Simetría y matemática: porqué no debemos hablar de las matemáticas.

El concepto de simetría es central en matemáticas y física. La imagen muestra un hermoso tapiz guajiro.

Observe que una rotación de 180° cuyo centro coincida con el centro del tapiz deja invariante el mismo. Es decir, al rotar el tapiz media vuelta obtenemos un tapiz con la misma disposición de colores y formas que el original. Lo mismo ocurre si rotamos el tapiz 360°, está rotación lo deja invariante. Observe que dos rotaciones de 180° equivalen a una de 360°. ¿Que ocurre si en lugar de nuestro tapiz guajiro tomásemos un triángulo equilátero? . En este caso si rotamos, tomando como centro de la rotación el centro del triángulo, un ángulo de  120°, 240° y 360° volvemos al triángulo original.

En este caso, el triángulo equilatero tiene una mayor cantidad de rotaciones que lo  dejan invariante. Además esas rotaciones se pueden combinar entre ellas y se obtiene una rotación que está en este conjunto, es decir, que deja invariante el triángulo equilátero. Por ejemplo, si realizamos dos rotaciones de 120° eso equivale a una rotación de 240° y una de 240° seguida de una de 120° equivale a una rotación de 360°.

En el caso de una circunferencia tenemos muchísimas( infinitas) rotaciones que la dejan invariante, de hecho cualquier rotación centrada en el centro de la circunferencia deja la figura en ella misma. La circunferencia tiene infinitas simetrías. Así, el concepto de simetría de un objeto nos habla del objeto. 

Si tomamos otro objeto familiar a todos como un polinomio  

p(x)=a(x-x1)(x-x2)...(x-xn)

Vemos que cambiar el orden de sus raíces x1,x2,...,xn, no altera el polinomio p. Aquí una permutación de las raíces juega el mismo rol que una rotación de las figuras que discutimos arriba: las dos dejan fijo el objeto estudiado. Debemos al genio de Evariste Galois el concepto abstracto de simetría sintetizado en la idea de grupo.

Evariste Galois

Su idea dio nacimiento al álgebra abstracta y causó una revolución matemática. El mismo fue un revolucionario antimonárquico, lo que le cuesta la vida.

Galois dio una idea que permite unificar porciones distintas de la matemática. Por ello creo que debemos hablar de Matemática y no de Matemáticas. Matemáticas sugiere distintos campos como álgebra, análisis, teoría de números, geometría, entre otros. Esos campos de conocimiento matemático pueden ser vistos, dado lo sofisticado y avanzado de sus resultados principales y técnicas, como campos de estudio propios. Vista de esa manera la matemática se presentaría como un grupo de islas. Matemáticos como Grothendieck y Langlands han realizado un esfuerzo extraordinario por unificar teorías buscando puentes entre áreas que parecen lejanas como el análisis armónico y la teoría de números. Estos trabajos se basan en trabajos anteriores de Gelfand y en brillantes resultados como el teorema del índice de Atiyah-Singer.

Robert Langlands

El programa de Langlands es un programa muy ambicioso, basado en ciertas conjeturas, que demostraría que sólo tenemos una matemática.

Escrito en Venezuela: Teoremas Fundamentales de la Matemática

En el marco de la Feria del Libro finalizada recientemente en los espacios del Museo de Bellas Artes-Parque Los Caobos me encontré un libro muy interesante. En el stand de la ULA vi un libro con un título que me pareció muy atractivo Teoremas Fundamentales de la Matemática, su autor el Dr. Jesús Alfonso Pérez Sánchez de la ULA. Esto suscita enseguida dos preguntas: ¿Qué es la matemática?. ¿Qué resultados llamamos fundamentales?.

