El mono de Borel

El matemático francés Borel expresó un principio probabilístico importante: si un evento tiene una probabilidad muy pequeña de ocurrir entonces nunca ocurrirá. Para ilustrar su idea pensó en un mono que tipea letras al azar en una máquina de escribir. ¿Cuál es la probabilidad que escriba Romeo y Julieta? Muy pequeña dirá nuestro lector. En realidad pequeñisima. Por ejemplo, la probabilidad que escriba la expresión "la casa" es fácilmente calculable y de hecho es pequeña. Pensemos en una máquina de escribir que solo contenga treinta caracteres y la tecla de espacio, la probabilidad de escribir " la casa" es (1/31) elevado a la septima potencia es decir 3,6346964194877555959189893353279x10^(-11)(en el orden de 0,00000000001). Luego de acuerdo a Borel nuestro mono, para su eterna frustación, nunca podrá ser Shakespeare. Sin embargo, Arnold pensó un interesante experimento imaginario. Suponga que Ud. tiene un recipiente cerrado en forma de cubo con dos compartimentos separados por un tabique. En uno de los compartimentos hay un gas, el otro está vacío. Si retiramos el tabique, el gas ocupará todo el recipiente. Arnold señala que de acuerdo a la Teoría Ergódica en algún momento el gas regresará integramente al espacio que ocupaba inicialmente, dejando una parte del recipiente vacía. ¿Cuál es la probabilidad que esto ocurra? Muy pequeña pero va a ocurrir eventualmente. Y,¿qué pasa con Borel y su metaprincipio? Arnold dice que para tranquilidad de nuestro sentido común, el tiempo de espera es astronomicamente grande, tan grande que el sistema solar habrá desaparecido antes que los átomos decidan fulminar a Borel y su principio. De todas formas encuentro perturbador que eso tenga que pasar. Eso indica que si le damos suficiente tiempo a nuestro mono quizas escriba la frase: Querido Monsieur Borel  Ud. está equivocado.

La historia de la matemática del siglo XX

Los historiadores de la matemática deben conocer mucha matemática para poder seguir la evolución de las principales ideas y entender la aparición de las crisis que periódicamente generan nuevas teorías. Tomemos como ejemplo la Teoría de Galois, obra maestra del siglo XIX. Sin un conocimiento adecuado de la teoría de grupos, de las extensiones de cuerpos, de los conceptos de normalidad y separabilidad poco podemos describir del genio del joven Galois que entendió cuando podemos resolver una ecuación algebraica mediante radicales. Todo eso reforzado con una visión que incluya el conocimiento de los trabajos de Cauchy, Lagrange, Ruffini, los babilonios y Omar Khayam entre otros. Una tarea nada fácil. Recomiendo el excelente libro del Profesor Ronald Solomon "Abstract Algebra" donde se desarrolla un curso de álgebra moderna desde el punto de vista histórico de la teoría de Galois.

Pero estamos en el siglo XIX y me pregunto ¿qué pasa con la matemática del siglo XX? Esta matemática ya es un hecho histórico. El lema debe ser el mismo, cualquier aproximación al hecho histórico parte de un sólido conocimiento matemático. Sin embargo pareciera que estamos destinados a una historia escrita por especialistas. Un matemático competente como Rey Pastor podía escribir una historia de 25 siglos de matemática pero ¿quien puede escribir la historia de la matemática del siglo XX? Esto plantea el desarrollo de temas como la teoría de categorías, la teoría KAM, el desarrollo de la teoría de conjuntos y el análisis no estandar, el análisis funcional, la geometría algebraica, la moderna teoría de números, la nueva teoría de la integral, el nacimiento de los espacios topológicos, la teoría axiomática de probabilidades, una explicación de los resultados asociados con los problemas de Hilbert entre otras cosas.

Pareciera que si tomamos cualquiera de estos temas, solo un experto en el área con un interés histórico puede prestarmos alguna orientación de lo que ha ocurrido. Una historia escrita por especialistas para especialistas no me atrae pero quizas sea inevitable. Es quizás lo más parecido a una historia escrita por los constructores de la Torre de Babel después de haber recibido el bíblico castigo.

