Riemann, Lebesgue, Henstock y Kurzweil

Para el estudiante de matemáticas los dos primeros nombres son muy conocidos y con seguridad ha estudiado la construcción de las integrales de Riemann  y Lebesgue en sus cursos de Cálculo y Teoría de la Medida. Dudo mucho que conozca los nombres de Henstock y Kurzweil. El asunto es que los estudiantes ganarían mucho conociendo a los matemáticos Henstock y Kurzweil y su integral de calibre como demostraremos.

Riemann señaló el camino moderno a la integración siguiendo ideas que venían desde Arquímides.Su idea es aproximar un área complicada mediante una suma de rectángulos. Estas sumas de rectángulos se conocen como sumas de Riemann. Arquímides usó en su cuadratura de la parábola triángulos. Mientras más rectángulos usemos mejor la aproximación. El lector interesado puede ir a http://mathworld.wolfram.com/RiemannSum.html para generar sumas de Riemann de la función que quiera, en el intervalo que desee y con la cantidad de rectángulos que se le antoje.

Aquí puede ver la gráfica de $f(x)=x^3$ entre 0 y 2 y 29 rectángulos. 

Sin embargo, la integral de Riemann tiene algunos inconvenientes. Funciones como la función $D$ de Dirichlet no tienen integral de Riemann, esta función $D(x)$ se define como 1 si $x$ es irracional y 0 si $x$ es racional. Argumentos provenientes de la física sugieren que la integral debe ser 1 en cualquier intervalo unitario. Pero el método de Riemann falla, ya que su integral requiere que la función sea continua "casi siempre". La función de Dirichlet es discontinua siempre. Este problema y otros motivaron a Lebesgue a construir, en 1905, una nueva integral. Lebesgue pensaba que en la integral de Riemann era como contar  billetes en una caja registradora sin orden alguno, mientras que en su integral primero se agrupaban en categorías billetes de 10, de 50, de 100 y luego se multiplica la cantidad de billetes en una denominación por el valor de esa denominación sumando los resultados. Su integral es muy poderosa y constituyó un gran avance en el análisis matemático. Sin embargo, su construcción es lenta y depende de hacer una primera construcción bastante larga y delicada: la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$. Invitamos al lector del blog a leer la introducción del libro Un segundo curso de Integración, la integral de Henstock-Kurzweil del Prof. Ignacio Iribarren para interesantes comentarios sobre la integral de Riemann y Lebesgue. En ese texto encontrará también un desarrollo meticuloso de la integral de calibre o de Henstock-Kurzweil. El libro está disponible parcialmente en http://books.google.co.ve/books/about/Un_segundo_curso_de_integraci%C3%B3n.html?id=cEN-caaOHrwC&redir_esc=y aunque mejor consiguen una copia en físico (editado por Equinoccio, USB) ya que es un muy buen libro a un precio económico.

La integral de calibre de Henstock-Kurzweil es una opción extraordinaria para obtener una integral muy potente pero de sencilla construcción. La idea central es hacer lo que hizo Riemann pero introduciendo el concepto de calibre. El cambio es muy pequeño y lo que se obtiene es muy interesante. Por ejemplo, Leibniz pensaba que el  Teorema Fundamental del Cálculo es un teorema de sumas telescópicas. Esto se ve muy claramente para la integral de calibre. Por otro lado, dicha integral se aplica de manera ventajosa para ciertos problemas de Ecuaciones Diferenciales. Es una integral tan potente cono la integral de Lebesgue.

 Henstock y Kurzweil en un congreso matemático

 Recomiendo la lectura del bonito artículo A Return to Riemann Integral de Bartle (disponible en https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Bartle625-632.pdf ) para conocer lo básico de la integral de calibre. 

Por último, creo que está integral es perfecta para ampliar los cursos de Cálculo de estudiantes de Educación Matemática y en algunas licenciaturas de matemática que no incluyan la integral de Lebesgue. Debemos divulgar la obra de estos matemáticos y su integral. Yo lo estoy haciendo en mis cursos. Entonces, ¿porqué no se enseña ampliamente esta integral?. No lo se, pero hay un  movimiento para lograr que se haga.