 Nos encontramos con un libro con una disposición original: cuatro capítulos cada uno dedicado a un teorema que el autor considera un resultado básico en el desarrollo de nuestra ciencia. Los resultados expuestos en el libro no siguen el camino de la mayoría de los libros de matemática.  En ellos se fija un tema, álgebra lineal, cálculo, ecuaciones diferenciales,... y se pasa de unas definiciones a encontrar los resultados importantes del tema siguiendo el método de Euclides. El nivel de la obra se fija dependiendo si se dirige a estudiantes de pregrado o postgrado. En el libro del Prof. Pérez Sánchez tenemos cuatro teoremas que el autor considera piezas claves de la matemática, cada uno de ellos independiente del otro. Los teoremas son:

1. El teorema Fundamental de la Aritmética
2. El Teorema Fundamental del Álgebra
3. El teorema Fundamental del Cálculo
4. El Teorema de Baire

Cada capítulo se puede leer por separado y no cabe duda que los resultados son de importancia capital. A pesar de la aparición del Teorema Fundamental de la Aritmética el libro tiene un sabor a análisis matemático. El Teorema Fundamental del Álgebra, a pesar de su nombre, es un teorema de análisis matemático. El autor lo aplica para investigar la existencia de espacios invariantes de transformaciones lineales. Además, en el capítulo del Teorema Fundamental de la Aritmética, el autor demuestra usando cálculo la trascendencia del número e. El teorema de Baire, un resultado importantísimo de los espacios métricos, es aplicado para demostrar distintos resultados de análisis funcional. Por supuesto, el Teorema Fundamental del Cálculo, es un resultado del análisis matemático y el autor se aproxima a demostrar la fórmula de Cauchy en este capítulo. Por supuesto un algebrista pudiese protestar y exigir que se hubiese incluido el Teorema Fundamental de Homomorfismos pero el autor escogió los resultados que el considera fundamentales y a mi me gustan los que escogió. En muchos casos el autor esboza las ideas de las demostraciones, motivando la misma, antes de hacer la parte técnica lo cual facilita la lectura del texto. El texto es de lectura amena y no cabe duda que cualquier estudiante que tome esta obra sacará provecho de la misma. Los profesores y matemáticos disponen en la obra de resultados importantes y pueden observar una manera creativa de presentar los contenidos matemáticos. Todo esto me hace pensar que este libro debería ser leído y lo recomiendo ampliamente. Su precio es muy razonable. Pero lo mejor es que el libro forma parte de la colección "Acceso Abierto al Conocimiento matemático" y puede ser descargado( hay otras cosas allí) desde

 http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/index.html

Hay algunas observaciones en cuanto al tipeo del LaTex, donde se pasa, por ejemplo, de cursiva a otro tipo de formato, que debe ser mejorado. Me parece que más problemas pueden ser incluidos y me comunique con el autor por email para señalarle que un ejemplo presentado es incorrecto. El Prof. Pérez Sánchez agradeció la observación que le señalé.

No duden en conseguir una copia o descargar el libro desde el enlace señalado. Quizas podamos entender mejor que es la matemática si conocemos lo que es fundamental en ella.

Sobre el autor: El Profesor Jesús Alfonso Pérez Sánchez es egresado de la licenciatura de Matemáticas de la ULA, con maestría en el IMPA de Brasil y doctorado en la UNICAMP de Brasil. Es Profesor Titular activo de la ULA, ha contribuido con materiales para el CENAMEC (Ganador del IV Concurso de Formulación de Problemas Matemáticos). Trabaja en el área de ecuaciones diferenciales parciales.

El juego no se acaba hasta que se termina

 

La lógica es una parte de las matemáticas muy dificil. La frase de Yogi Berra que da el título de esta entrada es una verdad trivial, una tautología: P->P. Me gusta porque, a pesar de su caracter tautológico, encierra una advertencia que conocemos los aficionados al deporte: no celebres antes que el arbitro de el pitazo final. En  lógica matemática las tautologías o son axiomas o son demostrables. Es un cálculo completo como demostró Godel: toda verdad se puede demostrar. Pero es también un cálculo aburrido, no podemos derivar grandes resultados de lo trivial. Según Bohr, las grandes verdades de la ciencia tienen un caracter menos lógico, su negación contiene una verdad. Eso es particularmente cierto en la mecánica cuantica, donde el electrón es particula y onda, un gato puede estar muerto y vivo al mismo tiempo y una particula no puede tener posición y velocidad definida.

