin embargo, puede ser usado para un curso de pregrado en una Facultad de Ciencias, dejando para el postgrado algún texto más avanzado(Conway, Rudin, etc.). El profesor Etcheberry explica los temas con claridad y concisión. Además, contiene una buena cantidad de ejemplos que clarifican conceptos y aplicaciones, lo mismo que una buena cantidad de ejercicios. Hay algún ejemplo que no es terminado y otro que se repite, sin duda errores de la edición. Un aspecto notable del libro es su brevedad que invita a su lectura. Eso lo hace ideal para un curso semestral o incluso trimestral. Por otro lado, el autor hace comentarios donde enuncia resultados importantes como el Teorema de Picard sin demostración ya que está excede el alcance del libro.

   La obra tiene un precio muy económico,cuando yo lo compre por apenas 40 Bs (debe haber aumentado)  Puede ser adquirido en la red de librerías que distribuye a la Editorial Equinoccio( ir a http://www.equinoccio.cultura.usb.ve/). El profesor y estudiante de matemáticas o educación matemáticas pueden adquirir este buen libro con la seguridad de ir por el texto adquiriendo una visión básica  del tema.

Nuestro autor: Profesor Alain Etcheberry, miembro del personal académico de la USB, especialista en Análisis Funcional. Ha sido coordinador del departamento de Matemática de la USB y realizó sus estudios de postgrado en la Universidad de California en Berkeley.