La infinita escalera del infinito

La escalera del infinito

“Yo no quiero pertenecer a un club que me acepta como miembro”

Groucho Marx

El argumento diagonal de Cantor demuestra que desde el sentido de la cardinalidad hay más reales que números naturales. ¿Existen otros infinitos mayores? Cantor descubrió con sorpresa que hay la misma cantidad de puntos en un segmento de recta que en el espacio tridimensional. La afirmación de que Cantor se sorprendio con este resultado ha sido cuestionada por el matemático Fernando Gouvea en una nota titulada Was Cantor Surprised? publicada en la American Mathematical Monthly de Marzo de 2011.

Sin embargo, Cantor demostró que el conjunto de partes P(X) de un conjunto infinito X tiene más elementos, desde el punto de vista de la cardinalidad, que el conjunto inicial. Veamos esto en detalle. Razonemos por el absurdo. Supongamos que podemos hallar una biyección F: X->P(X). Dado un x cualquiera en X puede ocurrir que x esté en F(x) o no. Sea A el conjunto de todos los x tales que x no está en F(x) . Sabemos que existe un a tal que F(a)=A ya que F es una biyección , nos preguntamos ahora: ¿a está o no en F(a)?. Tenemos un grave problema aquí ya que a está en F(a) sí y solamente sí a no está en F(a).

Esto implica que no puede existir tal biyección y que existen infinitos cada vez mayores tomando P(X),P(P(X)), etc. De hecho se puede demostrar que los cardinales infinitos se pueden ordenar como Aleph_0< Aleph_1<...

Donde Aleph_0 corresponde al primer cardinal infinito, que es el de los números naturales, Aleph_1 el primer cardinal no numerable y así sucesivamente en una larga escalera infinita. Una pregunta natural es: ¿ qué lugar ocupa el cardinal de los reales en esta cadena de infinitos?

Este fue el primer problema de la lista de 23 problemas que Hilbert propuso en su famosa conferencia del año 1900 en el congreso de Matemático de Paris, para que los matemáticos del siglo XX los resolviesen. Es conocido como la hipótesis del continuo. Como señalamos en nuestra primera entrada del blog no sabemos la respuesta(ni sabremos al menos en la axiomática de Zermelo-Fraenkel) a este problema tan delicado.

Note que el argumento de arriba, creado por Cantor, es similar al argumento diagonal y tiene relación con el argumento de la paradoja de Russell. Todos estos argumentos derivan de la paradoja del mentiroso, él cual en un día de inspiración afirmó: Yo miento.

Lyx Vs Latex

El Tex y su derivado el latex fueron creados por la mente inquieta de Donald Knuth(se pronuncia canut), extraordinario matemático y programador. Consiste en un sistema de edición de textos de gran calidad. Con el Ud. puede escribir desde una partitura musical, los comentarios de una partida de ajedrez con sus diagramas(tableros) o un libro de matemática. Todo aquel relacionado con matemáticas debe aprender a usar Latex. No es un proceso facil pero sin duda es productivo. Un texto matemático generado con Latex es profesional, organizado, hermoso y tiene una alto grado de calidad tipográfica.

Para empezar a trabajar con Latex Ud. debe:

1. Descargar una distribución de Latex de acuerdo a us sistema operativo, para Windows es Miktex, para Linux Texlive y para Mac Texlive es la apropiada. Estas distribuciones son pesadas(cerca de 1 Gb). Sea paciente.
2. Instale su distribución.
3. Consiga un editor de Latex, recomiendo Texmaker que funciona en cualquier plataforma.
   
4. Busque un manual de Latex, mi recomendación es La introducción no tan corta a Latex.
5. Consiga un amigo experto en Latex en su Universidad, familia o vecindario ya que siempre surgen dudas de como hacer algo particular.

El resto lo hace la práctica. Propongase redactar cualquier cosa en Latex, desde una carta, guías para sus alumnos, una novela, etc. Debe poner ese horrible Word a un lado, Latex es dificil de domar pero, como los caballos salvajes, una vez domado hace lo que Ud. quiere.
Por otro lado, Lyx es una editor de textos basado en Latex muy amigable. Con el va a poder trabajar muy rapidamente y de una manera más sencilla. Sin embargo, creo que debe combinar los dos: Lyx y Latex. Creame que es un binomio de gran fortaleza con el cual va a plasmar de manera impecable sus ideas.