La matemática se vuelve muy profunda si nos alejamos de las tautologías. ¿Comó hacemos esto?  Si ampliamos un poco el alcance de nuestro sistema para incluir los números naturales el juego cambia radicalmente, aparece como demostró Godel un fenomeno perturbador, verdades que no pueden ser demostradas. Incluir a los naturales con su axioma de inducción es meter al infinito en el negocio. Así, quedaba destruido el sueño de Hilbert de probar que las matemáticas eran completas. El paraiso de Cantor se había convertido en el infierno de Hilbert.  La demostración de la existencia de proposiciones verdaderas pero indemostrables nos recuerda la paradoja del mentiroso. Como el lector recordará, el cretense dice: Yo miento. ¿Dice la verdad? Entonces miente. ¿Miente? Entonces dice la verdad. ¿Cómo resolver esta paradoja?.  Pero dejemos que Yogi Berra nos de su versión de la paradoja del mentiroso, cito "en realidad yo nunca dije lo que dije". El catcher y manager de los Yankees es uno de los pensadores más profundos que conozco.

Recomendamos al lector del blog la novela El tio Petros y la conjetura de Goldbach de Apóstolos Doxiadis para que continue su excursión en las posibilidades del teorema de incompletitud de Godel.

Apóstolos Doxiadis

Mi texto de Álgebra Abstracta en el segundo año de carrera

Dr Federico Rivero

Hoy recuperé algo que ya daba por perdido. Le había prestado a mi compañera de trabajo Chanel Chacón una notas escritas por el Prof. Michell Kaoux de Álgebra Abstracta cuando era estudiante de segundo año en el IUT RC. Ella estaba preparando el plan de curso de Álgebra I de la UNA.  Eran unas notas tipeadas con el típico enfoque francés pleno de abstracción y de definiciones: epimorfismos, endomorfismos, automorfismos, homorfismos ...Esas notas me recordaban al profesor Kaoux que las escribio, a mis compañeros del IUT Orlando,Benjamin, Isora, Miguel, Nabih, Carlos Efrain,  Oscar, Raul,  al balcón del Instituto, el cafetín de Mario, al Dr. Rivero dándonos la cola,  los paseos a San Antonio, a Sim Soon-Kiong, la primera vez que vi a Moraima, la biblioteca de Matemáticas, a los profesores Rodrigo, Alain, Jaques, Oscar, Montserrat, Natalia, Kathy,  Enrique, las noches de insomnio preparándonos para raspar al dia siguiente, los perros calientes de Plaza Venezuela, las cervezas en el callejon de la puñalada, las partidas de domino con Luis Romero, mi lucha por mejorar mi ajedrez,  el irnos a estudiar a los pasillos o en la parroquia de la UCV los fines de semana...Esas notas representaban un vínculo con mi pasado, ya había extraviado las de Rodrigo Fontecilla de Análisis de primer año. Un día se las pedi a Chanel quien me dijo que no las encontraba. Me senti muy mal, le pedi que las buscará cuidadosamente. A los días me dice nada Jota no las encuentro. Hoy, años después, Chanel me dice que al limpiar un poco de cajas de su oficina las encontró. Un libro volvía a mí y además era un libro cuyas fórmulas abstractas servían para evocar mi pasado. Fue un gran regalo.

 Siempre he pensado que es necesario hacerle un homenaje a Federico Rivero ya que el sistema de los IUT ha sido importante para el país. Por allí lei la tontería que los IUT fueron creados para albergar los estudiantes que venían de la clase media empobrecida en los años setenta. Para mi el IUT-RC fue un centro de estudios de excelente nivel y tuve la suerte de compartir con unos compañeros que me aportaron mucho.  Ahora el gobierno los va a convertir en Universidades. Luego egresaran licenciados e ingenieros y no TSU, sin duda la palabra tiene un poder mágico que escapa a las leyes científicas.