Escrito en Venezuela: Matemáticos que cambiaron al mundo

Una tarde hace como ocho años atrás, un grupo de profesores dábamos unas charlas de historia de la matemática en Venezuela y el mundo en una biblioteca pública de Guatire. Conformábamos el grupo los profesores Sergio Rivas(jubilado UNA), Walter Beyer(jubilado UNA), Leonardo Rodríguez(jubilado UCV) y mi persona. Íbamos a tratar temas como la matemática de la belleza (Rivas), pesas y medidas en Venezuela(Rodríguez), matemática en Venezuela(Beyer) y la historia de la demostración(Gascón). Nuestra audiencia era heterogénea y formada por estudiantes y profesores de bachillerato, profesores universitarios y público en general. Cuando terminamos una persona de la audiencia que yo no conocía formuló varias preguntas interesantes y enseguida contó que venia desde Barquisimeto por la curiosidad que le causaba semejante ciclo de charlas de historia de las matemáticas. Allí conocí a el profesor Douglas Jiménez. Sólo una persona con gran vocación por la matemática y su divulgación se viene desde Barquisimeto a ver nuestro modesto evento. En un siguiente evento que organizamos en la UCAB, en honor al distinguido profesor Edgar Ferreira,   Douglas se unió al grupo y habló sobre el Logos y la reconstrucción de Fowler. Pero no voy a hablar del profesor Douglas Jiménez sino de un trabajo suyo: el libro Matemáticos que cambiaron al mundo(2006) publicado por El Nacional en su colección Arcadia.

Se trata de un libro muy entretenido e informativo pero escrito con rigor. Douglas nos relata la vida de los matemáticos desde Pitágoras hasta Einstein de manera amena. Muchas de las explicaciones matemáticas son muy formativas y por ello recomiendo el libro a estudiantes de matemática o de educación matemática. Complementan el libro una serie de notas, intercaladas con el texto principal,  que permiten ubicar a los personajes en su mundo. A veces las notas tratan algo curioso o ahondan en alguna explicación matemática. El libro está repleto de fotos, dibujos y muy bien diagramado. Una de las cosas que Douglas explota a lo largo del texto es la vinculación entre matemática y física, sin duda algo básico en cualquier recuento histórico de la matemática. Observe que el último invitado en su libro es Einstein lo cual revela la importancia que le da Douglas a la física. Al final del libro el lector encontrará una serie de matemáticos que no aparecen en las biografías principales pero importantísimos en la historia de nuestra ciencia. Creo que, el lector experto o el joven estudiante, encontrarán en este trabajo muchas cosas de interés.  Lo debo recomendar  a todos y créanme que lo leeran muy rápido y se divertiran con Douglas Jiménez.

Sobre el autor:

Douglas Jiménez nació en Caracas en 1952. Egresó como profesor del Instituto Pedagógico de Caracas en 1977. Tiene una maestría en Matemáticas Aplicables de la Universidad Centrooccidental Lisandro Alvarado. Actualmente es profesor en la UNEXPO, Barquisimeto, Estado Lara. Autor de varios libros como "Historia de la matemática: Pitágoras y el pitagorismo", "Álgebra, la magia del símbolo" y diversos artículos en revistas especializadas.

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Polya

George Polya fue un matemático húngaro que vivio por muchos años en Estados Unidos de América y que destacó en Análisis Matemático y en el arte de resolver problemas. Escribio con Szego sus dos volumenes de problemas de Análisis Matemático. Con Hardy y Littlewood su clásico texto sobre desigualdades (Inequalities). Polya se interesó sobre la resolución de problemas y la enseñanza de matemática. Su método de resolver problemas está descrito en un excelente libro llamado How to solve it(Como plantear y resolver problemas, publicado por Trillas). Una elaboración mayor del texto se encuentra en su libro Matemática y Razonamiento Plausible (Tecnos). Creo que estos textos son básicos para el estudiante de matemáticas o educación matemática. Están llenos de ideas y vitalidad. Incitan a crear en el salón de clase un clima de reto, creatividad y estímulo a los alumnos. Son además muy entretenidos. "La mejor manera de resolver una dificultad es evitándola", "el profesor de matemáticas escribe en la pizarra x, dice que es y pero en realidad se trataba de z", "una técnica es un truco que aplicamos más de una vez", son algunas de las frases que leemos en How to solve it y que recordamos para siempre. Los libros de Polya sobre resolución de problemas indican que el descubrimiento matemático es algo que está al alcance de nuestros alumnos y que el profesor debe crear las condiciones apropiadas para que ocurra. Alerta Polya sobre indicarle al alumno pistas burdas que lleven al alumno a la solución sin disfrutar enfrentarse con el problema. Se trata del mismo reto que enfrenta un corredor de maratón: es doloroso pero placentero. También Polya escribio un decálogo del buen profesor de matemáticas. Dicha decálogo no está basado en consideraciones teóricas sobre la pedagogía y tiene un caracter empírico. Pero omitirlo es un gran error. Está basado en una exitosa carrera docente que se prolongó por un período de más de sesenta años(Polya vivio casi cien años). Dejamos el enlace donde Ud. los puede revisar y leer algo más sobre Polya http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com/2010/11/los-diez-mandamientos-del-profesor.html . Un profesor que maneje su clase siguiendo a Polya es un excelente profesor. No importa si conoce de competencias, conductivismo o contructivismo. Yo agregaría un consejo adicional, creo que es del matemático estadounidense Gian Carlo Rotta: explique una sola cosa en cada clase. Si va explicar el concepto de máximo tome esa clase para eso. Busque ejemplos de la vida cotidiana iluminados por el concepto de máximo( o mínimo, es lo mismo). Busque ejemplos con soluciones geométricas y analíticas elementales. Relate a los alumnos la relación de los máximos con la física y con el principio de Fermat. Deduzca la ley de Snell de la difracción basada en este principio. Sólo en la siguiente clase explique las técnicas analíticas usuales para encontrarlos, pero no aniquile el tema en una sola clase. Cumplir los programas es importante pero es más importante dejar en nuestros alumnos algunos sólidos conceptos.