Paradojas y los reales

Borges escribe un ensayo sobre la eterna carrera de Aquiles y la tortuga y trata de desmontar la paradoja de Zenón. No se si lo logra. El enunciado de la paradoja es el siguiente: Aquiles, el de los pies ligeros, va a correr una carrera contra una tortuga y le da una ventaja de 10 metros. Cuando Aquiles recorre esa distancia la tortuga ha avanzado 1 metro. Al finalizar ese metro, la tortuga se movio 10 cms. Al pasar por cada punto donde la tortuga ha estado, la tortuga adelanta a Aquiles por una cierta cantidad. Ergo, Aquiles nunca alcanza a la tortuga. Mucho he reflexionado sobre esa angustiosa carrera. He ido a las series, a las ecuaciones, buscando un refugio para el sentido común. No lo he encontrado.
En mi opinión, el meollo del asunto es la complejidad de los números reales. Veamos un ejemplo que pone de manifiesto que nuestra representación de los reales como los puntos de una recta es ingenua. Tomemos los racionales y demos una numeración de los mismos: a1,a2,a3,.... Sobre el racional a_i lance un intervalo abierto J_i, de forma que a_i está en J_i. Le pregunto: ¿cubren los J_i toda la recta? Si pensamos de una manera rápida que los racionales son densos en la recta real IR tendemos a responder que si. Pero, como todos sabemos la unión de los J_i puede tener longitud arbitrariamente pequeña si la longitud de cada J_i es menor que L/2^i. Un resultado que nos debe alertar de la representación geométrica de los números reales. Otro hecho que nos pone de manifiesto lo complicado de la construcción de los reales IR es que no sabemos cual es su cardinal. Sabemos que los reales no son numerables pero no conocemos(ni podremos conocer) su lugar en la escala de los Alephs creada por Cantor. Por ello debemos honrar a Eudoxo, Dedekind, Cantor y Bolzano que intentaron entender ese conjunto misterioso que son los números reales.

Una nueva historia de la matemática o nuevas historias de la matemática

He estado escribiendo sobre series numéricas y por supuesto he incluído alguna nota histórica. Aparecen Arquímedes, Mercator y Gregory entre otros. Pero añadí al matemático indio Madhava quién se adelantó a todos los matemáticos europeos desarrollando siglos antes que Newton y Leibniz el cálculo diferencial y los desarrollos en serie que conocemos como de Taylor. Si entendemos que el hecho fundamental del cálculo diferencial es aproximar funciones mediante transformaciones lineales(Dieudonne) o polinómicas, lo logrado por Madhava es un hito para el desarrollo de la matemática.

Para Bronovsky en su conocido libro El Ascenso del Hombre el teorema de Pitágoras es el resultado más importante de las matemáticas. Es muy conocido que ese teorema era usado de manera empírica por los antiguos egipcios y babilonios mucho antes de la aparición de la secta pitágorica. Pero los matemáticos chinos antes que Pitágoras conocían una bella demostración del teorema. Estos hechos revelan que piezas fundamentales de la matemática eran conocidas por otras culturas con anterioridad a su desarrollo en Europa. Por supuesto, podemos añadir otros desarrollos a nuestro argumento como la invención del 0 y los numerales indios. Todo nos lleva a pensar que una historia de la matemática menos centrada en su desarrollo europeo es necesaria y posible. No se trata de disminuir lo extraordinario de la matemática que estudiamos, se trata de ver a la matemática como un fenómeno universal y ponderar de manera justa las distintas aportaciones de otras civilizaciones. Luego, planteamos que la historia de la matemática no puede contener solamente el desarrollo usual que va de Egipto a Grecia, de los arabes al renacimiento y de Europa a la matematica actual. Claro esto se salpica con alguna reflexión sobre la India o la China, alguna historia de estas civilizaciones dentro de la otra historia. Se trata de crear puentes, investigar y reconocer que desde los huesos de Ishango la matemática forma parte de la herencia cultural del hombre y que su historia debe manifestar claramente esto.