El error en matemática

John Von Neumann estaba hablando con Bronowski sobre unos cálculos complejos y le dijo, ese coeficiente del termino de segundo orden debe ser cero. Bronowski dudó que eso fuera cierto y pasó varias horas calculando hasta que confirmó lo que su brillante amigo le había dicho: el coeficiente era cero. No le importó que fuesen las 3 am. y llamó excitado a Juanito(Johnny) que dormía y le dijo: tenías razón el coeficiente es cero. Von Neumann bastante molesto por haber sido despertado de madrugada le soltó esta modesta frase: no me llames para decirme que tengo razón, llámame cuando este equivocado. Semejante historia no hace sino confirmar la creencia de la infalibilidad de los matemáticos y la matemática que estos construyen. Pero, ¿no hay margen de error en los hombres que se manejan por las normas de la lógica?. Si lo hay y da para mucho en el desarrollo de esta disciplina. Empecemos por ese brillante aficionado a las matemáticas que fue Pierre de Fermat. Fermat estudió la sucesión  2¹+1=3, 2²+1=5, 2⁴+1=17,.... Observe que los primeros términos son todos números primos. Fermat pensó que esto ocurría siempre. Unos cien años despues Euler demostró que era falso y que algunos números de la sucesión eran compuestos. Esto abrío nuevos problemas, ¿cuales números de la sucesión son primos?, ¿hay infinitos de ellos?. Otro caso, el sacerdote Giovanni Saccheri pensó que había demostrado el postulado de las paralelas aparentemente encontrado situaciones absurdas al negarlo. El geómetra Lambert señaló que quizás estas patologías ocurrían en una geometría imaginaria. Como vemos Saccheri se equivocaba, pero su texto motivó reflexiones que nos aproximaron a la verdadera solución del problema.
Cantor y Dedekind iniciaron la revolución del infinito actual en matemáticas, sin embargo la teoría de Cantor estaba llena de problemas y paradojas, alguna de ella señalada por Cantor, acaso ¿merecía ser abandonada? De ninguna manera, los trabajos de Zermelo, Fraenkel y Von Neumann la pusieron en suelo firme matemático y desde entonces forma el abc de la gramática matemática, "nadie podrá arrojarnos del paraiso que Cantor creó para nosotros" dijo Hilbert.
 Hilbert propusó en 1900 durante el Congreso de Matemáticas de Paris, una serie de problemas, conocidos ahora como los problemas de Hilbert. El matemático ruso Petrovski propuso varias ideas erróneas en relación al problema 16, ideas que contenían claves para importantes desarrollos posteriores.  Sin duda, al jugar la intuición y la inducción un papel importante en el desarrollo de la matemática no podemos evitar encontrar situaciones como las descritas arriba.
Aunque la lista de errores cometidos por excelentes matemáticos es muy larga, voy a cerrar con el caso de un matemático que se equivocaba mucho, tanto que todos dudaban de él. El francés Roger Apéry es muy conocido por dar demostraciones falsas de diversos resultados, así que cuando anunció que había demostrado que la suma de los recíprocos de los cubos era un número irracional, nadie le creyó. Era un problema importante y muy viejo. Lo invitaron a Rusia para que expusiera su resultado, lo cual hizo. Al final de su presentación los presentes se dieron cuenta que el resultado era correcto. Un matemático se paró y le dijo: Monsieur Apéry, Ud. es un excelente matemático y sonó un cerrado aplauso.
 Alguien señaló que la reputación de un matemático descansa en la cantidad de pruebas erroneas que ha hecho de resultados ciertos, una visión lejana del estereotipo del matemático infalible.

Los espacios invariantes

Uno de los problemas matemáticos abiertos más famosos acaba de ser resuelto: el problema del subespacio invariante. La noticia ha recorrido la web, ver por ejemplo http://www.rsme.es/content/view/1199/1/. El problema consiste en demostrar la siguiente proposición: Todo operador T continuo del espacio de Hilbert H en el propio espacio de Hilbert H tiene un subespacio invariante. Cosas invariantes tienen una importancia muy grande en matemáticas. La geometría de los griegos es caracterizada modernamente por ciertos invariantes.