Simetría y matemática: porqué no debemos hablar de las matemáticas.

El concepto de simetría es central en matemáticas y física. La imagen muestra un hermoso tapiz guajiro.

Observe que una rotación de 180° cuyo centro coincida con el centro del tapiz deja invariante el mismo. Es decir, al rotar el tapiz media vuelta obtenemos un tapiz con la misma disposición de colores y formas que el original. Lo mismo ocurre si rotamos el tapiz 360°, está rotación lo deja invariante. Observe que dos rotaciones de 180° equivalen a una de 360°. ¿Que ocurre si en lugar de nuestro tapiz guajiro tomásemos un triángulo equilátero? . En este caso si rotamos, tomando como centro de la rotación el centro del triángulo, un ángulo de  120°, 240° y 360° volvemos al triángulo original.

En este caso, el triángulo equilatero tiene una mayor cantidad de rotaciones que lo  dejan invariante. Además esas rotaciones se pueden combinar entre ellas y se obtiene una rotación que está en este conjunto, es decir, que deja invariante el triángulo equilátero. Por ejemplo, si realizamos dos rotaciones de 120° eso equivale a una rotación de 240° y una de 240° seguida de una de 120° equivale a una rotación de 360°.

En el caso de una circunferencia tenemos muchísimas( infinitas) rotaciones que la dejan invariante, de hecho cualquier rotación centrada en el centro de la circunferencia deja la figura en ella misma. La circunferencia tiene infinitas simetrías. Así, el concepto de simetría de un objeto nos habla del objeto. 

Si tomamos otro objeto familiar a todos como un polinomio  

p(x)=a(x-x1)(x-x2)...(x-xn)

Vemos que cambiar el orden de sus raíces x1,x2,...,xn, no altera el polinomio p. Aquí una permutación de las raíces juega el mismo rol que una rotación de las figuras que discutimos arriba: las dos dejan fijo el objeto estudiado. Debemos al genio de Evariste Galois el concepto abstracto de simetría sintetizado en la idea de grupo.

Evariste Galois

Su idea dio nacimiento al álgebra abstracta y causó una revolución matemática. El mismo fue un revolucionario antimonárquico, lo que le cuesta la vida.

Galois dio una idea que permite unificar porciones distintas de la matemática. Por ello creo que debemos hablar de Matemática y no de Matemáticas. Matemáticas sugiere distintos campos como álgebra, análisis, teoría de números, geometría, entre otros. Esos campos de conocimiento matemático pueden ser vistos, dado lo sofisticado y avanzado de sus resultados principales y técnicas, como campos de estudio propios. Vista de esa manera la matemática se presentaría como un grupo de islas. Matemáticos como Grothendieck y Langlands han realizado un esfuerzo extraordinario por unificar teorías buscando puentes entre áreas que parecen lejanas como el análisis armónico y la teoría de números. Estos trabajos se basan en trabajos anteriores de Gelfand y en brillantes resultados como el teorema del índice de Atiyah-Singer.

Robert Langlands

El programa de Langlands es un programa muy ambicioso, basado en ciertas conjeturas, que demostraría que sólo tenemos una matemática.