Newton, Lagrange y Hamilton

Fermat enunció un principio de economía que gobierna la naturaleza: las cosas ocurren de manera que minimizamos una cierta función. El llamo a esta función la acción. Por ejemplo, y esto fue lo que motivo a Fermat a enunciar su ley, la luz en un medio óptico no uniforme viaja de un punto A al punto B de forma que el tiempo de viaje sea mínimo. Hoy llamamos ese principio de Fermat y podemos obtener la Ley de Snell del principio de Fermat facilmente. Bernoulli usó esta idea para resolver el problema de la braquistócrona o curva de descenso en un tiempo mínimo. Se trata de encontrar la curva que une dos puntos del espacio de tal manera que si dejamos caer una pelota vaya del punto más alto al mas bajo en tiempo mínimo. Su solución es brillante y puede ser encontrada en el libro de Polya "Matemáticas y razonamiento plausible" y en este enlace "The brachistochrone"    sin embargo otros matemáticos resolvieron el problema introduciendo una rama del análisis conocida como Cálculo de Variaciones que resolvía muchos problemas. Es decir, crearon una técnica. 

Entre los que crearon el Calculo de Variaciones debemos recordar a Euler y Lagrange, de hecho cuando Euler leyó el trabajo de Lagrange penso que lo que Lagrange había logrado era extraordinario. 

¿Es la naturaleza económica?

Maupertuis enunció un principio de economía que gobierna la naturaleza: las cosas ocurren de manera que minimizamos una cierta función. El llamó a esta función la acción. Por ejemplo, y esto fue lo primero que motivó a Maupertuis a enunciar su ley, Fermat descubrió que la luz en un medio óptico no uniforme viaja de un punto A al punto B de forma que el tiempo de viaje sea mínimo.¿Cómo sabe la luz cuál es el camino de tiempo mínimo? ¿Acaso explora todos los caminos antes de decidirse por uno? Fermat pensó sobre este problema y concluyó que era muy dificíl. El hecho que la luz viaje intentando llegar en el menor tiempo posible se llama Principio de Fermat. Bernoulli usó esta idea para resolver el problema de la braquistócrona o curva de descenso en un tiempo mínimo. Se trata de encontrar la curva que une dos puntos del espacio de tal manera que si dejamos caer una pelota vaya del punto más alto al mas bajo en tiempo mínimo. Su solución es brillante y puede ser encontrada en el libro de Polya "Matemáticas y razonamiento plausible" y en este enlace "The brachistochrone"   . Sin embargo otros matemáticos resolvieron el problema creando una rama del análisis conocida como Cálculo de Variaciones que resolvía muchos problemas. Es decir, crearon una técnica. La solución de Bernoulli es hermosa pero no tuvo muchos seguidores, se impuso el orden y no la magia. Entre los que crearon el Calculo de Variaciones debemos recordar a Euler y Lagrange, de hecho, cuando Euler leyó el trabajo de Lagrange, pensó  que lo que Lagrange había logrado era extraordinario.No habían ni dibujos ni geometría en su trabajo, su pensamiento era analítico, el mecanismo del universo parecía estar asociado con una ecuación. Euler dijo: no ocurre nada en la naturaleza sin que aparezcan máximos o mínimos. Estas ideas se mantienen en la Física moderna donde los principios de acción mínima estan presentes. Por ejemplo, en  

  

el deslave de Vargas(1999) los ríos que habían sido desviados y canalizados, al aumentar su cauce, buscaron las trayectorias que los llevaban al mar desde tiempos remotos: las trayectorias que minimizaban la acción. El deslave de Vargas es un ejemplo del mundo macroscópico pero en el mundo del átomo el

 

físico Richard Feynman descubrió el mismo tipo de ley. Así que cuando le digamos a alguién que es un flojo porqué sigue el principio de mínima acción, seamos condescendientes y pensemos que finalmente es algo natural.