Escrito en Venezuela: Teoremas Fundamentales de la Matemática

En el marco de la Feria del Libro finalizada recientemente en los espacios del Museo de Bellas Artes-Parque Los Caobos me encontré un libro muy interesante. En el stand de la ULA vi un libro con un título que me pareció muy atractivo Teoremas Fundamentales de la Matemática, su autor el Dr. Jesús Alfonso Pérez Sánchez de la ULA. Esto suscita enseguida dos preguntas: ¿Qué es la matemática?. ¿Qué resultados llamamos fundamentales?.

 Nos encontramos con un libro con una disposición original: cuatro capítulos cada uno dedicado a un teorema que el autor considera un resultado básico en el desarrollo de nuestra ciencia. Los resultados expuestos en el libro no siguen el camino de la mayoría de los libros de matemática.  En ellos se fija un tema, álgebra lineal, cálculo, ecuaciones diferenciales,... y se pasa de unas definiciones a encontrar los resultados importantes del tema siguiendo el método de Euclides. El nivel de la obra se fija dependiendo si se dirige a estudiantes de pregrado o postgrado. En el libro del Prof. Pérez Sánchez tenemos cuatro teoremas que el autor considera piezas claves de la matemática, cada uno de ellos independiente del otro. Los teoremas son:

1. El teorema Fundamental de la Aritmética
2. El Teorema Fundamental del Álgebra
3. El teorema Fundamental del Cálculo
4. El Teorema de Baire

Cada capítulo se puede leer por separado y no cabe duda que los resultados son de importancia capital. A pesar de la aparición del Teorema Fundamental de la Aritmética el libro tiene un sabor a análisis matemático. El Teorema Fundamental del Álgebra, a pesar de su nombre, es un teorema de análisis matemático. El autor lo aplica para investigar la existencia de espacios invariantes de transformaciones lineales. Además, en el capítulo del Teorema Fundamental de la Aritmética, el autor demuestra usando cálculo la trascendencia del número e. El teorema de Baire, un resultado importantísimo de los espacios métricos, es aplicado para demostrar distintos resultados de análisis funcional. Por supuesto, el Teorema Fundamental del Cálculo, es un resultado del análisis matemático y el autor se aproxima a demostrar la fórmula de Cauchy en este capítulo. Por supuesto un algebrista pudiese protestar y exigir que se hubiese incluido el Teorema Fundamental de Homomorfismos pero el autor escogió los resultados que el considera fundamentales y a mi me gustan los que escogió. En muchos casos el autor esboza las ideas de las demostraciones, motivando la misma, antes de hacer la parte técnica lo cual facilita la lectura del texto. El texto es de lectura amena y no cabe duda que cualquier estudiante que tome esta obra sacará provecho de la misma. Los profesores y matemáticos disponen en la obra de resultados importantes y pueden observar una manera creativa de presentar los contenidos matemáticos. Todo esto me hace pensar que este libro debería ser leído y lo recomiendo ampliamente. Su precio es muy razonable. Pero lo mejor es que el libro forma parte de la colección "Acceso Abierto al Conocimiento matemático" y puede ser descargado( hay otras cosas allí) desde

 http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/index.html

Hay algunas observaciones en cuanto al tipeo del LaTex, donde se pasa, por ejemplo, de cursiva a otro tipo de formato, que debe ser mejorado. Me parece que más problemas pueden ser incluidos y me comunique con el autor por email para señalarle que un ejemplo presentado es incorrecto. El Prof. Pérez Sánchez agradeció la observación que le señalé.

No duden en conseguir una copia o descargar el libro desde el enlace señalado. Quizas podamos entender mejor que es la matemática si conocemos lo que es fundamental en ella.

Sobre el autor: El Profesor Jesús Alfonso Pérez Sánchez es egresado de la licenciatura de Matemáticas de la ULA, con maestría en el IMPA de Brasil y doctorado en la UNICAMP de Brasil. Es Profesor Titular activo de la ULA, ha contribuido con materiales para el CENAMEC (Ganador del IV Concurso de Formulación de Problemas Matemáticos). Trabaja en el área de ecuaciones diferenciales parciales.

El juego no se acaba hasta que se termina

 

La lógica es una parte de las matemáticas muy dificil. La frase de Yogi Berra que da el título de esta entrada es una verdad trivial, una tautología: P->P. Me gusta porque, a pesar de su caracter tautológico, encierra una advertencia que conocemos los aficionados al deporte: no celebres antes que el arbitro de el pitazo final. En  lógica matemática las tautologías o son axiomas o son demostrables. Es un cálculo completo como demostró Godel: toda verdad se puede demostrar. Pero es también un cálculo aburrido, no podemos derivar grandes resultados de lo trivial. Según Bohr, las grandes verdades de la ciencia tienen un caracter menos lógico, su negación contiene una verdad. Eso es particularmente cierto en la mecánica cuantica, donde el electrón es particula y onda, un gato puede estar muerto y vivo al mismo tiempo y una particula no puede tener posición y velocidad definida.

La matemática se vuelve muy profunda si nos alejamos de las tautologías. ¿Comó hacemos esto?  Si ampliamos un poco el alcance de nuestro sistema para incluir los números naturales el juego cambia radicalmente, aparece como demostró Godel un fenomeno perturbador, verdades que no pueden ser demostradas. Incluir a los naturales con su axioma de inducción es meter al infinito en el negocio. Así, quedaba destruido el sueño de Hilbert de probar que las matemáticas eran completas. El paraiso de Cantor se había convertido en el infierno de Hilbert.  La demostración de la existencia de proposiciones verdaderas pero indemostrables nos recuerda la paradoja del mentiroso. Como el lector recordará, el cretense dice: Yo miento. ¿Dice la verdad? Entonces miente. ¿Miente? Entonces dice la verdad. ¿Cómo resolver esta paradoja?.  Pero dejemos que Yogi Berra nos de su versión de la paradoja del mentiroso, cito "en realidad yo nunca dije lo que dije". El catcher y manager de los Yankees es uno de los pensadores más profundos que conozco.

Recomendamos al lector del blog la novela El tio Petros y la conjetura de Goldbach de Apóstolos Doxiadis para que continue su excursión en las posibilidades del teorema de incompletitud de Godel.

Apóstolos Doxiadis

Mi texto de Álgebra Abstracta en el segundo año de carrera

Dr Federico Rivero

Hoy recuperé algo que ya daba por perdido. Le había prestado a mi compañera de trabajo Chanel Chacón una notas escritas por el Prof. Michell Kaoux de Álgebra Abstracta cuando era estudiante de segundo año en el IUT RC. Ella estaba preparando el plan de curso de Álgebra I de la UNA.  Eran unas notas tipeadas con el típico enfoque francés pleno de abstracción y de definiciones: epimorfismos, endomorfismos, automorfismos, homorfismos ...Esas notas me recordaban al profesor Kaoux que las escribio, a mis compañeros del IUT Orlando,Benjamin, Isora, Miguel, Nabih, Carlos Efrain,  Oscar, Raul,  al balcón del Instituto, el cafetín de Mario, al Dr. Rivero dándonos la cola,  los paseos a San Antonio, a Sim Soon-Kiong, la primera vez que vi a Moraima, la biblioteca de Matemáticas, a los profesores Rodrigo, Alain, Jaques, Oscar, Montserrat, Natalia, Kathy,  Enrique, las noches de insomnio preparándonos para raspar al dia siguiente, los perros calientes de Plaza Venezuela, las cervezas en el callejon de la puñalada, las partidas de domino con Luis Romero, mi lucha por mejorar mi ajedrez,  el irnos a estudiar a los pasillos o en la parroquia de la UCV los fines de semana...Esas notas representaban un vínculo con mi pasado, ya había extraviado las de Rodrigo Fontecilla de Análisis de primer año. Un día se las pedi a Chanel quien me dijo que no las encontraba. Me senti muy mal, le pedi que las buscará cuidadosamente. A los días me dice nada Jota no las encuentro. Hoy, años después, Chanel me dice que al limpiar un poco de cajas de su oficina las encontró. Un libro volvía a mí y además era un libro cuyas fórmulas abstractas servían para evocar mi pasado. Fue un gran regalo.

 Siempre he pensado que es necesario hacerle un homenaje a Federico Rivero ya que el sistema de los IUT ha sido importante para el país. Por allí lei la tontería que los IUT fueron creados para albergar los estudiantes que venían de la clase media empobrecida en los años setenta. Para mi el IUT-RC fue un centro de estudios de excelente nivel y tuve la suerte de compartir con unos compañeros que me aportaron mucho.  Ahora el gobierno los va a convertir en Universidades. Luego egresaran licenciados e ingenieros y no TSU, sin duda la palabra tiene un poder mágico que escapa a las leyes científicas.